Тема: Расчет однофазных цепей синусоидального тока
Цель: Получить навыки расчета разветвленных однофазных цепей синусоидального тока различными методами как в обычных режимах, так и в режиме резонанса, научиться сопровождать расчеты векторными и топографическими диаграммами.
В результате выполнения практического занятия у студента формируются компетенции ПК-10 (умение проводить инженерные изыскания), ПК-17 (умение применять знание научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по профилю деятельности).
Актуальность темы практического занятиязаключается в необходимости проводить расчеты однофазных цепей используемых при электроснабжении потребителей.
Теоретическая часть
Символический (комплексный) метод расчета цепей синусоидального тока.
Рассмотрим электрическую цепь синусоидального тока, схема которой приведена на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Схема электрической цепи синусоидального тока
В цепи действует синусоидальный источник ЭДС 
. Запишем уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений, учитывая, что 
; 
; 
. Далее в уравнениях синусоидальные токи и напряжения, зависящие от времени будем обозначать 
, 
, 
, 
, 
:
.
Выражая мгновенные значения напряжения через мгновенные значения токов, получаем
(5.1)
Система уравнений (5.1) представляет собой законы Кирхгофа в дифференциальной форме для схемы электрической цепи (рисунок 5.1).
Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. При этом следует произвести следующие замены:
(5.2)
Мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке 
заменено комплексом 
, опережающим ток на 
. Опережение вектора тока происходит вследствие умножения его на 
, так как умножение любого вектора на 
сдвигает его на угол, равный + . Таким образом, мгновенное значение напряжения на конденсаторе 
заменено комплексом 
, отстающим от тока на . Отставание вектора тока происходит вследствие умножения его на 
, так как умножение любого вектора на 
сдвигает его на угол, равный 
.
Анализ электрических цепей также можно производить в комплексах действующих значений токов 
и напряжений 
, которые в 
раз меньше соответствующих амплитудных комплексов 
. В задачах, как правило, расчет ведется для действующих значений токов и напряжений, если не оговорено другое. Расчет для действующих значений проводится потому, что модули этих значений будут показывать измерительные приборы, включенные в рассматриваемую электрическую цепь.
После замен мгновенных величин в схеме на рисунке 5.1 на комплексы действующих значений схема электрической цепи примет вид, показанный на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2 – Схема электрической цепи синусоидального тока
Символическая форма записи уравнений для действующих значений токов и напряжений по законам Кирхгофа для схемы электрической цепи на рисунке 5.2:
. (5.3)
Решив систему уравнений (5.3), получим комплексы неизвестных токов 
и 
. После перехода от комплексных значений токов к мгновенным 
, 
и 
токи считаются определенными.
Для расчета цепей переменного тока посредством комплексных чисел могут использоваться все методы, применяемые для расчета цепей постоянного тока. При этом напряжения, потенциалы, токи, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.
Метод контурных токов для цепи переменного тока.
Рассмотрим метод контурных токов на примере схемы, представленной на рисунке 5.2.
Для заданной схемы направления обхода контурных токов 
, 
взяты по часовой стрелке. Источников тока в схеме нет. Таким образом, система уравнений по методу контурных токов будет иметь две строки и два столбца:
. (5.4)
где 
– собственное комплексное сопротивление контура m (сумма комплексных сопротивлений всех ветвей, входящих в контур m). В нашем случае 
;
.
– общее комплексное сопротивление контуров m и l, берется со знаком «плюс», если направления контурных токов в данной ветви совпадают, в обратном случае – берется знак «минус». Для рассматриваемой цепи общим сопротивлением между контурами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является 
. Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление 
, войдет в уравнение со знаком минус.
– комплекс алгебраической суммы ЭДС, входящих в контур m. В нашем случае 
, 
.
Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 5.4 примет следующий вид:
. (5.5)
Решив полученную систему (5.5) относительно 
и 
, найдем токи в ветвях электрической цепи.
Токи в ветвях электрической цепи, через контурные токи определяются следующим образом: 
; 
; 
.
Метод узловых потенциалов для цепи переменного тока.
В представленной на рисунке 5.2 электрической цепи всего два узла. Для расчета токов в такой цепи используем метод двух узлов.
Запишем выражение для напряжения 
по методу двух узлов:
. (5.6)
Токи в ветвях электрической цепи определяются по закону Ома следующим образом:
; 
; 
.
