РАЗДЕЛ 8. Зонная теория твердых тел. Электрические свойства твердых тел

Модель свободных электронов не дает ответа, почему одни химические элементы в кристаллическом состоянии оказываются хорошими проводниками, другие – изоляторами или полупроводниками, электрические свойства которых резко зависят от температуры. По удельной электропроводности все твердые тела делятся на три группы: металлы, диэлектрики и полупроводники. Металлы являются прекрасными проводниками электрического тока. Их удельная электропроводность при комнатной температуре колеблется от 10⁴ до 10⁶ Ом^-1см^-1. Диэлектрики, наоборот, практически не проводят ток – их используют как изоляторы. Удельная электропроводность их меньше чем 10^-10 Ом^-1см^-1. Твердые тела, имеющие промежуточные значения s относятся к классу полупроводников. Различие между металлами, с одной стороны, и диэлектриками и полупроводниками – с другой, проявляется достаточно четко в ходе температурных зависимостей удельной электропроводности. Для металлов удельная электропроводность уменьшается с ростом температуры и перестает изменяться, принимая некоторое конечное значение, при температурах, близких к 0К. Для полупроводников и диэлектриков s возрастает с температурой по экспоненциальному закону и при Т®0К обращается в нуль. Квантовая теория свободных электронов довольно успешно объясняет многие свойства металлов. Однако не дает ответа на ряд вопросов, например, почему проводимость различных твердых тел изменяется в столь широких пределах; почему одни вещества являются хорошими проводниками электрического тока, а другие диэлектриками; почему в некоторых твердых телах при низких температурах возникает сверхпроводимость? Отсутствие ответа на эти вопросы связано с чрезмерными упрощениями, которые положены в основу модели свободных электронов. Учет взаимодействия электронов с кристаллической решеткой и между собой сделан в зонной теории твердых тел. Дальний порядок в кристаллах приводит к тому, что в твердых телах существует электрическое поле, которое является периодической функцией координат. В металле, например, где положительные ионы расположены в узлах решетки в строгом порядке, потенциальная энергия электрона изменяется вдоль некоторого направления ОХ так, как показано на рис. 7. Минимумы энергии соответствуют местам, где расположены положительные ионы. Периодическое электрическое поле в кристалле любого типа существенно изменяет энергетические состояния электронов в твердом теле по сравнению с их состоянием в изолированных атомах. В изолированных атомах электроны находятся в дискретных энергетических состояниях. В твердом теле энергетические состояния электронов определяются как взаимодействием их с ядром своего атома, так и с электрическим полем кристаллической решетки, т.е. взаимодействием с другими атомами. В результате этого взаимодействия энергетические уровни электронов расщепляются.

Рис. 7.

Вместо дискретного энергетического уровня, характерного для изолированного атома, в твердом теле, содержащем N взаимодействующих атомов, возникает N близко расположенных друг от друга энергетических уровней, которые образуют энергетическую полосу (энергетическую зону). В кристаллах образуется зонный энергетический спектр электронов.

В изолированном атоме ввиду конечности времени t жизни электрона в возбужденном состоянии (t~10^-8 с) ширина DW энергетического уровня составляет:

~

(естественная ширина энергетического уровня).

В кристалле валентные электроны атомов слабее, чем внутренние электроны, связанные с ядрами, могут с помощью тунельного эффекта переходить от одного атома к другому. Происходит просачивание электронов сквозь потенциальный барьер, разделяющий атомы в кристалле. Вместо естественной ширины DW » 10^-7 эВ электронного энергетического уровня в изолированном атоме в кристалле возникает зона дозволенных значений энергии DW » 1 эВ. Для внутренних электронов частота просачивания электрона сквозь потенциальный барьер и перехода его к другому атому ничтожно мала. Это связано с ростом высоты барьера: U₀ – W » 10³ эВ и возрастанием ширины барьера: L ~ 3×10^{-10 м. Расчеты дают} t ~ 10²⁰ лет. Уширение энергетических уровней внутренних электронов несущественно, и внутренние электроны атомов в кристаллах ведут себя практически так же, как в изолированных атомах. Если N есть общее число атомов твердого тела, то энергетическая зона, образовавшаяся из электронного энергетического уровня валентного электрона атома, состоит из N близко расположенных друг к другу уровней. Соседние энергетические уровни в зоне отстоят друг от друга приблизительно на 10^-22 эВ. Разрешенные энергетические зоны разделены областями – зонами запрещенных значений энергии электронов. Ширина запрещенных зон соизмерима с шириной разрешенных зон. С увеличением энергии ширина разрешенных энергетических зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Разрешенные энергетические зоны в твердом теле могут быть различным образом заполнены электронами. В предельных случаях они могут быть целиком заполнены или совершенно свободны. Электроны в твердых телах могут переходить из одной разрешенной зоны в другую. Для перехода электрона из нижней зоны в соседнюю верхнюю зону необходимо затратить энергию, равную ширине запрещенной зоны, расположенной между ними (энергию порядка нескольких эВ). Для внутризонных переходов электронов необходима весьма малая энергия (10^-4 - 10^-8 эВ). Под действием теплового возбуждения электронам может быть сообщена различная энергия, достаточная как для внутризонных, так и для межзонных переходов.

