Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры

Как отмечалось, в соответствии с принципом Паули электроны в валентной зоне металлов при Т = 0 К занимают попарно все нижние уровни. Все уровни с энергией, выше , оказываются незаполненными.

Распределение электронов по энергетическим уровням описывается функцией Ферми-Дирака

, (18),

где -вероятность заполнения энергетического уровня.

График данной функции представлен на рис. 6. При Т = 0 К он представляет собой ступеньку (рис. 6, а). В случае, когда ~ 1 (когда степень заполнения энергетических уровней электронами высока), электронный газ называется вырожденным, что характерно для металлов. Если же 1 (т.е. когда степень заполнения энергетических уровней электронами низка), электронный газ называется невырожденным. Это характерно для полупроводников.

При Т > 0 К функция плавно изменяется от единицы до нуля в узкой области энергий вблизи , ширина которой ~kT (рис. 6, б). Только электроны, энергия которых попадает в данный интервал, могут участвовать в создании тока.

Причина этого заключается в следующем. Только такие электроны могут увеличивать или уменьшать свою энергию под действием электрического поля, поскольку только рядом с ними имеются незаполненные энергетические уровни. По этой же причине только эти электроны дают вклад в теплопроводность и теплоемкость.

Доля подобных электронов составляет порядка . Типичное значение энергии Ферми, отсчитанной от дна валентной зоны, =5 эВ. При Т=300 К величина составляет 0,027 эВ. Соответственно, в электропроводности участвует порядка 3∙10^-3 , т.е. порядка 0,3% от общего числа свободных электронов. В абсолютных числах концентрация таких электронов составляет порядка 10²⁰ см^-3. Это все равно весьма большое число, обеспечивающее высокую электропроводность и теплопроводность металлов.

Рис. 6. Функция Ферми - Дирака

Как отмечалось, только такие электроны дают вклад и в теплоемкость. В результате вклад электронов в теплоемкость кристалла составляет порядка 0,3% от величины , которая получается в предположении, что все электроны дают вклад в теплоёмкость. Полученная величина порядка 0,0045 R ничтожно мало по сравнению с величиной , которую дают колебания решетки.

Модуль скорости подобных электронов под действием электрического поля возрастает, если первоначально она была направлена против поля и убывает, если по полю. Основная масса электронов не изменяет своей энергии при наложении поля. Как показано в квантовой теории, подобное поведение электронов эквивалентно тому, что все свободные электроны валентной зоны, концентрация которых равна n, приобретают добавочную постоянную во времени скорость дрейфа , определяемую по формуле:

,

где - тепловая скорость электронов с энергией , - эффективная масса электрона (а не масса свободного электрона!).

Эффективная масса электрона используется потому, что электрон в кристалле взаимодействует с периодическим потенциалом кристаллической решётки. В результате этого взаимодействия под действием некоторой силы электрон в кристалле приобретает ускорение, отличное от того значения, которое он приобрёл бы под действием той же силы в вакууме. Это и учитывается введением эффективной массы. Величина для различных кристаллов может быть как меньше, так и больше массы свободного электрона.

Подставляя вместо средней скорости дрейфа в формулу (3), для плотности тока получим:

.

Выражение для удельного сопротивления принимает вид:

. (19)

Величины n и не изменяются с изменением температуры. Поэтому температурная зависимость удельного сопротивления согласно квантовой теории определяется лишь длиной свободного пробега электронов l.

Из соответствующего расчета, основанного на методах данной теории, следует, что в случае идеальной кристаллической решетки металла и при абсолютном нуле температуры Т = 0 К электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления. В этом случае тепловое колебательное движение ионов кристаллической решетки сильно ослаблено, и электроны движутся сквозь металл, не испытывая столкновений. При этом длина свободного пробега электронов l и удельная электропроводность металла s были бы бесконечно большими, а удельное сопротивление r® 0.

Однако кристаллическая решетка никогда не бывает идеальной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием атомов примеси или вакансий (т.е. отсутствием атома в узле решетки), с которыми и происходят столкновения.

С повышением температуры усиливается тепловое колебательное движение ионов металла, расположенных в узлах кристаллической решетки. Это нарушает строгую периодичность кристаллической решетки. То сближаясь, то удаляясь друг от друга ионы создают «флуктуации» плотности (отклонения плотности от среднего значения). На подобных флуктуациях происходит рассеяние электронов (т.е. столкновение с ионами в областях, где возникают флуктуации). Точнее говоря, в квантовой теории движение свободных электронов рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля, которые испытывают рассеяние на подобных флуктуациях. Чем выше температура, тем интенсивнее и чаще возникают флуктуации плотности кристаллической решетки и тем короче длина свободного пробега электрона.

Используя методы квантовой механики было установлено, что при данном механизме рассеяния средняя длина свободного пробега электрона в кристалле обратно пропорциональна температуре:

, (20)

где - коэффициент упругой связи, N - число атомов в единице объёма кристалла. Такая зависимость выполняется в широкой области температур: от комнатной температуры до температур, близких к температуре плавления. Подставив величину в (19), для случая рассеяния на колебаниях решетки получим:

(21)

В общем случае для удельного электрического сопротивления металлов выполняется правило Матиссена:

, (22)

где - удельное сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на атомах примесей. Слагаемое при небольшой концентрации примеси не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла при Т = 0 К.

Таким образом, выражение (10) с учетом (21) и (22) можно записать в виде:

, (23)

где a - температурный коэффициент сопротивления металла.

Эта формула хорошо подтверждается экспериментом в интервале от комнатной температуры до температур вблизи точки плавления. В промышленности широко используются термометры сопротивления. Такой термометр представляет собой металлическую (обычно платиновую) проволочку, намотанную на фарфоровый или слюдяной каркас. После градуировки им можно измерять температуру с точностью несколько сотых долей градуса в достаточно большом температурном интервале.

Исключение из формулы (23) составляют лишь ферромагнитные металлы, в которых проявляется дополнительное рассеяние электронных волн на флуктуациях плотности спинов и зависимость от оказывается более сложной.