Использование закона Ома для расчета цепи переменного тока рассмотрим на примере схемы, представленной на рисунке 5.2.
В схеме (рисунок 5.2) содержится один источник, поэтому для нахождения тока 
используем закон Ома:
;
;
.
Комплексное сопротивление относительно источника 
равно 
, т.к. ветвь с 
соединена параллельно с ветвью 
, по которой протекает ток 
, а их общее сопротивление 
соединено последовательно с участком цепи 
.
Токи и 
определялись через параллельное токораспределение по ветвям и .
Пример расчета электрической цепи синусоидального тока.
Рассчитать токи в ветвяхэлектрической цепи однофазного переменного тока рисунок 5.3. Если 
, 
= 318,5 мкФ, 
= 10 Ом, 
= 16 мГн, 
= 20 Ом.
Рисунок 5.3 – Схема электрической цепи синусоидального тока
Решение.
Воспользуемся методом двух узлов
.
Определим индуктивное и емкостные сопротивления
Ом,
Ом.
Определим комплекс действующего значения источника 
, т.к. 
, а 
. Тогда 
В.
Подставим в выражение 
полученные значения:
.
Приведем знаменатель полученного выражения к виду
После подстановки полученного значения в выражение для , получим:
.
Теперь найдем ток 
, используя закона Ома:
;
В показательной форме записи ток равен:
Ток будет равен:
.
Ток в показательной форме записи 
Ток будет равен:
.
Ток в показательной форме записи 
Таким образом, запишем мгновенные значения токов:
, 
,
.
Векторная диаграмма токов.
На рисунке 5.4 представлена векторная диаграмма токов для электрической цепи, изображенной на рисунке 5.3.
Рисунок 5.4 – Векторная диаграмма токов
Определим потенциалы точек электрической схемы рисунок 5.3.
Потенциалы точек на комплексной плоскости образуют топологическую диаграмму. Для схемы (рисунок 5.3) топологическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, представлена на рисунке 5.5. Масштаб векторов тока при это увеличен в десять раз.
Рисунок 5.5 – Совмещенные векторная диаграмма токов и топологическая диаграмма напряжений
Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например, между точками a и c определяется по значению и направлению вектором 
, проведенным на топографической диаграмме, причем его направление будет от c к a. Первый индекс у напряжения (в рассматриваемом примере a) указывает, к какой точке следует направить стрелку вектора 
, а второй индекс – от какой точки. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты. Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, в рассматриваемом случае, на векторной диаграмме напряжение 
должно опережать ток на 90°, а напряжение 
– отставать от тока на 90°.
Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в расчете есть ошибка, которую необходимо устранить. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета.
Активная, реактивная и полная мощность.
Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая нагрузкой, равна скорости совершения работы 
в данный момент времени 
.
Рассмотримна примере электрической цепи (рисунок 5.3) прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексах напряжения и тока.
Активная мощность в цепи переменного тока:
,
где 
, 
, 
– действующие значения напряжения на резисторах, 
– модуль (длина вектора) комплекса тока 
.
Реактивная мощность в цепи переменного тока:
,
Комплекс полной мощности получаемой нагрузкой от источника ЭДС :
.
В формуле стоит знак 
, т.к. реактивная мощность может быть, как положительная, так и отрицательная, в зависимости от характера нагрузки. В нашем случае 
кВт, 
кВар.
Комплекс полной мощности 
, отдаваемой (генерируемой) источником ЭДС , определяется следующим образом:
,
где 
– сопряженный комплекс тока . Для рассматриваемой схемы 
Сопряженный комплекс тока отличается от простого комплекса тем, что у мнимой части тока необходимо изменить знак 
(в рассматриваемом случае знак «плюс» меняется на «минус»).
Таким образом, 
. Вещественная часть комплекса полной мощность 
обозначается 
и является активной мощностью, генерируемой источником . Мнимая часть – это реактивная мощность 
. В рассматриваемом случае 
кВт, 
кВар.
Расчет показывает, что баланс активных и реактивных мощностей в рассматриваемой цепи рисунок 5.3 выполняется.
На рисунке 5.7 представлена иллюстрация токов, напряжений, активной, реактивной и полной мощности для электрической цепи, изображенной на рисунке 5.3.
Рисунок 5.7 – Векторная диаграмма токов, напряжений и мощностей
Измерение активной мощности в цепи переменного тока.
