Получение синусоидального напряжения и его параметры

Промышленными источникамисинусоидального тока являются электромеханические генераторы, в которых механическая энергия паровых и гидравлических турбин преобразуется в электрическую. Конструкция и работа промышленных электромеханических генераторов будет подробно рассмотрено в дальнейшем. Здесь же рассмотрим лишь принцип получения однофазного тока на упрощенной модели генератора, которая состоит из двух неподвижных магнитов и медной рамки вращающейся в воздушном пространстве между магнитами за счет приводного механизма с постоянной угловой частотой.

Пусть магнитный поток постоянного магнита равен Фm. Из пространственного расположения магнитного потока следует, что мгновенное значение составляющей магнитного потока, пронизывающей виток, т.е. направленной вдоль оси х, равно

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (1)

где Фm – максимальное значение (амплитуда) магнитного потока, пронизывающего виток;

a - начальный (т.е. в момент t=0 принятый за начало отсчета времени) угол пространственного расположения постоянного магнита относительно оси х;

jФ - начальная фаза магнитного потока, Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ;

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru - фаза магнитного потока. Здесь и в дальнейшем начальная фаза определяет значение синусоидальной величины в момент времени t=0.

Согласно закону электромагнитной индукции при изменении потокосцепления витка в нем индуцируется ЭДС

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Подставляя сюда (1), имеем

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

где Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru - амплитуда ЭДС, Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru - начальная фаза ЭДС, Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Синусоидальные величины принято изображать графически в виде зависимости Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru . Поэтому начальная фаза определяет смещение синусоидальной величины относительно начала координат т.е. от Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru .

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Если начальная фаза >0, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, если <0, то – вправо от начала координат.

Если к выводам «а» и «в» генератора подключить резистор, то в полученной цепи возникнет синусоидальный ток i.

Пусть имеется однородное магнитное поле, образованное между полюсами N – S электромагнита. Внутри поля под действием посторонней силы вращается по окружности в сторону движения против часовой стрелки металлический прямолинейный проводник. Как известно, пересечение проводником магнитных линий приведет к появлению а проводнике индуцируемой ЭДС. Величина этой ЭДС зависит от величины магнитной индукции В, активной длины проводника l, скорости пересечения проводником магнитных линий v ( Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ) и синуса угла α между направлением движением проводника и направлением магнитного поля:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

При движении проводник занимает различные положения при этом меняется значение угла, а в мести с ним и значение ЭДС, определяемое по правилу правой руки.

За один полный оборот проводника ЭДС в нем сначала увеличивается от нуля до максимального значения (Em), а затем уменьшается до нуля и, изменив свое направление, вновь уменьшается до максимального значения (-Em) и вновь уменьшается до нуля. При дальнейшем движении проводника указанные изменения ЭДС будут повторятся.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис. .

Амплитуда - это максимальное значение периодически изменя­ющейся величины.

Обозначаются амплитуды прописными буквами с индексом m, т. е. Еm, Um и Im.

На основании рис. Можно сделать вывод, что ЭДС достигает своих амплитудных значений тогда, когда рамка повернется на угол α = 90° или на угол α = 270°, так как |sin 90°| = |sin 270°| = 1. Следовательно

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.1)

Период - это время, в течение которого переменная величина делает полный цикл своих изменений, после чего изменения по­вторяются в той же последовательности.

Обозначается период буквой Т и измеряется в секундах, т.е. [Т] = с.

Частота - число периодов в единицу времени, т. е. величина, обратная периоду.

Обозначается частота буквой f, Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , и измеряется в гер­цах (Гц):

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Стандартной частотой в электрических сетях России является частота f = 50 Гц. Для установок электронагрева пользуются частотами f = 50 ÷ 50·106 Гц.

При частоте f = 50 Гц, т. е. 50 периодов в секунду, период

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru c

Угловая частота (угловая скорость) характеризуется углом пово­рота рамки в единицу времени.

Обозначается угловая частота буквой ω (омега):

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.2)

Измеряется угловая частота в единицах радиан в секунду (рад/с), так как угол измеряется в радианах (рад).

За время одного периода Т рамка повернется на угол 360° = 2π рад. Следовательно, угловую частоту можно выразить следу­ющим образом:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.3)

Мгновенное значение - это значение переменной величины в любой конкретный момент времени.

Мгновенные значения обозначаются строчными буквами, т. е. e, i, u.