Различия в электрических свойствах твердых тел объясняются в зонной теории различным заполнением электронами разрешенных энергетических зон и шириной запрещенных зон. Эти два фактора определяют отнесение данного твердого тела к проводникам электрического тока или к диэлектрикам. Чтобы тело было проводником необходимо наличие свободных энергетических уровней, на которые электрическое поле сторонних сил могло бы перенести электроны. Это поле может вызвать лишь внутризонные переходы электронов. Если зона не полностью занята валентными электронами, то твердое тело всегда является проводником электрического тока (рис.8).

Рис.8. Заполнение зон электронами: Е_v – граница валентной заны, Е_с – граница зоны проводимости, Е_g- ширина запрещенной зоны.

В кристаллах возможна гибридизацияразрешенных энергетических зон. Зона, возникшая при расшеплении верхнего возбужденного уровня, может перекрываться с зоной, возникшей за счет расщепления нижнего состояния валентных электронов. При этом образуется более широкая гибридная зона, в которой размещаются валентные электроны, заполняя ее лишь частично. Поэтому гибридная зона является зоной проводимости. Кристаллы с частично и полностью заполненной валентной зоной хорошо проводят электрический ток, т.е. являются металлами. Когда валентная зона заполнена электронами полностью и отделена от следующей за ней свободной зоны широкой (больше 2-3 эВ) запрещенной зоной (энергетической щелью), то внешнее поле не может создать электрический ток и вещество представляет собой диэлектрик. Если ширина запрещенной зоны меньше 2-3 эВ, то кристалл называют полупроводником. В полупроводниках за счет тепловой энергии k_БТ заметное число электронов оказывается переброшенным в свободную зону, называемую зоной проводимости. При очень низких температурах любой полупроводник становится хорошим диэлектриком.

Таким образом, между металлами и диэлектриками существует качественное различие, а между диэлектриками и полупроводниками – только количественное.

Электропроводность химически чистых полупроводников называется собственной проводимостью. Электронная проводимость (проводимость n-типа) возникает при перебросе электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для этого нужно затратить энергию, не меньшую, чем ширина запрещенной зоны DW₀. Величина DW₀ называется энергией активации собственной проводимости. С повышением температуры полупроводника растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят из валентной зоны в зону проводимости и участвуют в электропроводности. Перевод электрона из валентной зоны в зону проводимости свидетельствует о том, что какой-либо из валентных электронов одного из атомов в решетке покидает свое место и на оставленном месте возникает избыток положительного заряда – положительная дырка. Она ведет себя как положительный заряд, равный по величине заряду электрона. Электропроводность полупроводника, обусловленная перемещением дырок, называется дырочной проводимостью или р-типа.

Эффект Холла.

Кинетические явления, возникающие в твердых телах при совместном действии на них электрического и магнитного полей, называют гальваномагнитными явлениями. Одно из наиболее изученных гальваномагнитных явлений – это эффект Холла.

Образец прямоугольной формы, по которому течет ток с плотностью , помещен в магнитное поле , направленное перпендикулярно вектору (рис. 9).

Рис. 9. Возникновение холловской разности потенциалов.

