Рекомбинация через ловушки, теория Шокли, Рида, Холла.

Теорию рекомбинации через ловушки разработали Шокли, Рид и Холл в пятидесятых годах прошлого столетия. Они исследовали простейшую модель полупроводника, который содержит примесь только одного сорта, дающую один рекомбинационный уровень E_t в запрещенной зоне (рис.3). Рассмотрим эту теорию в предположении, что концентрация ловушек N_t мала. В этом случае можно считать, что Dn=Dр. Если N_t сравнимо с Dn и Dр то часть избыточных носителей захватывается ловушками, при этом Dn≠Dр и время жизни t_n≠t_p.

Скорость захвата r_n электронов пропорциональна концентрации свободных электронов n и концентрации пустых ловушек N_t(1-f_t).

, (13)

где c_n - коэффициент захвата электрона пустой ловушкой; f_t - вероятность того, что ловушка занята электроном.

Скорость эмиссии электронов с ловушек обратно в зону проводимости пропорциональна концентрации электронов на ловушках.

, (14)

где d_n - коэффициент эмиссии электрона с ловушки.

В состоянии термодинамического равновесия r_n0=g_n0 и

, (15)

где индекс «0» показывает, что значения n и f_t – равновесные.

Предположим, что в равновесном состоянии f_t0 совпадает с функцией распределения Ферми-Дирака

, (16)

Для невырожденного полупроводника

и . (17)

Поэтому

, (18)

Обозначим через концентрацию электронов в зоне проводимости, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушки. Тогда

. (19)

После термализации неравновесных носителей характер взаимодействия носителей с ловушками и тепловая генерация с ловушек не зависят от того, является данный электрон (дырка) равновесным или неравновесным.

В неравновесном состоянии результирующая скорость захвата электронов ловушками R_n=r_n-g_n будет равна

. (20)

Результирующая скорость захвата дырок ловушками R_p=r_p-g_p вычисляется аналогично.

, (21)

где - концентрация дырок в валентной зоне, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушки.

В отсутствии процессов прилипания и захвата при рекомбинации неравновесных носителей парами имеем: R_n=R_p=R.

Это условие определяет функцию распределения f_t которая отличается от равновесной функции распределения.

. (22)

Подставив f_t в выражение для R_n или R_p, получим скорость рекомбинации после выключения инжекции.

. (23)

Поскольку n₁p₁=n_i², n=n₀+Dn, p=p₀+Dn, получим для малого уровня инжекции

, (24)

Согласно определению времени жизни (3) и (4), находим

. (25)

Обозначим

, . (26)

Тогда время жизни пары электрон-дырка будет равно

. (27)

Таким образом, время жизни зависит от сечения захвата и концентрации ловушек (через t_p0 и t_n0) концентрации легирующей примеси (через n₀ и p₀), положения уровня ловушек (через n₁ и p₁), уровня инжекции (через Dn) и температуры (через n₁, p₁, n₀, p₀).

Однако, строго говоря, концентрация незаполненных ловушек N_t при рекомбинации является переменной величиной и поэтому уравнение, описывающее рекомбинационный процесс становится нелинейным, так как N_t является функцией Dn(t).

. (28)

Изменение концентрации заполненных ловушек N_tf определяется следующим уравнением.

. (29)

Для случая монополярной инжекции n=n₀+Dn, а f=f₀+ Df. Учитывая, что n₀(1-f)- число захваченных электронов равно числу электронов n₁f₀, которые могут генерироваться с уровня E_t, получим.

. (30)

Учитывая, что NDf=Dn получим окончательно

, (31)

где N_t⁰=N_t(1-f₀) - равновесная концентрация пустых ловушек, a_n - скорость захвата в единицу времени, а так как скорость рекомбинации , то, следовательно, коэффициент при Dn есть t_n^-1.

Итак, при указанных условиях процесс релаксации имеет экспоненциальный характер, а главное - время релаксации t_n становится постоянной величиной.