Поскольку Дебаевская длина экранирования равна 2 страница

Часто выражение (2.22) удобно представлять в логарифмическом масштабе:

. (2.23)

2.4.3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ПРИМЕСНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

В области низких температур, когда средняя энергия теплоколебаний решетки кТ значительно меньше ширины запрещенной зоны ξg, в примесных невырожденных полупроводниках происходит возбуждение практически лишь примесных носителей заряда: электронов в электронных полупроводниках и дырок в дырочных полупроводниках.

Положение уровня Ферми в этой области температур определяется соотношением для электронного полупроводника:

. (2.24)

где NД – концентрация донорной примеси, и соотношением:

(2.25)

для дырочного полупроводника, где N_a – концентрация акцепторной примеси. Графики зависимости ξ_F(T), отвечающие этим функциям, приведены на рис. 2.4 а, б [6].

Ti

Т

Тs

xF(T)

x

xа

xс

Т

валентная зона

валентная зона

xF(T)

Ti

Тs

xс

xс

зона проводимости

зона проводимости

ξ

а) б)

Рис. 2.4. Зависимость уровня Ферми от температуры для невырожденных полупроводников:

а) электронного, б) дырочного.

Подставляя (2.24) в (2.18), получим для концентрации электронов в электронном полупроводнике при низких температурах:

. (2.26)

По мере повышения температуры примесные уровни истощаются и при некоторой температуре T_s наступает их полное истощение. При этом n≈N_Д, а n≈N_а. Температура истощения примесей T_s, тем выше, чем выше энергия активации примеси и ее концентрация. Для германия, например, содержащего N_Д=10²²м^-3 и имеющего ξ_Д=0,01 эВ, температура истощения примеси T_s=30 К.

В области высоких температур начинается интенсивное возбуждение собственных носителей, и полупроводник все более приближается к состоянию собственного полупроводника. Уровень Ферми приближается к уровню Ферми в собственном полупроводнике, а концентрация собственных носителей начинает значительно превосходить концентрацию примесных. Это состояние характеризуются температурой T_s – перехода к собственной проводимости.

Характерные температуры T_s, T_i выражаются следующим образом:

; . (2.27)

Соотношения для концентрации дырок в полупроводнике, легированном акцепторами, а так же T_s и T_s имеют тот же вид, что и для донорного полупроводника, если заменить в них m_n и m_p, N_c на N_υ, а ξ_Д на ξ_а.

На рис. 2.5 представлена зависимость концентрации электронов в зоне проводимости электронного полупроводника от обратной температуры в логарифмическом масштабе.

β

Ln n

α

β

	Тi-1 Ts-1		T-1

Рис. 2.5. Зависимость концентрации носителей от температуры в примесном полупроводнике.

На кривой можно выделить три участка:

1 – примесной проводимости;

2 – истощения примеси;

3 – собственной проводимости.

Тангенсы углов наклона α и β пропорциональны, соответственно, ширине запрещенной зоны и энергии активации примеси. Если перемножить концентрации электронов и дырок для невырожденного полупроводника, то можно убедиться в справедливости соотношения

, (2.28)

где n_i – концентрация носителей в собственном полупроводнике.

Выражение (2.28) носит название закона действующих масс. Его можно сформулировать: произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике при данной температуре является величиной постоянной и равной квадрату концентраций собственных носителей. Объясняется это тем, что равновесные концентрации устанавливаются в результате двух процессов – генерации и рекомбинации. Когда в зоне проводимости кроме собственных электронов имеется небольшое число примесных электронов, освобождающиеся уровни в валентной зоне гораздо быстрее заполняются электронами , что приводит к резкому уменьшению концентрации дырок.

ПРИМЕР 3. Положение уровня Ферми в полупроводнике. [7]

Определить положение уровня Ферми в германии п – типа при температуре 300 К, если на 10⁶ атомов германия приходится один атом примеси. Концентрация атомов в германии равна 4,4ּ10²³ атомов/м³. Константа в выражении, связывающем число электронов в единице объеме в зоне проводимости с температурой и энергетическими уровнями, равна 4,83ּ10²¹м^-2ּК^-3/2. Ширина запрещенной зоны 0,72 эВ, а расстояние между дном зоны проводимости и донорным уровнем (энергия активации примеси ) 0,01 эВ.

