Элементы теории массового обслуживаания

На практике большинство элементов электроснабжения после отказа восстанавливаются. Применяя теорию массового обслуживания (ТМО) можно решить все эксплуатационные вопросы: оценить показатели надежности, организовать техническое обслуживание и ремонт, рассчитать обменный фонд элементов и др.

ТМО -раздел теории вероятностей. Системой массового обслуживания (СМО) называется система, состоящая из конкретного числа обслуживаемых единиц ‑ каналов обслуживания. Основными элементами СМО являются поток событий, число каналов и быстродействие каждого из них.

Типичной СМО является система электроснабжения. В ней поток заявок на обслуживание это поток отказов элементов электроснабжения, каналами являются ремонтные бригады. При ограниченном числе ремонтных бригад, обслуживающих систему, может образоваться очередь на обслуживание отказавших элементов.

Одно из основных понятий ТМО - поток событий, который представляет собой последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Простейший поток событий обладает свойствами ординарности, стационарности и отсутствием последействия ( см. модуль 2, п. 2.2).

Простейший поток играет важную роль при исследовании надежности ремонтируемых систем. При наложении нескольких простейших потоков результирующий поток также будет простейшим. Промежутки времени между событиями в таком потоке распределены по показательному закону. Используются и другие потоки событий , например, поток Эрланга (получается путем прореживания простейшего потока) или поток Пальма (поток с ограниченным последействием) и др.

СМО делятся на два типа: системы с отказами и системы с ожиданием. В первых СМО заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает систему и в обслуживании не участвует. Во вторых СМО при поступлении заявки и всех занятых каналах она становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-либо канал. Для процесса эксплуатации элементов систем электроснабжения характерно использование СМО с неограниченным ожиданием,

Работа СМО характеризуется следующими параметрами:

• числом каналов ‑n,

• плотностью потока заявок‑ λ,

• плотностью потока обслуживания одного канала ‑μ,

• числом состояний системы ‑к.

При этом

μ. = 1/Т₀, (4.1)

где Т₀ - среднее время обслуживания одной заявки.

Рассмотрим СМО с отказами.

Вероятность состояния СМО с отказами определяется формулой Эрланга [12]

Р_к = (0 k n ), (4.2)

где α = = λТ₀ - приведенная плотность потока заявок.

Вероятность отказа (вероятность того, что поступившая заявка найдет все каналы занятыми)

Р_от= , (0 k n). (4.3)

Для одноканальной системы

Р_отк = α/(1+α). (4.4)

Рассмотрим СМО с ожиданием.

При эксплуатации электрических сетей такие системы наиболее распространены. Для них определяют вероятности состояний, среднюю длину очереди и среднее время нахождения в очереди.

Вероятности состояний СМО с ожиданием при установившемся режиме работы рассчитывают по формуле

Р_к= (4.5)

Вероятность наличия очереди

R₀=1‑ (Р₀+Р₁+Р₂+…+Рn). (4.6)

Средняя длина очереди

m₀ = (4.7)

Среднее время пребывания в очереди

t₀ = m₀ / λ. (4.8)