Активная мощность измеряется ваттметром W, который имеет две цепи или обмотки. На рисунке 5.8 показана обмотка тока, которая имеет два зажима (вывода) 1 и 2, а также обмотка напряжения (зажимы 3 и 4). Одноименные зажимы обозначают звездочками.
Рисунок 5.8 – Изображение ваттметра на электрической схеме
Ваттметр измеряет значение 
, где 
и 
– действующие значения напряжения и тока, подведенные к ваттметру, а 
– угол сдвига фаз между ними, который соответствует одинаковым положительным направлениям и относительно выводов, отмеченных звездочкой.
Вольтметры V и амперметры A в цепи переменного тока показывают модуль действующего значения измеряемой величины.
Резонансный режим работы цепей переменного тока.
В цепи переменного тока, содержащей один или несколько индуктивных или емкостных элементов, подключенных к источнику энергии возможен режим резонанса, при котором ток и напряжение на входе цепи будут совпадать по фазе. Различают два основных вида резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений. Резонансный режим на практике используют для уменьшения сдвига фаз между напряжением на приемнике и током, потребляемым от генератора.
Резонанс токов возникает в параллельном колебательном контуре (рисунок 5.9).
Рисунок 5.9 – Параллельный колебательный контур
При напряжении питания 
комплексное значение общего тока будет равно:
,
где 
– комплексная проводимость цепи; 
– ее модуль (полная проводимость);
– аргумент.
Действующее значение тока I
.
При угловой частоте 
индуктивная 
и емкостная 
проводимости ветвей одинаковы 
, угол сдвига фаз тока и напряжения 
. Полная проводимость цепи 
, и общий ток 
. Если напряжение на зажимах цепи и активная проводимость 
цепи не изменяются, то общий ток при резонансе имеет наименьшее значение. Токи в индуктивном и емкостном элементах равны по величине и находятся в противофазе. Векторная диаграмма при резонансе токов представлена на рисунке 5.10.
Рисунок 5.10 – Векторная диаграмма токов при параллельном резонансе
Если в ветвях с индуктивным и емкостным элементами включены резисторы 
и 
, то условием резонанса токов в цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей ветвей (рисунок 5.11):
, резонансная частота 
.
Добротность для параллельного контура 
определяет кратность превышения тока в индуктивном и емкостном элементах над общим током в режиме резонанса. Резонансные свойства контура характеризуют также величиной, носящей название затухание контура 
.
а) б)
Рисунок 5.11 – Электрическая схема (а) и векторная диаграмма (б) параллельного колебательного контура в режиме резонанса
Резонанс напряженийвозникает в последовательном колебательном контуре (рисунок 5.12), который содержит индуктивный 
, емкостной 
и резистивный 
элементы.
Рисунок 5.12 – Последовательный колебательный контур
По закону Ома комплексная величина тока в контуре определяется
,
где 
– комплексное входное сопротивление, 
– его модуль (полное сопротивление), 
– его аргумент.
Действующее значение тока: 
.
Режим работы неразветвленного участка цепи, при котором ее ток и напряжение совпадают по фазе 
, 
, называется резонансом напряжений. В режиме резонанса напряжение на емкостном и напряжение на индуктивном элементах равны и находятся в противофазе рисунок 5.13.
Рисунок 5.13 – Векторная диаграмма напряжений при последовательном резонансе
Резонансного режима можно достичь, изменяя частоту приложенного к цепи напряжения или параметры цепи: индуктивность катушки и емкость конденсатора. Величины угловой частоты 
, индуктивности Lo и емкости Co, в резонансном режиме: 
Если напряжение U на зажимах цепи и активное сопротивление R цепи не изменяются, то ток при резонансе имеет наибольшее значение, равное 
и не зависящее от величин реактивных сопротивлений. Напряжения на емкостном и индуктивном элементах могут во много раз превысить напряжение питания, если 
, где 
– характеристическое (волновое) сопротивление колебательного контура. Отношение 
определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного элементов над напряжением питания и называется добротностью контура.
Цепи переменного тока с взаимной индуктивностью.
Если две катушки изготовлены таким образом, что магнитный поток одной пересекает витки другой, то между катушками имеется взаимная индуктивность М. При согласном включении катушек магнитный поток, вызванный током одной катушки, совпадает по направлению с магнитным потоком, вызванным током другой катушки (М > 0). Соединение катушек, при котором магнитные потоки направлены в противоположные стороны, является встречным (М < 0).
