Изучение явления взаимной индукции (ФПЭ-05)

Цель работы: исследование явления взаимной индукции двух коаксиально расположенных (соосных) катушек.

Теоретическое введение

Рассмотрим два контура 1 и 2, расположенные на некотором расстоянии друг от друга (рис. 21.1). Если по контуру 1 пропустить ток I₁, то он создает поток магнитной индукции через контур 2, который будет пропорционален току I₁:

(21.1)

Коэффициент пропорциональности М₂₁ называется коэффициентом взаимной индукции контуров или взаимной индуктивностью контуров. Он зависит от формы и взаимного расположения контуров 1 и 2, а также от магнитных свойств окружающей среды. При изменении тока в первом контуре магнитный поток через второй контур изменяется, следовательно, в нем наводится ЭДС взаимной индукции. Вычислим её с помощью закона Фарадея: ЭДС индукции в замкнутом контуре равна по величине и противоположна по знаку быстроте изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на данный контур.

. (21.2)

Формула (21.2) является универсальной и справедлива независимо от того, каким способом будут изменять магнитный поток: изменяя индукцию магнитного поля, либо изменяя площадь контура (деформируя контур), либо изменяя ориентацию контура относительно линий магнитной индукции. Более того, формула (21.2) справедлива и для незамкнутого проводника, тогда под dФ нужно понимать пересеченный магнитный поток при движении проводника.

Знак «–» в (21.2) связан с законом сохранения энергии и означает, что индукционный ток всегда имеет такое направление, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему индукционный ток. Это – правило Ленца. Таким образом, ЭДС индукции во втором контуре (рис.21.1) равна:

. (21.3)

Формула (21.3) справедлива в отсутствие ферромагнетиков. Если поменять местами контуры 1 и 2 и провести все предыдущие рассуждения, то получим:

(21.4)

Можно показать, что коэффициенты взаимной индукции равны:

. (21.5)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: звуковой генератор PQ; электронный осциллограф PO; модуль “взаимоиндукция” ФПЭ-05; вольтметр PV (прибор комбинированный Щ-4313).

Функциональная схема установки представлена на рис. 21.2.

Электрическая принципиальная схема модуля ФПЭ-05 “Взаимоиндукция” представлена на рис. 21.3, где: L₁, L₂ – катушки индуктивности на одной оси; П₁, П₂ – переключатели катушек; Ш – шток со шкалой, показывающей взаимное расположение катушек L₁ и L₂.

Методика измерений

В данной работе измеряется коэффициент взаимной индукции между длинной катушкой 1 (L₁) и короткой катушкой 2 (L₂), которая надевается на катушку 1 и может перемещаться вдоль ее оси. Питание одной из катушек, например 1, осуществляется от генератора звуковой частоты PQ, напряжение с которого

(21.6)

подается через сопротивление R. Вольтметр, подключенный к панели PQ, измеряет действующие значения напряжения . Величина R выбирается таким образом, чтобы выполнялось неравенство

, (21.7)

где L₁ – индуктивность катушки 1, R₁ – ее активное сопротивление (R=10 кОм). В этом случае ток, протекающий через катушку 1, можно определить по формуле:

(21.8)

Переменный ток в катушке 1 создает переменную ЭДС взаимной индукции в катушке 2:

. (21.9)

Для измерения используется осциллограф. Амплитуда ЭДС взаимной индукции

, (21.10)

где ν – частота звукового генератора. Из формулы (21.10) имеем:

. (21.11)

Если поменять местами катушки 1 и 2, то можно аналогично измерить

. (21.12)

Экспериментальная установка.