Пусть носителями заряда являются электроны. Электрическое поле ускоряет электрон, и он приобретает дрейфовую скорость . На частицу, движущуюся с этой скоростью, действует сила Лоренца , направленная перпендикулярно векторам и . Под действием сил -е и электрон движется по траектории, образующейся в результате сложения двух видов движения: перемещения вдоль образца и вращения ( обусловленного действием силы Лоренца). Магнитное поле, при котором радиус кривизны траектории много больше длины свободного пробега электрона, называют слабым. Будем считать магнитное поле слабым. Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к боковой поверхности образца, в результате чего на ней создается избыток отрицательного заряда. На противоположной стороне возникает недостаток отрицательного заряда, т.е. избыток положительного. Распределение зарядов происходит до тех пор, пока сила, действующая на электроны со стороны возникшего электрического поля , направленного от одной боковой поверхности к другой, не скомпенсирует силу Лоренца. Поле получило название поля Холла, а само явление возникновения в образце с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля называется эффектом Холла. Разделение зарядов прекратится при условии: Отсюда можно найти разность потенциалов между гранями, называемую э.д.с. Холла. Если ширина образца равна b, то Определив из выражения для плотности тока , и подставив ее в выражение для э.д.с. Холла, получим Коэффициент пропорциональности R называется постоянной Холла . Если носителями заряда являются дырки, то сила Лоренца, действующая на них, отклоняет их в ту же сторону, куда отклоняются электроны. При этом постоянная Холла . Произведение постоянной Холла по проводимость определяет подвижность носителей заряда (холловскую подвижность): Измерение эффекта Холла совместно с измерениями проводимости образца позволяет получать информацию о знаке носителей заряда, концентрации носителей и их подвижности.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В медном проводнике с площадью поперечного сечения 0,2 см² течет ток 1А. Какова средняя скорость дрейфа электронов?

РЕШЕНИЕ.

Плотность тока . С другой стороны . Отсюда: .

Концентрацию определяем по формуле: .

Подставим численные значения

ОТВЕТ: 0,37 10^-5 м/сек.

Пример 2: Чему равна подвижность электронов натрия при 0⁰С, если электропроводность его 0,23×10⁸ Ом^-1м^-1, а концентрация носителей заряда 2,5×10²⁸ м^-3?

РЕШЕНИЕ:

Подвижность электронов определяется как средняя дрейфовая скорость, отнесенная к единице напряженности электрического поля:

, где t - время релаксации.

Так как , подставляя численные значения, получим

.

ОТВЕТ: 0,56×10^-2 м²/В×сек.

Пример 3: Электропроводность меди при 0⁰С равна 6×10⁷ Ом^-1м^-1. Определить теплопроводность меди при указанной температуре, если число Лоренца равно 2,23×10^-8 Вт×Ом×К^-2.

РЕШЕНИЕ:

Теплопроводность меди определим из закона Видемана-Франца

L= /sT,

где L-число Лоренца, - теплопроводность. Отсюда =LsT. Подставив численные значения, получим

= 2,23×10^-8Вт×Ом×К^-2 ×6×10⁷ Ом^-1м^-1 273 К=365 Дж/(К×м×сек).

ОТВЕТ: 365 Дж/(К×м×сек).

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

8.1. Отношение электропроводностей серебра и меди при одинаковой температуре равно . Вычислить отношение подвижностей электронов в этих металлах считая, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. (r_Cu = 8890 кг/м³; m_Cu = 63,54 г/моль; r_Ag = 10500 кг/м³; m_Ag = 107,88 г/моль).

ОТВЕТ: 1,5.

8.2. Электропроводность (удельная проводимость) меди 6×10⁷ Ом^-1м^-1. Определить время релаксации электрона, считая, что каждый атом меди в твердом состоянии отдает в зону проводимости один валентный электрон.

ОТВЕТ: 0,25×10^-13 сек.

8.3. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов проводимости натрия при комнатной температуре. Электропроводность натрия равна 0,23×10⁸ Ом^-1м^-1.

ОТВЕТ: 4,1×10^{-9 м.}

8.4. Удельное сопротивление серебряного провода при комнатной температуре r = 1,54×10^-8 Ом×м. Вычислить среднюю скорость дрейфа электронов при напряженности электрического поля вдоль провода 1 в/см, полагая, что в 1 м³ серебра находится 5,8×10²⁸ электронов проводимости. Определить подвижность и время релаксации электронов.

ОТВЕТ: 6,9×10^-3 м²/(в×сек); 0,39×10^-13 сек, 0,69 м/с.

8.5. Вычислить скорость дрейфа электрона меди при приложении электрического поля напряженностью 100 В/м. Подсчитать отношение скорости дрейфа к скорости Ферми, если уровень Ферми для меди равен 7 эВ, а подвижность электронов - 3×10^-3 м²/(В×сек).

