Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Практические занятия №3

Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Вопросы для подготовки к занятиям

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.

Расчет электрических параметров цепи

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Анализ и решение задачи 1

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

X_L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10^-3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

X_C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10^-6) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X_L - X_C = 3 Ом; Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

U₁ = R I = 96 В; U₂ = X_L I = 192 В; U₃ = X_C I = 120 В.

3. Вычисление мощностей

Активная мощность

P = R I² = U₁ I = 2304 Вт.

Реактивные мощности:

Q_L = X_L I² = U₂ I = 4608 ВАр; Q_C = X_C I² = U₃ I = 2880 ВАр.

Полная мощность цепи

ВА.

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e^j0° = 4 Ом; X_L = 8e^+j90° = j8 Ом; X_C = 5e^-j90° = -j5 Ом.

Z = R + j(X_L - X_C) = 4 + j(8 - 5) Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

Ом;

.

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze^+jφ = 5e^+j37°Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

Í = Ú / Z = 120e^+j0° / 5e^+j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q_L = 4608 ВАр; Q_C = 2880 ВАр.

.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности

S² = P² + (Q_L - Q_C)².

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie^+j0° / 24e^+j0°А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú₁ = R Í = 96e^+j0° В; Ú₂ = X_L Í = 192e^+j90°В;

Ú₃ = X_C Í = 120e^-j90° В; Ú = Z Í = 120e^+j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Ú = Ú₁ + Ú₂ + Ú₃.

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú₁ совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú₂ опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?

По условию задачи X_L > X_C, поэтому X = X_L - X_C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X_L, X_C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X_L > Z.

2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?

От частоты зависят реактивные сопротивления: X_L прямо пропорционально частоте f, X_C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X_L > X_C, поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U_L = U_C, Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X_C > X_L, Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.

Анализ и решение задачи 2

1. Вычисление полного сопротивления катушки

Z_К = U / I = 100 / 10 = 10 Ом.

2. Вычисление активного сопротивления катушки R_К

Ваттметр измеряет активную мощность, которая в данной схеме потребляется активным сопротивлением R_К.

R_К = P_К / I² = 600 / 100 = 6 Ом.

3. Вычисление индуктивности катушки L_К

; Ом;

X_К = 2πf L_К; L_К = X_К / (2πf) = 8 / (2π×50) = 0,025 Гн.

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как решить задачу другим способом?

Параметры катушки индуктивности можно определить, рассчитав полную мощность S_К и реактивную мощность катушки Q_К.

S_К = U I = 100 · 10 = 1000 ВА.

ВАр.

R_К = P_К / I² = 6 Ом; X_К = Q_К / I² = 8 Ом; Ом.

2. Записать законы изменения тока и всех напряжений для данной цепи.

Определим угол фазового сдвига между током i(t) и приложенным напряжением u(t)

φ = arctg(X_К / R_К) = arctg(8 / 6) = 53°.

В цепи с активно-индуктивной нагрузкой напряжение опережает ток на угол φ = 53°. Амплитуды тока и напряжения определим, зная действующие значения тока и напряжения

А; В.

Законы изменения тока i(t) и напряжения u(t) запишутся в следующем виде:

i(t) = 14,1 sinωt; u(t) = 141 sin(ωt + 53°).

Для записи напряжений u_R(t) и u_L(t) определим их величины

U_R = R I = 60 В; В;

U_L = X_L I = 80 В; В.

На активном сопротивлении R_К ток i(t) и напряжение u_R(t) по фазе совпадают. При протекании тока через индуктивность L_К возникает фазовый сдвиг φ = 90° между током i(t) и напряжением u_L(t).

u_R(t) = 84,8 sinωt; u_L(t) = 113 sin(ωt+90°).

Практическое занятие №5.

