Работа №8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА

Цель работы: проверка закона Гука при кручении и определение модуля сдвига.

Общие сведения. Угол закручивания стержня в пределах упругих деформаций связан с нагрузкой, т.е. с крутящим моментом, линейной зависимостью. для вала круглого сечения угол закручивания определяют по формуле:

где l — длина вала; М_кр — крутящий момент; G— модуль упругости материала при сдвиге (или просто модуль сдвига); i —полярный момент инерции площади поперечного сечения вала (для сплошного вала диаметром d, ).

Указанная пропорциональность между нагрузкой и деформацией наблюдается в начальной стадии кручения образца; затем пропорциональность нарушается, и наступает быстрое увеличение угла закручивания при незначительном увеличении крутящего момента. Шейка на образце при этом не образуется. На рис. 8.1, а представлена диаграмма кручения для малоуглеродистой стали, на рис.8.1, 6 — диаграмма для чугунного образца примерно тех же размеров. Из диаграмм видно, что чугун не подчиняется закону пропорциональности.

Рисунок 8.1. диаграмма кручения образца
малоуглеродистой стали (а) и чугунного образца(б)

Для определения модуля сдвига материала Gнеобходимо измерить величину М_кр, и соответствующий ей угол закручивания φ.

Модуль Gсвязан с модулем продольной упругости Еи коэффициентом Пуассона ν следующим соотношением:

Проведение испытания. Для определения угла закручивания используется прибор конструкции Н. Г. Токаря (рис. 8.2).

Рисунок 8.2. Схема прибора конструкции Н. Г. Токаря
для определения угла закручивания

При испытании применяется образец круглого поперечного сечения с головками по концам. Головки образца закрепляются в зажимах испытательной машины. На образце 1 при помощи винтов 2 установлено кольцо 3 с рычагом 4, имеющим опорную поверхность для индикатора 7, который крепится на рычаге правого кольца 9. Правое кольцо 9 винтами 8 закреплено на расстоянии 1(база прибора) от левого кольца.
Приложение крутящего момента вызывает относительное закручивание сечений, где укреплены кольца, на угол φ (рис. 8.3). Одновременно рычаг 6 прибора длиной b повернется, а стрелка индикатора переместится на х делений. Взаимный угол закручивания рассматриваемых сечений легко вычисляется по формуле:

Для предварительного обжатия концов стержня в захватах дается начальная нагрузка Мо. При этой нагрузке снимается первый отсчет по индикатору. Затем даются приращения крутящему моменту на величину ΔМ₀, снова снимаются отсчеты по индикатору, подсчитываются разности и приращения углов закручивания Δφ = Δх/b на этой ступени нагрузки. Таких ступеней нагрузки следует иметь несколько. Результаты измерений заносятся в таблицу.

Для установления характера зависимости между крутящим моментом и углом закручивания строят по опытным данным график М_кр(φ). Полученные на графике точки при тщательном проведении опыта ложатся примерно на одну прямую, что доказывает прямую зависимость между крутящим моментом и вызываемой им деформацией. Этим подтверждается справедливость закона Гука при кручении:

где τ ‘— касательное напряжение; γ — угол закручивания; G— модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться упругому деформированию-сдвигу.

Пользуясь формулой для угла закручивания, определяют величину модуля сдвига при кручении:

Найденное значение следует сравнить с величиной G,вычисленной по теоретической зависимости между тремя упругими постоянными, приведенной выше.

Необходимые значения Е и ν берут из соответствующих таблиц или определяют опытным путем при растяжении образца данного материала (см. работу №6).

Вопросы для самопроверки

1. Чем выражается деформация сдвига?

2. Запишите закон Гука при сдвиге, объясните его суть.

3. Что характеризует модуль сдвига?

4. Как опытным путем замерить взаимный угол поворота сечений при кручении бруса?

5. Определяется ли непосредственно из опыта величина модуля сдвига G или вычисляется на основании опытных данных?

6. Какие физические постоянные (кроме G) характеризуют упругие свойства изотропного тела, и имеется ли между ними связь?

Работа 9 ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ БРУСА ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ
Цель работы: экспериментальная проверка теоретических формул для определения величин и направления главных напряжений в брусе при его изгибе с кручением; ознакомление с методикой определения на поверхности деталей величин деформаций с помощью тензометров — тензометрированием.

Общие сведения.Кроме испытаний материалов с целью определения их механических характеристик, в инженерной практике широкое распространение получили испытания конструкций с целью исследования напряженного состояния как в целом конструкции, так и ее отдельных узлов и деталей. Такие испытания позволяют оценить прочность конструкций, проверить точность теоретических расчетов.

К наиболее распространенным методам определения напряжений в конструкциях относится метод тензометрирования, который заключается в измерении с помощью тензометров (см. работу №6) величин деформаций на поверхности деталей с последующим вычислением на основе обобщенного закона Гука величин напряжений. В настоящее время в качестве тензометров преимущественно используются тензорезисторы, позволяющие автоматизировать процесс измерения деформаций.

На поверхности детали, где непосредственно не приложена внешняя нагрузка, имеет место плоское напряженное состояние. При экспериментальном исследовании напряженного состояния возможны три случая:

1. В исследуемой точке конструкции имеет место линейное напряженное состояние и известно направление напряжения о(рис. 9.1, а).

Рисунок 9.1. Различные варианты установки тензометров

В этом случае для определения величины σ достаточно установить один тензометр с базой вдоль напряжений σ. Определив из опыта величину деформации ε при известном модуле продольной упругости Е, значение σ находят согласно закону Гука:

σ =Е ε.

