Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

САР называется устойчивой, если будучи выведенной, из состояния равновесия, она возвращается в устойчивое состояние после снятия возмущающего воздействия.

Выходной сигнал состоит из свободных колебаний и вынужденных.

y(t) = y_св(t) + y_вын(t)

Свободные колебания определяются свойствами системы и начальными условиями. Они характеризуют переходный процесс. Вынужденные колебания определяются возмущающим воздействием и свойствами системы.

Если система устойчивая, то y_своб стремится к 0, при Т стремящемся к бесконечности. y_вын характеризует изменение выходной величины установленной под воздействием управляющего сигнала. Так как система должна воспроизводить входной сигнал с малой ошибкой, то y_вын(t) должна быть близка к x(t).

Переходный процесс устойчивой системы имеет такой вид, если система находится на границе устойчивости, то в ней возникают незатухающие колебания. Если система неустойчива, то колебания нарастают по экспоненте.

y(t) y(t)

t t

Создано несколько критериев для определения устойчивости. Критерии бывают математические, которые рассматривают характеристические уравнения системы.

Критерии Рауса-Гурвица – в этом критерии рассматриваются корни характеристического уравнения системы. Чтобы система была устойчивой действительные части всех корней характеристического уравнения должны быть отрицательными. Существуют частотные критерии устойчивости, такие как критерии Михайлова и Найквиста. Проще всего определять устойчивость системы с помощью логарифмических ЛАЧХ и ЛФЧХ.

L(w)

w_кр w

w_ср

φ(w)

w

-180⁰

Чтобы в системе существовали незатухающие колебания, должны выполняться баланс фаз и баланс амплитуд.

В точке w_ср выполняется условие баланса амплитуд A(w) = 1; k_y * k_ос = 1.

На частоте w_кр выполняется условие баланса фаз φ(w) = -180⁰. Цепи обратной связи поворачивают фазу еще на 180⁰ и колебания приходят на вход в фазе, в системе поддерживаются незатухающие колебания, если w_ср и w_кр совпадут.

Если в точке w_ср φ(w) отличается от -180⁰ на угол не меньше 45⁰ в положительную сторону, то такая система имеет запас устойчивости по фазе.

В точке w_кр L(w) должно быть меньше 0. С запасом устойчивости по амплитуде не меньше 10 дБ. Так как построение ЛАЧХ и ФЧХ производится всего по одной точке, то такой способ определения устойчивости является самым простым.

Критерии устойчивости.

Все критерии устойчивости основываются на том факте, что система устойчива, тогда, и только тогда, если все корни характеристического уравнения расположены в левой части комплексной плоскости, т.е. их действительные части отрицательны. Гурвиц не занимался ТАРом, но исследовал характеристические уравнения и вывел эту закономерность: что если определители характеристического уравнения положительны и а₀>0, то все корни имеют отрицательные действительные части.

j

р₃*

1

р₂*

р₁*

Если корень имеет отрицательную действительную часть или действительный корень отрицательный, то свободные колебания в системе являются затухающими, следовательно система является устойчивой.

- е^-рt

Характеристическим называют уравнение, которые представляют собой знаменатель передаточной функции.

Правила построения матрицы: в левом углу пишется а₁, по диагонали, пишутся коэффициенты с возрастающими номерами.

Возможен и второй способ построения матрицы. В левом от а₁ и дальше с убывающими номерами, следующий с а₃, то есть в первом столбце записаны коэффициенты с нечетными номерами. Гурвиц доказал, что действительные части комплексных корней и действительные корни будут отрицательны, если а₁>0 и все определители Гурвица будут больше 0.

Если все корни характеристического уравнения отрицательны, то система устойчива. Проще исследовать систему с помощью частотного критерия Михайлова и Найквиста.

Критерий Михайлова рассматривает устойчивость замкнутой системы.

Ф(р) Это уравнение замкнутой системы.

В полиноме N(p) заменяют р на jw и строят на комплексной плоскости векторы N(jw) для разных значений w от 0 до . Концы этих векторов очерчивают кривую называемую годографом Михайлова. Годограф вращается против часовой стрелки.

Если годограф последовательно описывает n четвертей комплексной плоскости, где n – степень многочлена то система устойчива.

Например, для многочлена 3-ей степени (n=3), если система устойчива, годограф проходит последовательно три квадранта комплексной плоскости.

n=2

n=1

n=3

n=4

система устойчива система на границе система неустойчива

устойчивости

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Если годограф пропускает какой-либо квадрант, то система неустойчива.

Критерий Найквиста -Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитуднофазочастотной характеристике разомкнутой системы.

Критерии Михайлова применяются для анализа замкнутых систем автоматического регулирования. В основе всех критериев лежит тот факт , что система является устойчивой , если все действительные части и действительные корни отрицательны.

В первоначальном виде критерий Михайлова формируется так: система устойчива, если при изменении частоты w от 0 до , изменение N(jw) будет nπ, где n – порядок характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение может быть записано так:

где, p₁, p₂…p_n – корни уравнения.

получено заменой р на jw.

Каждое выражение в скобках представляет собой разность векторов jw и р_i , т.е. элементарный вектор на комплексной плоскости, начинающийся в точке р_i и заканчивающийся в точке jw. Произведение векторов (jw - р_i) есть вектор N(jw) , модуль которого равен произведению модулей элементарных векторов, а arg равен сумме:

Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то т.к. при изменении частоты от до arg каждого элементарного вектора изменится на (против часовой стрелки), суммарное изменение arg N(jw), будет для устойчивой системы (все корни имеют отрицательную действительную часть).

jw

jw-p₁ jw-p₂

p₁ p₂

Если один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то его arg при изменении частоты от до arg изменится на (по часовой стрелке), то система неустойчива.