Для изучения явления взаимной индукции предназначена кассета ФПЭ – 05 «Взаимоиндукция», в которой расположены две катушки индуктивности 1 (L₁) и 2 (L₂) на одной оси (рис.21.4) и шток со шкалой (Ш), показывающий взаимное расположение катушек 1 и 2. Принципиальная схема установки показана на рис. 21.2. Для перестановки катушек необходимо переключатели П₁ и П₂ перебросить в противоположное положение. Электрическая схема подключения показана на рис. 21.5. Модуль ФПЭ-05 подключается к звуковому генератору РQ. Вольтметр PV, подключенный к панели РQ, измеряет действующие (эффективные) значения напряжения

(21.13)

Для измерения амплитуды ЭДС взаимной индукции используется электронный осциллограф (РО).

Порядок выполнения работы

Задание 1: Измерение коэффициентов взаимной индукции М₂₁ и М₁₂ и исследование их зависимости от взаимного расположения катушек.

1. Подать напряжение на установку.

2. Ознакомиться с работой электронного осциллографа и звукового генератора.

3. Задать напряжение U_эфф=2 В и частоту сигнала генератора ν=10 кГц, подать напряжение на катушку 1, а ЭДС катушки 2 подать на осциллограф (переключатели П₁ и П₂ в крайнее левое положение). Переключатель “V/дел” на передней панели осциллографа РО установить в положение 0.05 В/дел.

4. Установить подвижную катушку 1 в крайнее переднее положение. Перемещая ее в противоположное крайнее положение через 10 мм, записывать значение координаты Z (расстояние между центрами катушек) и ЭДС взаимной индукции ε₀₂ в цепи катушки 2, измеренную по экрану осциллографа, в табл. 21.1.

5. По формуле (21.11) рассчитать значение М₂₁. Полученные данные занести в таблицу 21.1.

6. Поменяв местами катушки L₁ и L₂ (оба переключателя П₁ и П₂ в крайнее правое положение), повторить измерения по пунктам 3, 4 и рассчитать М₁₂.

7. Построить графики зависимости М₂₁ и М₁₂ как функции координаты Z (расстояние между центрами катушек 1 и 2).

Задание 2: Измерение М₂₁ при различных значениях амплитуды питающего напряжения.

1. Поставить катушку 1 в среднее положение относительно катушки 2. (Выдвинуть шток до положения “50”).

2. Задать частоту звукового генератора PQ ν=20 кГц.

3. Измерить амплитуду ЭДС взаимной индукции ε₀₂ при различных значениях напряжения U_эфф в цепи катушки 1 в интервале 0÷5 В через 0.4 В.

4. По формуле (21.11) рассчитать М₂₁. Полученные данные занести в таблицу 21.2.

Таблица 21.1

Uэфф=2 В, ν=10 кГц
Z, мм	e02	М21, Гн	e01	М12, Гн
дел.	В	дел.	В

Таблица 21.2

ν=20 кГц
Uэфф, В	0.4	0.8	1.2	1.6	2.0	2.4	2.8	3.0	3.4	3.8	4.2	4.6	5.0
e02, В
М21, Гн

Таблица 21.3

Uэфф=2.5 В
ν, кГц
e02, В
М21, Гн

Задание 3: Измерение М₂₁ при различных частотах питающего напряжения.

1. Поставить катушку 1 в среднее положение относительно катушки 2. (Выдвинуть шток до положения “50”).

2. Задать напряжение звукового генератора U_эфф=2.5 В.

3. Измерить амплитуду ЭДС взаимной индукции ε₀₂ при различных частотах звукового генератора в интервале (5÷50) кГц через 5 кГц.

4. По формуле (21.11) рассчитать М₂₁. Полученные данные занести в табл. 21.3.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон электромагнитной индукции Фарадея и правило Ленца.

2. Как применить закон Фарадея для определения разности потенциалов на концах прямолинейного проводника, движущегося в магнитном поле?

3. В чем состоит явление взаимной индукции?

4. Чему равна ЭДС взаимной индукции двух контуров?

5. От чего зависит коэффициент взаимной индукции?

6. Выведите расчетные формулы (21.11) и (21.12).