Решение: поскольку концентрация атомов в германии равна 4,4ּ10²⁸м^-3 и на 10⁶ атомов германия приходится один атом примеси, то число свободных электронов в нем составляет 4,4ּ10²²м^-3. Концентрация свободных электронов в германии определяется в виде:

,

где А=4,83ּ10²¹м^-3ּК^-3/2 – константа, связывающая число электронов в единице объема в зоне проводимости с температурой и энергией уровней, N_c – эффективная плотности состояний в зоне проводимости, определяемая выражением

.

Поскольку энергия активации примеси равна 0,01 эВ, а ширина запрещенной зоны ξ_g=0,72 эВ, можно предположить, что все атомы примесей ионизированы, и пренебречь тепловой генерацией носителей. Тогда можно вычислить величину N_c при заданной температуре Т=300 К. Подставляя в выражение N значение Т^3/2=5196 К, находим, что N_c=4,83ּ10²¹ּ5196=

=25ּ10²⁴м^-3.

Преобразуем выражение для n_п к виду

,

или

,

отсюда получим

.

Таким образом,

эВ.

Это означает, что уровень Ферми находится на 0,165 эВ ниже дна зоны проводимости.

ПРИМЕР 4. Вывод точечных соотношений для концентрации носителей в примесных полупроводниках.

Выведите точное значение для концентрации дырок p_n в полупроводнике n – типа через концентрацию доноров N_Д и собственных носителей n_i. Выведите так же выражение для концентрации электронов в материале р – типа через концентрацию акцепторов N_a и собственных носителей n_i. Считать при этом, что все примеси ионизированны. Определите соотношение N_Д/n_i, если n_n= 1, 005 N_Д.

Вычислить p_n, если n_i для германия Т = 300 К равна 4•10¹⁹ м^-3. Найти приближенное значение для p_n, n_р, если N_Д>> n_i в материале n – типа и N_a>> n_i в материале p – типа.

Решение: для полупроводника n – типа можно записать следующее равенство

где n_р – концентрация электронов в материале n – типа; p_n – концентрация дырок в материале, а N_Д – концентрация доноров (атомов примеси).

Используя соотношение для закона действующих масс:

,

где n_i – число пар электрон – дырка в м³. Отсюда находим концентрацию электронов

.

Учитывая предыдущее выражение, получим

.

Таким образом, приходим к уравнению

,

Решение которое имеет вид:

.

Аналогичное выражение можно получить для полупроводника p – типа:

.

Согласно условию задачи n_n= 1, 005 N_Д. Тогда получим:

.

Подставляя это значение в соотношение для p_n, имеем:

,

или

.

Отсюда находим

,

то есть

.

Следовательно, концентрация дырок равна

.

Для полупроводника р – типа, если N_а>> n_i, аналогично имеем

,

то есть р_р ≈ N_a.

2.4.4. СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ И МЕТАЛЛАХ

С увеличением степени легирования кривая зависимости ln n от I/T в области примесной проводимости (рис. 2.5) смещается вверх. Угловой коэффициент прямой в области низких температур при этом остается неизменным, так как он определяется энергией ионизации Dx_Д и не зависит от концентрации примеси. Так происходит лишь до тех пор, пока концентрация примеси не достигнет некоторого уровня, выше которого наклон прямой ln n к оси I/T начнет уменьшаться, а затем вообще становится равным нулю. Уменьшение

наклона рассматриваемых прямых начинается при таких концентрациях примеси, когда волновые функции электродов на соединениях атома начинают перекрываться. Тогда вместо отдельных примесных уровней возникает примесная зона (рис. 2.6). При еще большей концентрации примеси эта зона сливается с зоной проводимости, образуя единую зону разрешенных энергий. Ширина запрещенной зоны при этом уменьшится.