Анализ и решение задачи 1

1. Схема замещения каждого двигателя может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов, т.к. в двигателе происходит как необратимое преобразование электрической энергии в механическую и тепловую, так и колебательный обмен энергией между магнитным полем двигателя и сетью. Схема замещения к задаче представлена на рис. 6.11.

2. Токи двигателей рассчитываются по паспортным данным:

А; А.

Сдвиги токов по фазе по отношению к напряжению: φ₁ = 53,1°, φ₂ = 45,5°.

3. Мощности ветвей приведены в исходных данных, поэтому расчет схемы удобно вести через треугольники мощностей.

Реактивные мощности двигателей:

Q₁ = U I₁ sin φ₁ = 220 · 2,27 · 0,8 = 399 ВАр;

Q₂ = U I₂ sin φ₂ = 220 · 2,6 · 0,713 = 407 ВАр.

Активная и полная мощности всей цепи:

P = P₁ + P₂ = 300 + 400 = 700 Вт;

Q = Q₁ + Q₂ = 399 + 407 = 806 ВАр;

ВА.

Ток в цепи источника

I = S / U = 1068 / 220 = 4,85 А.

Коэффициент мощности схемы

cos φ = P / S = 700 / 1068 = 0,655.

4. Рассчитаем емкость конденсатора, необходимую для повышения коэффициента мощности схемы до cos φ' = 0,9.

Включение конденсатора параллельно нагрузке не изменяет ее активную мощность, а уменьшает реактивную и полную мощности, потребляемые всей схемой от источника. Поэтому по активной мощности цепи и заданному значению cos φ' определим полную мощность цепи

S' = P / cos φ' = 700 / 0,9 = 777,8 ВА.

Реактивная мощность цепи

ВАр.

Реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ее участков. В данном случае Q' = Q - Q_C, поэтому мощность конденсатора

Q_C = Q - Q' = 806 - 339 = 467 ВАр.

Многоугольник мощностей показан на рис. 6.12.

Ток в цепи конденсатора и его сопротивление:

I_C = Q_C / U = 467 / 220 = 2,12 А; X_C = U / I_C = 220 / 2,12 = 103 Ом.

Емкость конденсатора

C = 1 / (2πf X_C) = 1 / (2π · 50 · 103) = 30,7·10^-6 Ф = 30,7 мкФ.

Результатирующий ток источника

I' = S' / U = 777,8 / 220 = 3,535 А.

На рис. 6.13 приведены векторные диаграммы напряжения и токов схемы без конденсатора (а) и после подключения параллельно нагрузке конденсатора (б).

5. Если в исходных данных приведены сопротивления ветвей или их токи и коэффициенты мощности, то расчет удобно вести через треугольники токов (их активные и реактивные составляющие).

Активные составляющие токов ветвей:

I_1а = I₁ cos φ₁ = 2,27 · 0,6 = 1,362 А;
I_2а = I₂ cos φ₂ = 2,6 · 0,7 = 1,818 А;
I_а = I_1а + I_2а = 1,362 · 1,818 = 3,18 А.

Реактивные составляющие токов ветвей:

I_1р = I₁ sin φ₁ = 2,27 · 0,8 = 1,818 А;
I_2р = I₂ sin φ₂ = 2,6 · 0,713 = 1,852 А;
I_р = I_1р + I_2р = 1,818 · 1,852 = 3,67 А.

Полный ток источника

А.

Коэффициент мощности эквивалентной нагрузки

cos φ = I_а / I = 3,18 / 4,854 = 0,655.

Реактивная составляющая тока источника после подключения конденсатора

I'_р = I_а tg φ' = 3,18 · 0,484 = 1,54 А.

Ток конденсатора I_C = I_р - I'_р = 3,67 - 1,54 = 2,13 А.

Далее определяются X_C и С, как было рассмотрено выше.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Как по результатам расчета определить параметры последовательной схемы замещения двигателей и всей схемы в целом?

Полные сопротивления двигателей определяются по закону Ома:

Z₁ = U / I₁; Z₂ = U / I₂.