7. Объясните график зависимости М₂₁=f(Z), полученный в данной работе.

8. Нарисуйте линии магнитного поля катушки индуктивности.

9. Нарисуйте линии магнитного поля системы катушек 1 и 2 для различного положения катушки 1 относительно катушки 2 (см.рис.21.4).

Используемая литература

[1] §§ 25.1, 25.3;

[2] § 17.2;

[3] § 2.46;

[4] т.2, §§ 50, 66;

[5] §§ 123, 128.

Лабораторная работа 2-22

Электростатика

Цель ра­бо­ты: оп­ре­де­ле­ние ем­ко­сти проводников с помощью электрометра.

Теоретическое введение

Элек­тро­ем­кость уе­ди­нен­но­го про­вод­ни­ка - это од­на из его ха­рак­те­ри­стик, ко­то­рая по­ка­зы­ва­ет, ка­кой за­ряд нуж­но со­об­щить данно­му про­вод­ни­ку, что­бы его по­тен­ци­ал из­ме­нил­ся на еди­ни­цу, и опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле:

, (22.1)

где C - ем­кость про­вод­ни­ка; j - потенциал, ко­то­рый по­лу­чил про­вод­ник при со­об­ще­нии ему за­ря­да q.

Элек­тро­ем­кость про­вод­ни­ка за­ви­сит от его раз­ме­ров, фор­мы, нали­чия по со­сед­ст­ву дру­гих про­вод­ни­ков и от ди­элек­три­че­ской прони­цае­мо­сти сре­ды.

Еди­ни­цей элек­тро­ем­ко­сти в сис­те­ме СИ яв­ля­ет­ся 1 Фа­ра­д - это элек­тро­ем­кость та­ко­го про­вод­ни­ка, по­тен­ци­ал ко­то­ро­го при со­об­щении за­ря­да в 1 Ку­лон из­ме­ня­ет­ся на 1 Вольт.

Ёмкость проводника сферической формы радиуса R можно найти, если учесть, что электростатическое поле такого заряженного проводника сферически симметрично и при такое же, как поле точечного заряда, расположенного в центре сферы:

; .

Следовательно, потенциал поверхности сферы равен

,

и из (22.1) получим:

. (22.2)

Кон­ден­са­то­ром на­зы­ва­ет­ся со­во­куп­ность двух лю­бых проводников, способных накапливать энергию электрического поля между обкладками.

Ем­кость кон­ден­са­то­ра оп­ре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем за­ря­да на од­ной из его об­кла­док к раз­но­сти по­тен­циа­лов ме­ж­ду об­клад­ка­ми:

. (22.3)

В боль­шин­ст­ве слу­ча­ев фор­ма об­кла­док кон­ден­са­то­ра и их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние под­би­ра­ют та­ким об­ра­зом, что­бы внеш­ние по­ля су­ществен­но не влия­ли на элек­три­че­ское по­ле ме­ж­ду ни­ми и си­ло­вые линии, на­чи­наю­щие­ся на од­ной из об­кла­док, обя­за­тель­но за­кан­чи­ва­лись на дру­гой. Бла­го­да­ря это­му все­гда обес­пе­чи­ва­ет­ся ра­вен­ст­во аб­солют­ных зна­че­ний за­ря­дов на об­клад­ках.

К про­стей­шим ти­пам кон­ден­са­то­ров от­но­сят­ся пло­ские, сфе­ри­че­ские и ци­лин­д­ри­че­ские.