а) б)

Рис. 2.6. а) Зависимость концентрации электронов в зоне проводимости от температуры при различных концентрациях примеси

б) Образование примесной зоны из примесного уровня

Если принять за критическую концентрацию примеси такое значение , при котором величина энергии Ферми x_F достигает дна зоны проводимости [8], т. е. x_F=x_с, то можно определить соотношение для в следующем виде:

, (2.29)

где , е – основание натурального логарифма.

Критическая концентрация позволяет границу вырождения, хотя это еще не есть полностью вырожденный полупроводник.

Вырожденный полупроводник определяют как полупроводник, в котором концентрация носителей заряда не зависит от температуры.

За критерий вырождения принято [8] условие, состоящее в том, что уровень Ферми в электронном полупроводнике должен располагаться выше дна зоны проводимости не менее чем на 5 кТ, а в дырочном полупроводнике не ниже потолка валентной зоны не менее чем на 5 кТ.

Концентрация электронов и дырок при этом определяются соотношениями:

, (2.30)

. (2.31)

В металлах электронный газ при любой температуре вплоть до температуры плавления является сильно вырожденным. Концентрация электронов в зоне проводимости определяется соотношением:

. (2.32)

Уровень Ферми очень слабо зависит от температуры:

, (2.33)

где - энергия Ферми при Т=0 К.

Приведенные соотношения (2.32) и (2.33) справедливы для одновалентных металлов, у которых все валентные электроны частично заполняют лишь одну энергетическую зону. В многовалентных металлах ситуация сложнее, но там электронный газ является врожденным и его состояние очень мало меняется с температурой.

2.5. ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 2

2.5.1. Привести выражение для вероятности того, что данное энергетическое состояние занято электроном, отдельно в случае распределения Максвелла – Больцмана и распределения Ферми – Дирака. В чем существенное различие между этими функциями распределения и при каких условиях используется каждая из этих функций? Определить температуру, при которой в проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%.

2.5.2. Дайте краткое объяснение понятий запрещенной зоны и уровня Ферми примечательно к чистому (беспримесному) полупроводнику. Ширина запрещенной зоны чистого полупроводника 1 эВ. Вычислить вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна зоны проводимости при температурах 0 и 290 К соответственно.

2.5.3. В собственном полупроводнике концентрация электронов проводимости при температуре 300 К равна 1,5×10¹⁶м^-3. Вычислить ширину запрещенной зоны и энергию уровня Ферми для данного полупроводника. Константа А в выражении, связывающим число электронов проводимости в м³ с температурой и энергией уровней, равна 4,83×10²¹м^-3×К^-3/2.

2.5.4. Пусть уровень Ферми полупроводника находится на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстояние 3кТ выше дна зоны проводимости, заняты электронами? Каково вероятность того, что уровень потолка валентной зоны содержит дырки, если ширина валентной зоны 1,1 эВ?

2.5.5. В собственном германии ширина запрещенной зоны 0,72 эВ. Насколько надо повысить температуру по сравнению с 300 К, чтобы число электронов проводимости увеличилось в 2 раза? Объяснить качественно температурную зависимость концентрации электронов в зоне проводимости в примесном полупроводнике п – типа для широкого интервала температур. Объяснить, как это сказывается на работе полупроводниковых приборов.

2.5.6. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при Т=400 К равна 1,38×10¹⁵ см^-3. Определить произведение эффективных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запрещённой зоны меняется по закону e_g=(0.785-4*10^-4*Т) эВ.

2.5.7. Найти температуру, при которой уровень Ферми совпадает с уровнем донорной примеси для германия, легированного сурьмой в концентрации 10¹⁶ см^-3 (уровень сурьмы e_д=e_с-0.01эВ). Какова концентрация элекронов при этой температуре ?

3. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И МЕХАНИЗМЫ ПРОВОДИМОСТИ

В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И МЕТАЛЛАХ.

В работе всех микроэлектронных устройств определяющую роль играют явления переноса подвижных носителей заряда, или так называемые кинетические явления. Причина этих явлений заключается в том, что подвижные носители заряда в процессе своего перемещения переносят массу, заряд, энергию.

Если создаются условия, при которых потоки носителей заряда становятся направленными, то в результате возникает ряд электрических эффектов, которые лежат в основе практичесеого использования полупроводников [9] .