Из выражения (10.2) следует, что угол поворота рамки Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , тогда мгновенные значения синусоидальных величин можно за­висать так:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru . (10.4)

Таким образом, любая синусоидальная величина характеризуется амплитудой и угловой частотой, которые являются постоянны­ми для данной синусоиды. Следовательно, по формулам (10.4) можно определить синусоидальную величину в любой конкретный момент времени t, если известны амплитуда и угловая частота.

Если в магнитном поле вращаются две жестко скрепленные между собой под каким-то углом одинаковые рамки (рис. 10.4а) т. е. амплитуды ЭДС Ет и угловые частоты со их одинаковы, то мгновенное значение их ЭДС можно записать в виде

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.5)

где ψ1 и ψ2 - углы, определяющие значения синусоидальных ве­личин е1 и е2 в начальный момент времени (t = 0), т. е.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Поэтому эти углы ψ1 и ψ2 называют начальными фазамисину­соид.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис. 10.4

Начальные фазы ψ1 и ψ2 этих ЭДС различны.

Таким образом, согласно (10.5) каждая синусоидальная величина характеризуется амплитудой Еm, угловой частотой ω и начальной фазой ψ. Для каждой синусоиды эти величины (Еm, ω и ψ) явля­ются постоянными. В выражениях (10.4) начальные фазы ψ сину­соид равны нулю.

Величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru называется фазой синусоиды.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты определяет угол сдвига фаз этих величин:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.6)

При вращении против часовой стрелки (рис. 10.4а) ЭДС в первой рамке достигает амплитудного и нулевого значения раньше чем во второй, т. е. е1 опережает по фазе е2 или е2 отстает по фазе от е1 (рис. 10.46). Угол сдвига фаз Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru показывает, на какой угол одна синусоидальная величина опережает или отстает от другой (т.е. достигает своих амплитудных и нулевых значений раньше или позже).

Две синусоидальные величины одинаковой частоты, достигаю­щие одновременно своих амплитудных (одного знака) и нулевых значений, считаются совпадающими по фазе (рис. 10.5а).

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис. 10.5

Если две синусоиды одинаковой частоты достигают одновре­менно своих нулевых и амплитудных значений разных знаков (рис. 10.56), то они находятся в противофазе.

Среднее значение переменного тока равно величине такого постоянного тока, при котором через поперечное сечение проводника проходит то же количество электричества, что и при пере­менном токе.

Таким образом, среднее значение переменного тока эквивалент­но постоянному току по количеству электричества Q, проходящему через поперечное сечение проводника в определенный проме­жуток времени.

Средние значения переменных величин обозначаются пропис­ными буквами с индексом «с», т. е. IC, UC, ЕC.

Если ток изменяется по синусоидальному закону, то за полови­ну периода через поперечное сечение проводника проходит опре­деленное количество электричества Q в определенном направле­нии, а за вторую половину периода через то же сечение проходит то же количество электричества в обратном направлении. Таким образом, среднее значение синусоидального тока за период равно нулю, т. е. IC = 0.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис. 10.6

Поэтому для синусоидального переменного тока определяется его среднее значение за половину периода Т/2, т. е.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Значение переменного тока определяется выражением Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , откуда Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru . Следовательно, среднее значение синусоидального тока Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru с начальной фазой ψ = 0 за полупериод определяется (рис. 10.6) выражением

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Где Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , а Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru . Графически среднее за полупериод значение синусоидального тока равно высоте прямоугольника с основанием, равным Т/2, и площадью, равной площа­ди, ограниченной кривой тока и осью абсцисс за по­ловину периода (рис. 10.6). Под средним значением переменной величины по­нимают постоянную со­ставляющую этой величи­ны.

Средние значения сину­соидального напряжения и ЭДС за полупериод можно определить по аналогии с током.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.8)

Действующее (или эффективное) значение переменного тока - это значение переменного тока, эквивалентное постоянному току по тепловому действию.

Действующее значения переменных величин обозначается про­писными буквами без индексов: I, U, E.

Действующее значение переменного тока I равно величине такого постоянного тока, которое за время, равное одному периоду пере­менного тока Т, выделит в том же сопротивлении R такое же ко­личество тепла, что и переменный ток I:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Откуда действующее значение переменного тока

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru или Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Если переменный ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю, т.е. Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , то действующее значение такого синусоидального тока будет равно

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

так как Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , а Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Действующее значение синусоидального тока в Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru =1,41 раза ме­ньше его амплитудного значения. Так же можно определить действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ; Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10.9)

Номинальные значения тока и напряжения в электрических цепях и устройствах выражаются их действующими значениями. Так, например, стандартные напряжения электрических сетей U = 127 В или U = 220 В выражают действующие значения этих на­пряжений. А изоляцию необходимо рассчитывать на амплитудное значение этих напряжений, т. е.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru В или Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru В.