Рис.22.1 Рис.22.2 Рис.22.3

Емкость приведенных на рисунках 22.1–22.2 конденсаторов может быть рассчитана по формулам:

плос­кий конденсатор (рис. 22.1):

; (22.4)

сфе­ри­че­ский конденсатор (рис. 22.2):

; (22.5)

цилиндрический конденсатор (рис. 22.3):

(22.6)

Для вычисления разности потенциалов на обкладках конденсатора воспользуемся формулой связи напряженности электростатического поля и потенциала: ; или, то же самое в интегральной форме: . Интегрировать здесь будем по радиус-вектору, проведенному от внутренней обкладки к внешней. Вектор напряженности поля направлен радиально (в силу симметрии), тогда

. (22.7)

Напряженность поля между обкладками можно найти по теореме Остроградского-Гаусса (22.8), согласно которой поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных поверхностью, деленной наεε₀:

. (22.8)

В качестве Гауссовой поверхности в нашем случае следует взять сферу, концентрическую обкладкам, радиусом r: R₁<r<R₂. Из-за симметрии напряженность поля в любой точке сферы одинакова и совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной точке, и величину Е можно вынести из под знака интеграла в (22.8), а . В правой части (22.8) суммарный заряд, охваченный Гауссовой поверхностью, - это заряд внутренней обкладки, то есть заряд конденсатора q. Тогда

. (22.9)

Здесь учтено, что - площадь сферы. Выразив Е из (22.8) и подставив в (22.7), получим:

,

откуда с учетом (22.3) получается (22.5).

Аналогично докажем (22.6). В качестве Гауссовой поверхности здесь следует взять цилиндр, коаксиальный обкладкам цилиндрического конденсатора, радиусом r: r₁<r<r₂ и длиной l. Тогда из (22.8) получим:

.

Далее, из (22.7):

,

Откуда с учетом (22.3) получим (22.6).

Кон­ден­са­то­ры ха­рак­те­ри­зу­ют­ся не толь­ко их элек­три­че­ской ем­ко­стью, но так­же и на­пря­же­ни­ем про­боя – та­кой ми­ни­маль­ной раз­но­стью по­тен­циа­лов об­кла­док, при ко­то­рой про­ис­хо­дит элек­три­че­ский раз­ряд че­рез слой ди­элек­три­ка в кон­ден­са­то­ре.

Рис. 22.4

В тех слу­ча­ях, ко­гда ем­ко­сти од­но­го кон­ден­са­то­ра ока­зы­ва­ет­ся не­дос­та­точ­но, кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют па­рал­лель­но (рис.22.4). При этом на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­рах ока­зы­ва­ет­ся оди­на­ко­вым: U_i=U. Об­щий за­ряд ба­та­реи

,

где n - об­щее чис­ло кон­ден­са­то­ров; q_i - за­ряд i-го кон­ден­са­то­ра. С учетом того, что из (22.3) заряд каждого конденсатора q_i=C_iU_i, где С_i - емкость i-го кон­ден­са­то­ра, а общий заряд q=CU,

Рис. 22.5

,

и после сокращения:

(22.10)

Ем­кость ба­та­реи кон­ден­са­то­ров рав­на сум­ме ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров.

По­сле­до­ва­тель­но кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют в том слу­чае, ко­гда их нужно вклю­чить в цепь с на­пря­же­ни­ем вы­ше то­го, на ко­то­рое рас­счи­тан от­дель­ный кон­ден­са­тор. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии кон­ден­саторов (рис. 22.5) за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы: q_i=q, а полное напряжение на батарее равно сумме напряжений:

.

С учетом (22.3) , , тогда получим:

,

и после сокращения:

, (22.11)

то есть ве­ли­чи­на, об­рат­ная ем­ко­сти ба­та­реи, рав­на сум­ме об­ратных ве­ли­чин ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров.

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы, на­пря­же­ние на них рас­пре­де­ля­ет­ся в за­ви­си­мо­сти от их ем­ко­стей, что умень­ша­ет воз­мож­ность про­боя кон­ден­са­то­ра.

Экспериментальная часть

Приборы и обо­ру­до­ва­ние: электрометр с заземлённым корпусом, проводники (металлические шары), круглые пластины, цилиндрический конденсатор (коаксиальный кабель), два диэлектрических тела (пластмассовая линейка и целлюлоза).