Расчет электрических параметров цепи

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Анализ и решение задачи 1

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

X_L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10^-3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

X_C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10^-6) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X_L - X_C = 3 Ом; Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

U₁ = R I = 96 В; U₂ = X_L I = 192 В; U₃ = X_C I = 120 В.

3. Вычисление мощностей

Активная мощность

P = R I² = U₁ I = 2304 Вт.

Реактивные мощности:

Q_L = X_L I² = U₂ I = 4608 ВАр; Q_C = X_C I² = U₃ I = 2880 ВАр.

Полная мощность цепи

ВА.

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e^j0° = 4 Ом; X_L = 8e^+j90° = j8 Ом; X_C = 5e^-j90° = -j5 Ом.

Z = R + j(X_L - X_C) = 4 + j(8 - 5) Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

Ом;

.

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze^+jφ = 5e^+j37°Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

Í = Ú / Z = 120e^+j0° / 5e^+j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q_L = 4608 ВАр; Q_C = 2880 ВАр.

.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности

S² = P² + (Q_L - Q_C)².

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie^+j0° / 24e^+j0°А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú₁ = R Í = 96e^+j0° В; Ú₂ = X_L Í = 192e^+j90°В;

Ú₃ = X_C Í = 120e^-j90° В; Ú = Z Í = 120e^+j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Ú = Ú₁ + Ú₂ + Ú₃.

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú₁ совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú₂ опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?

По условию задачи X_L > X_C, поэтому X = X_L - X_C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X_L, X_C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X_L > Z.

2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?

От частоты зависят реактивные сопротивления: X_L прямо пропорционально частоте f, X_C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X_L > X_C, поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U_L = U_C, Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X_C > X_L, Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.