Кинетическими процессами обусловлены такие явления в полупроводниках, как электропроводность, эффект Холла, изменение сопротивления в магнитном поле и другие. Важнейшим из этих явлений с точки зрения реализации

микроэлектронных устройств является электропроводность.

3.1. Подвижность носителей заряда.

В отсутствии внешнего электрического поля свободные носители хаотически перемещаются в кристалле. Хаотичность движения носителей обусловлена взаимодействием их с дефектами кристаллической решётки. Взаимодействие

с любым нарушением периодичности поля решётки приводит к изменению век-

тора тепловой скорости V_т .

Среднее время между двумя последовательными актами рассеяния (или

между двумя последовательными соударениями) называется временем свободного пробега носителей t_св .

Под действием внешнего поля напряжённости Е носители приобретают направленную составляющую скорости V_д . Это означает, что вектор суммарной средней скорости

V_å = V_д+V_т (3.1)

поворачивается вдоль линий поля.

В слабых полях V_д << V_т , вектор V_å почти совпадает с V_т и не зависит

от Е . В сильных полях V_д »V_т и вектор V_å значительно отличается от V_т как по величине, так и по направлению. Кроме того, он зависит от напряженности поля.

Направленное перемещение носителей в электрическом поле называют

дрейфом. Дрейфовую составляющую скорости можно выразить через ускорение, приобретаемое носителями под действием поля а=q*E/m_n и время свободного пробега :

Таким образом, дрейфовая скорость в слабых полях оказывается пропорциональной напряжённости поля :

V_д = U_n*E . (3.3)

Коэффициент пропорциональности называется подвижностью носителей :

которая представляет собой скорость, получаемую зарядом под действием единичного поля. Размерность подвижности – м²/(В*с).

Двигаясь со средней скоростью V_д , носители заряда за время t_св проходят путь, равный длине свободного пробега :

l_св = V_д*t_св , (3.5)

откуда следует :

На подвижность большое влияние оказывает механизм рассеяния носителей.

Основными механизмами рассеяния носителей являются рассеяние на тепловых колебаниях решётки (фононах) и рассеяние на примесях (ионизированных и неионизированных).

В области низких температур, когда колебания решётки незначительны, основную роль играет рассеяние на ионизированных примесях. Как показывает расчёт [10] , в этом случае

U_n ~ N_пр^-1*а*Т^3/2 *[ln(1+b*T²)]^-1 , (3.7)

где N_пр - концетрация примесей ;

а , b - постоянные, определяемые материалом.

Как видно из (3.7), с увеличением температуры увеличивается подвижность.

Однако, при постоянной температуре подвижность уменьшается при увеличении N_пр , так как при этом усиливается эффект рассеяния.

В области высоких температур рассеяние происходит, в основном, на тепловых колебаниях решётки (фононах), которые усиливаются с увеличением температуры. В этом случае :

U_n ~ b₁*T^-3/2 , (3.8)

uде b₁ – постоянная, определяемая материалом. Следовательно, подвижность при рассеянии на тепловых колебаниях уменьшается с ростом температуры.

U_n const

~Т^-5 б)

а)

~Т^3/2 ~Т^-3/2

N'_пр N''_пр

~Т^-1

0 Т' Т" Т

Рис.3.1 Зависимость от температуры и концентрации подвижности носителей

в материалах : вырожденных (а) и невырожденных (б).

В вырожденных материалах электрическое поле воздействует лишь на носители заряда, располагающиеся вблизи уровня Ферми. Поэтому для них

Un ~ Т^-1. Для чистых металлов, которые относятся к вырожденным системам рассеяние на фононах является основным и для низких температур. При этом электронов оказывается пропорциональной Т^-5. Однако в области температур, близких к нулю, тепловые колебания не оказывают влияния на рассеяние носителей и подвижность не зависит от температуры.

Графическая зависимость подвижности носителей от температуры представлена на рис.3.1. С увеличением концентрации примеси N_пр подвижность

уменьшается, а максимум на кривых (рис.3.1) смещается в сторону более высоких температур, потому, что с увеличением примесное рассеяние сохраняет влияние при более высоких температурах.