Активные и реактивные составляющие сопротивлений рассчитываются через треугольники сопротивлений:

R₁ = Z₁ cos φ₁; R₂ = Z₂ cos φ₂; X₁ = Z₁ sin φ₁; X₂ = Z₂ sin φ₂.

Сопротивления можно подсчитать также и через треугольники мощностей. Например, для схемы в целом

R = P / I² = 700 / 4,856² = 29,68 Ом; X = Q / I² = 339 / 4,856² = 14,37 Ом.

2. Какова схема замещения цепи при представлении токов ветвей в виде суммы активных и реактивных составляющих.

Разложение тока на составляющие соответствует представлению реального элемента цепи в виде соединенных параллельно идеальных активного и реактивного сопротивлений (рис. 6.14).

Параметры схемы подсчитываются по закону Ома или через мощности:

R' = U / I_а = U² / P; X' = U / I_р = U² / Q; Z = U / I = U² / S.

3. Как изменятся токи в схеме, если параллельно двигателю подключить осветительную (чисто активную) нагрузку?

За счет увеличения активной составляющей (освещение) ток источника возрастет, токи в ветвях схемы не изменятся.

4. Как рассчитать схему графоаналитическим методом?

Для определения тока источника рассчитываются, как это было приведено выше, токи в ветвях I₁ и I₂ и их сдвиги по фазе φ₁ и φ₂ по отношению к напряжению. Далее строится в масштабе векторная диаграмма токов и по диаграмме определяется величина тока I и его сдвиг по фазе по отношению к напряжению φ (рис. 1.13).

5. Как рассчитать токи в схеме комплексным методом?

Для расчета связываем векторную диаграмму с комплексной плоскостью; для упрощения выкладок один из векторов, например напряжение, направим по действительной оси, т.е. U = 220 В.

Токи в ветвях в комплексной форме:

Í₁ = 2,27e^-j53,1° = 2,27 (cos 53,1° - j sin 53,1°) = (1,36 - j 1,81) А;
Í₂ = 2,6e^-j45,5° = 2,6 (cos 45,5° - j sin 45,5°) = (1,82 - j 1,84) А.

По первому закону Кирхгофа ток источника

Í = Í₁ + Í₂ = 1,36 - j 1,81 + 1,82 - j 1,84 = 3,18 - j 3,66 = 4,85e^-j49° А.

Мощность цепи в комплексной форме:

S = Ú Î = 220 · 4,85e^j49° =1067e^j49° = (700 + j 806) ВА;
S = 1067 ВА; P = 700 Вт; Q = 806 ВАр.

Батарея конденсаторов рассчитывается, как это было рассмотрено выше.

Анализ и решение задачи 2

1. По условию задачи составим схему замещения цепи (рис. 6.15), в которой кабельная линия электропередачи представлена в виде последовательного соединения резистивного и емкостного элементов.

2. Определим неизвестные параметры и запишем в комплексном виде сопротивления всех элементов цепи.

Линия электропередачи

R_Л = 1,8 Ом; Х_Л = 0,6 Ом; Ом; cos φ_Л = R_Л / Z_Л = 0,947;
φ_Л = arctg(-X_Л / R_Л) = -19°; Z_Л = 1,9e^-j19°.

Асинхронные двигатели

R₁ = 4 Ом; cos φ₁ = 0,8; Z₁ = R₁ / cos φ₁ = 4 / 0,8 = 5 Ом; Ом;
φ₁ =arccos R₁ / Z₁ =37°; Z₁ = 5e^+j37° Ом.

Люминесцентные лампы

R₂ = 8 Ом; φ₂ = 0°; Z₂ = 8e^+j0° Ом.

Конденсатор

С₃ = 200 мкФ; X₃ = 1 / (2πf C) = 1 / (2π · 50 · 200 · 10^-6) = 16 Ом; Z₃ = 16e^-j90° Ом.