ОТВЕТ: 0,3 м/сек; 0,19×10^-6.

8.6. Вычислить постоянную Холла R для меди. Молекулярный вес меди 63.5 г/моль, плотность меди 8890 кг/м³.

ОТВЕТ: -0,74×10^-10м³/Кл.

8.7. Образец германия n-типа толщиной 1мм с концентрацией электронов 10²⁰м^-3 помещен в магнитное поле с индукцией 0,1 Вб/м². Определить величину э.д.с. Холла при токе 1 мА, протекающем через образец.

ОТВЕТ: 6×10^-3В.

8.8. Вывести общее выражение для постоянной Холла полупроводника. Как упростится это выражение для собственного полупроводника?

8.9. Электропроводность и коэффициент Холла арсенида индия соответственно равны: 4×10² Ом^-1м^-1 и 10^-2м³/Кл. Считая, что проводимость осуществляется зарядами одного знака определить их концентрацию и подвижность.

ОТВЕТ: 6×10²⁰м^-3; 4 м²/(В×сек).

8.10. Коэффициент Холла и удельное сопротивление полупроводника соответственно равны R = -3,66×10^-4м³/Кл; r = 8,93×10^-3 Ом×м. для определения эффекта Холла к образцу приложено магнитное поле с индукцией 0,5 Вб/м². Найти угол Холла.

ОТВЕТ: 1⁰12^|.

8.11. Вычислить коэффициент Холла для кристаллов германия с концентрацией индия и сурьмы соответственно 10²³ и 10²⁴ м^-3. Подвижности электронов и дырок в германии при комнатной температуре равны m_е = 0,38 м²/(В сек); m_р = 0,18 м²/(В сек).

ОТВЕТ: -0,55×10^-5 м³/Кл.

8.12. В образце германия подвижность электронов m_е = 0,38 м²/(В сек), а дырок m_р = 0,18 м²/(В сек). В этом образце эффект Холла не наблюдается. Какая часть тока переносится дырками?

ОТВЕТ: 70%.

8.13. Удельная проводимость кремния с примесями равна s = 112 Ом^-1м^-1. Определить подвижность дырок и их концентрацию, если постоянная Холла равна 3,66×10^-4м³/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.

ОТВЕТ: 1,5×10²м^-3; m_р = 4,6×10^-2 м²/(В сек).

8.14. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 25,7 мкг фосфора и 38,2 мкг галия. Считая, что атомы примеси полностью ионизированы вычислить удельное сопротивление кристалла. Подвижность электронов и дырок в кремнии принять равной 0,12 и 0,05 м²/(В сек). Плотность кремния 1300 кг/м³, молярная масса фосфора – 30,98 г/моль, галлия – 69,7 г/моль.

ОТВЕТ: 7,7 ×10^-3Ом м.

8.15. Сопротивление кристалла PbS при температуре 20⁰С равно 10⁴ Ом. Определить его сопротивление при температуре 80⁰С. Ширина запрещенной зоны PbS равна 0,6 эВ.

ОТВЕТ: 1350 Ом.

8.16. Металлический проводник движется с ускорением а = 100м/сек². Используя модель свободных электронов, определить напряженность электрического поля в проводнике при В = 0.

ОТВЕТ: 568,7×10^-12 В/м.

8.17. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной 1 см и длиной 10 см помещен в однородной магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины приложено электрическое поле напряжением 300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластины, если постоянная Холла равна 0,1 м³/Кл, удельное сопротивление 0,5 Ом м.

ОТВЕТ: 1,2 В.

8.18. Тонкая пластина из кремния шириной 2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл). При плотности тока, направленного вдоль пластины, j = 2 мкА/мм², холловская разность потенциалов оказалась U = 2,8 В. Определить концентрацию n-носителей тока.

ОТВЕТ: 4,46×10¹⁶м^-3.

8.19. Удельная проводимость металла 10 М×Ом^-1м^-1. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация свободных электронов 10²⁸м^-3, а средняя скорость хаотического движения электронов 1 м/с.

ОТВЕТ: 3,55×10^{-12 м.}

8.20. Образец полупроводника прямоугольной формы размерами 0,2х0,2х0,05 см имеет 10²¹ свободных зарядов в 1 м³ при 20⁰С. К двум противоположным узким граням приложено напряжение 20 В. Вычислить величину тока, полагая подвижность носителей зарядов равной 0,03 м²/(В с).

ОТВЕТ: 4,8×10^-2А.