Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U_m, то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой I_m. Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения.

Рис. 8

В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:

u=uR+uL+uC u=uR+uL+uC .(1)

Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:

i=Im⋅cosωt i=Im⋅cos⁡ωt .(2)

Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π/2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:

u=URm⋅cosωt+ULm⋅cos(ωt+π2)+UCm⋅cos(ωt−π2) u=URm⋅cos⁡ωt+ULm⋅cos⁡(ωt+π2)+UCm⋅cos⁡(ωt−π2) , (3)

где U_Rm, U_Cm и U_Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U_Rm, совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I_m. Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U⃗ Cm U→Cm отстает от вектора I⃗ m I→m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π/2, поэтому вектор U⃗ Lm U→Lm опережает вектор I⃗ m I→m на угол 90° (рис. 9).

Рис. 9

На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U⃗ Rm U→Rm , U⃗ Cm U→Cm и U⃗ Lm U→Lm , вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u_R, u_C и u_L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов U⃗ Rm U→Rm , U⃗ Cm U→Cm и U⃗ Lm U→Lm на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:

U⃗ m=U⃗ Rm+U⃗ Cm+U⃗ Lm U→m=U→Rm+U→Cm+U→Lm .

Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна

Um=U2Rm+(ULm−UCm)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ Um=URm2+(ULm−UCm)2 , (4)

или

Um=(ImR)2+(ImXL−ImXC)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=Im⋅R2+(XL−XC)2−−−−−−−−−−−−−−√=Im⋅R2+(Lω−1Cω)2−−−−−−−−−−−−−−√ Um=(ImR)2+(ImXL−ImXC)2=Im⋅R2+(XL−XC)2=Im⋅R2+(Lω−1Cω)2 .

Отсюда

Im=UmR2+(Lω−1Cω)2√ Im=UmR2+(Lω−1Cω)2 . (5)

Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока

Z=R2+(Lω−1Cω)2−−−−−−−−−−−−−−√ Z=R2+(Lω−1Cω)2 , (6)

выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:

Im=UmZ Im=UmZ . (7)

Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока.

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ω∙t + φ. Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:

u=Um⋅cos(ωt+φ) u=Um⋅cos⁡(ωt+φ) . (8)

Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:

cosφ=URmUm=Im⋅RIm⋅R2+(Lω−1Cω)2√=RZ cos⁡φ=URmUm=Im⋅RIm⋅R2+(Lω−1Cω)2=RZ . (9)

Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.