3. Расчет комплексного эквивалентного сопротивления Z_экв схемы замещения.

В схеме замещения к линии электропередачи с сопротивлением Z_Л параллельно подключена группа потребителей с сопротивлениями Z₁, Z₂, Z₃, поэтому для расчета Z_эквнеобходимо сначала определить их общее сопротивление Z_П, используя метод проводимостей.

Определим активные и реактивные проводимости параллельно включенных ветвей

q₁ = R₁ / Z₁² = 4 / 25 = 0,16 см; b₁ = X₁ / Z₁² = 3 / 25 = 0,12 см;
q₂ = 1 / R₂ = 1 / 8 = 0,125 см; b₃ = 1 / -X₃ = -1 / 16 = -0,0625 см.

Определим активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи

q_П = q₁ + q₂ = 0,16 + 0,125 = 0,285 см;
b_П = b₁ - b₃ = 0,12 - 0,0625 = 0,0575 см;
см.

Определим активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи

Z_П = 1 / Y_П = 1 / 0,29 = 3,45 Ом; R_П = q_П Z_П² = 3,38 Ом; X_П = b_П Z_П² = 0,68 Ом;
φ_П = arctg(X_П / R_П) = arctg 0,2 = 11°; Z_П = 3,45e^+j11°Ом.

Нарисуем эквивалентную схему замещения (рис. 6.16), где все сопротивления включены последовательно

Определим эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления всей цепи

R_экв = R_Л + R_П = 1,8 + 1,38 = 5,18 Ом;
X_экв = -X_Л + X_П = -0,6 + 0,68 = 0,08 Ом;
Ом;
φ_экв = arctg(X_экв / R_экв) = 1°; Z_экв = 5,1806e^+j1°Ом.

4. Определим токи и напряжения на всех участках цепи.

Ток в линии электропередачи

Í_Л = Ú_C / Z_экв = 660e^+j0° / 5,181e^+j1° = 127,4e^-j1° А.

Падение напряжения в линии электропередачи

Ú_Л = Z_Л Í_Л = 1,9e^-j19° · 127,4e^-j1° = 242e^-j20° В.

Напряжение, подаваемое на потребители

Ú_П = Z_П Í_Л = 3,45e^+j11° · 127,4e^-j1° = 440e^+j10° В.

Токи в параллельных ветвях

Í₁ = Ú_П / Z₁ = 440e^+j10° / 5e^+j37° = 88e^-j27° А;
Í₂ = Ú_П / Z₂ = 440e^+j10° / 8e^+j0° = 55e^+j10° А;
Í₃ = Ú_П / Z₃ = 440e^+j10° / 16e^-j90° = 27,5e^+j100° А.

5. Построим векторные диаграммы для токов и напряжений.

Запишем второй закон Кирхгофа для схемы замещения (рис. 6.15)

Ú_C = Ú_П + Ú_Л; 660e^+j0° = 440e^+j10° + 242e^-j20°.

Векторную диаграмму для напряжений строим на комплексной плоскости (рис. 6.17), направив вектор напряжения Ú_C по действительной оси, т.е. Ú_C = 660e^+j0° В. Построение произведем в масштабе: в 1 см – 60 В.

Векторную диаграмму для токов строим на основании первого закона Кирхгофа записанного для узла а схемы замещения (рис. 6.15)

Í_Л = Í₁ + Í₂ + Í₃; 127,4e^-j1° = 88e^-j27° + 55e^+j10° + 27,5e^+j100°.

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как проверить правильность произведенных расчетов.

Приближенно расчеты проверяются по векторной диаграмме. Построив в масштабе вектора напряжений Ú_C и Ú_Л, измеряют величину суммарного вектора Ú_C и сравнивают с исходной U_C = 660 В. Вектора токов Í₁, Í₂, Í₃ строят на комплексной плоскости с соблюдением масштаба по величине и углов фазового сдвига φ₁, φ₂, φ₃относительно действительной оси. Измеряют величину и фазу суммарного вектора и сравнивают с расчетным значением Í_Л.