При расчете цепей переменного тока и их исследованиях чаще всего пользуются действующими (эффективными) значениями тока, напряжения и ЭДС.

На шкалах измерительных приборов переменного тока указыва­ется действующие значение переменного тока или напряжения.

Именно действующие значения тока, напряжения и ЭДС ука­зываются в технической документации, если нет специальных оговорок.

ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ДЛЯ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяется происходящими в них физическими процессами. Рассмотрим их по отдельности на примере закона Ома для этих элементов.

Резистивный элемент. Выберем положительное направление синусоидального тока

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (1)

в резистивном элементе с постоянным сопротивлением r совпадающим с положительным направлением синусоидального напряжения, приложенному к элементу. В этом случае для мгновенных значений напряжения и тока справедливо соотношение, определяемое законом Ома:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (2)

или

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (3)

где амплитуда тока и напряжения связаны соотношением:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (4)

а их начальные фазы одинаковы

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (5)

т.е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно – совпадают по фазе, как показано на рис. 1 для начальной фазы Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru .

Разделив правую и левую часть выражения (4) на Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (6)

Представим теперь синусоидальные напряжения и ток резистивного элемента соответствующими комплексными значениями:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru и Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (7)

Так как Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru и Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , то для комплексных значений тока и напряжения резистивного элемента получим закон Ома в комплексной форме:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (8)

Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется векторной диаграммой элемента (рис. 2). Из векторной диаграммы также видно, что векторы комплексных значений тока и напряжения резистивного элемента совпадают по фазе.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис.

Рис.

Индуктивный элемент. Если в индуктивном элементе ток синусоидальный

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (9)

то по закону электромагнитной индукции на индуктивном элементе появится напряжение:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (10)

где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (11)

а их начальные фазы – соотношением

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (12)

Разделив правую и левую часть выражения (11) на Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктивного элемента:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (13)

На рис. 3 показан график мгновенных значений синусоидального тока и напряжения индуктивного элемента (построен при Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ) из которого видно, что синусоидальный ток отстает по фазе от синусоидального напряжения на угол Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru .

Величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru в выражении единица которой Ом, называется индуктивным сопротивлением, а обратная величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru – индуктивной проводимостью. Значение величин xL и bL являются параметрами индуктивных элементов цепей синусоидального тока.

Индуктивное сопротивление пропорционально угловой частоте синусоидального тока, при постоянном тока оно равно нулю. По этой причине многие аппараты и машины, предназначенные для работы в цепях переменного тока, нельзя включать в цепь постоянного тока.

Представим синусоидальный ток и напряжение индуктивного элемента соответствующими комплексными значениями:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru и Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (14)

На рис. 4 приведена векторная диаграмма для индуктивного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока отстает по фазе от вектора комплексного значения напряжения на угол Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , что соответствует сдвигу фаз на рис. 3. Закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (15)

Или

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (16)

Входящие в это выражения величины Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru называются комплексными сопротивлениями индуктивного элемента, а обратная ей величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru – комплексной проводимостью индуктивного элемента.

Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потока сцепления:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (17)

Это - математическая формулировка закона электромагнитной индукции в комплексной форме.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Емкостной элемент. Если напряжение между выводами емкостного элемента изменяется по синусоидальному закону:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (18)

то синусоидальный ток

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (19)

где амплитуды связаны соотношением

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (20)

а начальные фазы соотношением

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (21)

Разделив правую и левую часть выражения (20) на Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкостного элемента:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (22)

Величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru в выражении (22) единица которой Ом-1 = См, называется емкостной проводимостью, а обратная величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru – емкостным сопротивлением. Значение величин xC и bC являются параметрами емкостного элемента цепей синусоидального тока.

В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока. При постоянном напряжении емкостное сопротивление бесконечно велико.

На рис 5 показан график мгновенных значений синусоидальных напряжений и тока для емкостного элемента (построен при Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru ) из которого видно, что синусоидальные напряжение отстает по фазе от синусоидально тока на угол Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , т.е. сдвиг по фазе между напряжением и током Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru .

Представим синусоидальный ток и напряжение емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru и Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (23)

На рис. 6 приведена векторная диаграмма для емкостного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения напряжения отстает по фазе от вектора комплексного значения тока на угол Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru .

Закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента:

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru (24)

Величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru , входящая в это выражение, называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru – комплексной проводимостью емкостного элемента.

Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru Получение синусоидального напряжения и его параметры - student2.ru

Рис.

Наши рекомендации