На схемах замещения электрических цепей точками обозначены одноименные выводы (начала катушек) При согласном включении катушек токи направлены одинаково относительно одноименных выводов (рисунок 5.14 а). Если токи направлены по-разному относительно одноименных выводов (рисунок 5.44 б), то катушки включены встречно.
а) б)
Рисунок 5.14 – Схема замещения электрической цепи
Напряжения на индуктивных элементах при наличии индуктивной связи определяется при согласном включении как
, 
при встречном включении 
, 
.
В режиме синусоидального тока комплексные значения напряжения на индуктивных элементах при согласном включении определяются:
, 
;
при встречном включении –
, 
.
Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи 
. При k = 1 ( 
) имеем совершенную связь обмоток – весь поток, создаваемый одной обмоткой, пересекает сечение витков второй катушки, и рассеяние магнитного потока отсутствует. К этому режиму можно приблизиться, помещая обе катушки на общем сердечнике, материал которого имеет высокую магнитную проницаемость. Практически всегда k < 1. Примером цепи с магнитной связью является трансформатор. Трансформатор используется для преобразования токов и напряжений, развязки и согласования отдельных участков цепи. Он состоит из двух или нескольких индуктивно связанных обмоток или катушек. (задачи по трансформаторам будет рассмотрены в практическом занятии 7)
Задания
1. Для электрической цепи однофазного переменного тока схема, которой представлена на рисунке 5.15. Записать уравнения по законам Кирхгофа в дифференциальной форме. Найти токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов, напряжения на участках цепи, активную, реактивную и полную мощности, а также построить векторную диаграмму токов и напряжений. Определить показание измерительных приборов. Дано: 
, = 318,5 мкФ, 
= 10 Ом, = 16 мГн, = 10 Ом. ( 
A, 
= 1 A, 
A)
Рисунок 5.15 Рисунок 5.16
2. Источник тока 
, частота которого может изменяться, подключен к схеме рисунок 5.16 с параметрами 
= 10 Ом, С = 1 мкФ. Напряжение на емкости в режиме резонанса равно 10 В. Определить резонансную частоту и индуктивность. (106 рад./с, 10-6 Гн)
3. Для электрической цепи однофазного переменного тока схема, которой представлена на рисунке 5.17. Найти емкость конденсатора С при котором в цепи будет наблюдаться резонанс и токи в этом режиме 
, 
, 
. Параметры эклектической цепи: 
; = 16 Ом; L = 1,6 мкФ. (С = 25 мкФ, 
A, 
A)
Рисунок 5.17
4. Для электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 5.18 с параметрами 
= 20 Ом, 
= 20 Ом, 
= 10 Ом, = 20 Ом, 
= 40 Ом, 
= 10 Ом, 
= 200 В. Определить показание вольтметра. (97 В)
Рисунок 5.18
5. Для электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 5.19 с параметрами: 
; 
= 80 Ом; 
= 191 мОм; 
= 255 мГн; 
= 80 мкФ; 
; 
= 127 мГн. Определить токи ветвей. ( 
A, 
A,
A)
Рисунок 5.19
Контрольные вопросы
1. Изложите основы символическою метода расчета. Почему все методы расчета цепей постоянного тока применимы к цепям синусоидального тока?
2. Дайте определение векторной и топографической диаграммам.
3. Как определить напряжение между двумя точками схемы по топографической диаграмме?
4. Физически интерпретируйте Р, Q, S.
5. Выразите комплексную мощность S через комплексы напряжения и тока.
6. Запишите баланс активных и реактивных мощностей.
7. Дайте определение режиму резонанса токов и режиму резонанса напряжений.
8. Как в расчете учитывают магнитную связь между индуктивными катушками?
Список литературы, рекомендуемый к использованию по данной теме
Основная литература
1. Немцов М.В. Электротехника и электроника (6-е изд., стер.) учебник. –М: Академия, 2013. – 480 с. – ISBN: 9785446804320.
2. Электротехника и электроника: Учебное пособие для вузов / В.В. Кононенко [и др.]; под ред. В.В. Кононенко. – Изд. 6-е – Ростов н/Д: Феникс, 2010. – 784 с. (Высшее образование). – ISBN 978-5-222-17568-2.
Дополнительная литература
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.
4. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: учеб. пособие для студентов / под ред. П. А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 768 с.
Практическое занятие 6