Точная проверка расчетов, как и в цепях постоянного тока, производится составлением баланса мощностей.

Определим активные и реактивные мощности для всех элементов цепи.

P_Л = R_Л I_Л² = 1,8 · 127,4² = 29215 Вт;
Q_Л = X_Л I_Л² = -0,6 · 127,4² = -9738 ВАр;
P₁ = R₁ I₁² = 4 · 88² = 30976 Вт; Q₁ = X₁ I₁² = 3 · 88² = 23232 ВАр;
P₂ = R₂ I₂² = 8 · 55² = 24200 Вт; Q₃ = X₃ I₃² = -16 · 27,5² = -12100 ВАр.

Определим расходуемые мощности для всей цепи

P_экв = P₁ + P₂ + P_Л = 84091 Вт;
Q_экв = Q₁ + Q₃ + Q_Л = 23232 - 12100 - 9738 = 1493 ВАр;
ВА.

Определим величины активной, реактивной и полной мощности, поставляемые из сети.

S_C = U_C I_Л = 660 · 127,4 = 84084 ВА;
P_C = S_C cos φ_C = 84084 · 0,999 = 84071 Вт;
Q_C = S_C sin φ_C = 84084 · 0,0174 = 1467 ВАр.

Величины мощностей, поставляемых для данной цепи, практически совпадают с расходуемыми во всех элементах цепи мощностями, следовательно расчеты произведены верно.

2. Как изменится схема замещения цепи, если напряжение U_C будет подводиться по воздушной линии электропередачи.

Схема замещения воздушной линии электропередачи представляется в виде последовательного соединения резистивного R_Л и индуктивного X_Л элементов.

Практическое занятие №6.

Самостоятельная работа студента

В процессе выполнения самостоятельной работы студент должен решить нижеприведенные задачи, используя лекционный материал, примеры расчета и анализа задач, рассмотренных на практических занятиях №4 и №5.

Отчет о проделанной работе должен быть представлен преподавателю по форме, указанной в методических указаниях. В отчете, кроме решенных задач, привести ответы на вопросы к практическим занятиям №4 и №5.

Задача 1. Для схемы (рис. 6.18) определить показания вольтметра, если задано: U = 50 В; X_L = 3 Ом; R = 4 Ом.

Ответ: 40 В.

Задача 2. Для схемы (рис. 6.19) определить U_L, если задано: U = 10 В; U_R = 6 В; U_C = 2 В; а X_L > X_C.

Ответ: 10 В.

Задача 3. Для схемы (рис. 6.20) определить X_C, если U = 150 В; а показания приборов PW = 500 В; PA = 5 A.

Ответ: 22,4 Ом.

Задача 4. В схеме (рис. 6.21) определить показания амперметра, если U = 240 Ом; X_C = 60 Ом; R = 80 Ом.

Ответ: 5 А.

Задача 5. Для схемы (рис. 6.22) определить по векторной диаграмме как изменятся показания амперметра при замыкании ключа, если R = X_L = X_C = 2 Ом.

Ответ: уменьшаться.

Задача 6. Для схемы (рис. 6.23) определить как изменятся показания приборов, если частота питающего напряжения увеличится. Ответ дать в доказательной форме.

Ответ: I₂ не изменится, P, I₁, I₃ – уменьшаться.

Задача 7. Для схемы (рис. 6.24) определить величину приложенного напряжения U, если X_L = 8 Ом, а приборы показывают PW = 96 Вт; PA = 4 А.

Ответ: 40 В.

Задача 8. Для схемы (рис. 6.25) определить показания приборов, если U = 100 Вт; X_L1 = X_L2 = X_С = R = 1 Ом.

Ответ: PW = 0 Вт; PA = 0 А.

Практические занятия №3

Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Вопросы для подготовки к занятиям

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.