2. В исследуемой точке конструкции имеет место плоское напряженное состояние с известным направлением главных напряжений, к примеру σ₁ и σ₂ (рис. 9.1, 6). для определения величин этих напряжений необходимо установить два тензометра, базы которых располагаются в направлении σ₁ и σ₂. С помощью тензометров определяют величины главных деформаций ε₁ и ε₂ и, после чего по соотношениям закона Гука при плоском напряженном состоянии находят значения главных напряжений:

3. В исследуемой точке конструкции имеет место плоское напряженное состояние и не известно направление α₀ главных напряжений (рис. 9.1, в). В этом случае необходимо установить 3 тензометра в направлении осей z, у и под углом α = 45⁰ к ним (розетку тензометров).

Определив из опыта ε_z, ε_y и ε_u используя зависимость

вначале находят деформацию сдвига. При α = 45⁰

(9.1)

Затем по обобщенному закону Гука определяют величину напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках:

(9.2)

Величину и направление главных напряжений находят по формулам:

(9.3)

Описание лабораторной установки. Исследуемая конструкция представляет собой образец в виде трубы 5 (рис. 9.2, а), закрепленной на жестком основании 4. К торцу свободного конца трубы прикреплена горизонтальная планка 6. Один конец планки соединен с тросиком 2, который перекинут через неподвижный блок 3. Другой конец планки 6 и свободный конец тросика 2 соединены с подвесками для грузов 1 и 7. При наложении грузов на один конец планки 6 будет действовать сила Р₂, направленная вверх, а на другой Р₁, направленная вниз. При а₁ = а₂ и Р₁ = Р₂ образец испытывает чистое кручение, при Р₁ ≠ Р₂ — кручение с изгибом.

Для замера деформаций на поверхности образца наклеена розетка из трех тензорезисторов (рис. 9.2, 6). (Описание работы тензорезисторов см. в работе №6).

Рис. 9.3. Напряженное состояние бруса при его кручении

Рис. 9.2. Схема лабораторной установки

Проведение испытаний. На первом этапе испытаний проводится тарировка тензорезисторов и измерительного прибора, целью которой является определение цены деления показаний прибора в величинах относительной деформации — тарировочного коэффициента п.С этой целью проводится нагружение образца усилиями Р₁ = Р₂ = Р, что создает условия чистого кручения бруса и в исследуемой точке, где установлены тензорезисторы, возникает состояние чистого сдвига (рис. 9.3).

При изменении нагрузки на величину ΔР = Р_к - Р₀ от своего начального значения Р₀ до конечного Р_к, в исследуемой точке в направлении главного напряжения σ₁ возникает линейная относительная деформация, величина которой может быть определена по формуле

(9.4)

где М = ΔР∙2а — крутящий момент, соответствующий приращению нагрузки на величину ΔР.

(9.5)

По показаниям прибора величина деформации определяется соотношением

где ΔС_ср, — средняя (по трем замерам) разность показаний прибора для тензорезистора с направлением и, соответствующая изменению нагрузки на ΔР.

Приравнивая (9.4) и (9.5),получим формулу для тарировочного коэффициента:

На втором этапе брус загружают усилиями Р₁ ≠ Р₂ что вызывает одновременно его изгиб и кручение. для каждого из трех тензорезисторов с направлениями z по средней разности показаний прибора ΔС_ср (по трем измерениям), соответствующих изменению нагрузки ΔР₁ = Р_1к – Р₁₀, ΔР₂ = Р_2к – Р₂₀, используя соотношение (9.5),определяют величины относительных линейных деформаций ε_z ε_u , .

По формулам (9.1 — 9.3) находят величины главных напряжений σ₁ и σ₃ и положение главных площадок α₀. Полученные значения сравниваются с величинами, определенными теоретическими расчетами по известным значениям крутящего момента M_z = (ΔР₁ + ΔР₂)∙a и изгибающего момента, M_x = (ΔР₁ - ΔР₂)∙l, где l — расстояние от торцевого сечения трубы до исследуемой точки:

Результаты замеров и расчетов заносятся в таблицу.

Вопросы для самопроверки

1. Как следует устанавливать тензометры при линейном напряженном состоянии и при плоском, когда известно и не известно направление главных напряжений? Как в каждом из этих случаев определяются напряжения?

2. Как следует установить тензометры для определения максимальных нормальных напряжений при растяжении, изгибе, кручении бруса?

3. Какие физические характеристики материала должны быть известны при определении напряжений методом тензометрирования?

4. Какая величина измеряется на конструкции при тензометрировании?

5. Как с помощью тензометров определить деформацию сдвига?

б. Как проводится в работе тарировка тензорезисторов? Можно ли провести их тарировку при растяжении, изгибе бруса?

7. Как определяются методом тензометрирования напряжения в брусе при его изгибе с кручением?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Афанасьев А. М., Марьин В. А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. М.: Высш. шк., 1975.

2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986.

3. ГОСТ 9012-59. Метод измерения твердости по Бринеллю.

4. ГОСТ 90 13-59. Метод измерения твердости по Роквеллу.

5. ГОСТ 9454-78. Метод испытания на ударный изгиб.

6. Металлы. Методы испытаний на растяжение. ГОСТ 1497-84 (СТСЭВ 471- 78). - М.: Госкомитет СССР по стандартам, 1987.

7. Степин П. А. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1988.

8. РД 50-260-81. Методические указания. Расчеты и испытания на прочность в машиностроении. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) при статическом нагружении. М.: Изд-во стандартов, 1982.

9. РД 50-345-82. Методические указания. Расчеты на прочность. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при циклическом нагружении. М.: Изд-во стандартов, 1983.

10. Беляев Н.М. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.— М: Гостехиздат,1951.—336 с.

11.Шапошников Н.А. Механические испытания материалов. М.: Машгиз, 1954.