Числа с фиксированной запятой (ф.з.) – правильная дробь со знаком

Старший разряд является знаковым

n-разрядное число можно представить в виде

С точностью до множителя (*) число с ф.з. неотличимо от целого

Из дробного числа можно получить целое, домножив его на масштабирующий коэффициент 2^n-1

Из целого числа можно получить дробное, домножив его на масштабирующий коэффициент 2^-(n-1)

Удобнее использовать числа при умножении в дополнительном коде.

Рассмотрим умножение двухразрядных двоичных слов, в результате чего должно получиться четырехразрядное двоичное слово

01. ´ 01. = 0001.

0.1 ´ 0.1 = 0.010

0.1 ´ 01. = 0.100

Алгоритмы умножения в первых двух случаях различаются числом циклов, а умножение числа с фиксированной запятой на целое требует введения специального масштабирующего коэффициента, равного 2^n-1 , где n - число разрядов в машинном слове.

Следует отметить, что умножение числа с фиксированной запятой на целое представляет собой особый случай, не позволяющий при выполнении операции однозначно определить признак переполнения (так как непонятно, какой результат должен получиться – меньше или больше единицы), и поэтому, как правило, в вычислительных машинах отсутствует.

P = A ´ B

A – множимое; B – множитель; P – произведение

При умножении двух n-разрядных сомножителей получаем 2n-разрядный результат

P_i = P_i-1 + A·b_i ·qⁱ

P_i – i-я сумма частичных произведений

В зависимости от способа формирования суммы частичных произведений различают четыре основных метода выполнения умножения и соответственно четыре структуры АЛУ для этой операции. Для определенности сначала будем считать, что оба сомножителя – положительные числа

1. Умножение, начиная с младших разрядов множителя, со сдвигом суммы частичных произведений вправо и при неподвижном множимом.

Регистр множителя и сумматор частичных произведений при этом должны иметь цепи сдвига вправо. Регистр множимого может не иметь цепей сдвига. Последовательность действий в каждом цикле выполнения умножения определяется младшим разрядом регистра множителя, куда последовательно одна за другой поступают цифры множителя.

Поскольку по мере сдвига множителя вправо старшие разряды множителя освобождаются, он может быть использован для хранения младших разрядов произведения, поступающих из младшего разряда сумматора частичных произведений по мере выполнения умножения. Для этого при выполнении сдвига младший разряд регистра сумматора частичных произведений соединяется со старшим разрядом регистра множителя. После выполнения умножения старшие разряды произведения находятся в регистре сумматора, младшие – в регистре множителя.

При данном методе умножения все три регистра имеют одинаковую длину, равную числу разрядов сомножителей. Этот метод умножения нашел наибольшее применение в ЭВМ.

2. Умножение, начиная с младших разрядов множителя, при сдвиге множимого влево и при неподвижной сумме частичных произведений.

Регистр множителя при этом должен иметь цепи сдвига вправо, регистр множимого – влево, а сумматор частичных произведений не содержит цепей сдвига. Последовательность действий определяется, как и в первом случае, младшим разрядом регистра множителя.

При этом методе регистр множимого и сумматор частичных произведений должны иметь двойную длину. Этот метод требует больше оборудования, но никаких преимуществ не дает, и поэтому его применение не целесообразно.

3. Умножение, начиная со старших разрядов множителя, при сдвиге суммы частичных произведений влево и неподвижном множимом.

Регистр множителя и сумматор частичных произведений должны иметь цепи сдвига влево. Регистр множимого не имеет цепей сдвига. Последовательность действий в каждом цикле выполнения умножения определяется старшим разрядом регистра множителя.

При этом методе сумматор частичных произведений должен иметь двойную длину. Данный метод требует дополнительного по сравнению с первым методом оборудования. Несмотря на это, он применяется в некоторых АЛУ, т.к. позволяет без дополнительных цепей сдвига выполнять и деление.

Для выполнения операции деления в АЛУ, реализующем первый метод умножения, необходимы дополнительные цепи сдвига влево в регистре множимого (частного) и в сумматоре частичных произведений (разностей).

4. Умножение, начиная со старших разрядов множителя, при сдвиге вправо множимого и неподвижной сумме частичных произведений.

Регистр множителя должен иметь цепи сдвига влево, регистр множимого – цепи сдвига вправо. Сумматор частичных произведений не имеет цепей сдвига. Последовательность действий на каждом шаге умножения определяется старшим разрядом регистра множителя.

При этом методе умножения и регистр множимого, и сумматор частичных произведений должны иметь двойную длину. Однако, как и третий метод, он не требует дополнительных цепей сдвига для выполнения деления.

Рассмотрим первый алгоритм умножения:

Умножение, начиная с младших разрядов множителя, со сдвигом суммы частичных произведений вправо и при неподвижном множимом.

начальные установки

Сдвиг вправо двойного

слова

сдвиг короткого слова осуществляется через перенос

После получения результата в формате двойного слова необходимо дополнительно сдвинуть его на один разряд вправо, чтобы правильно расположить произведение в разрядной сетке.