Изучение процессов заряда и разряда конденсатора (ФПЭ-08)

Цель работы:изучение заряда и разряда конденсатора при различных параметрах емкости и сопротивления электрической цепи и вычисление времени релаксации.

Теоретическое введение

Рассмотрим процесс заряда конденсатора в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник ЭДС ε (рис. 6.1). Первоначально конденсатор не заряжен. Пусть I, q, U – мгновенные значения тока, заряда и разности потенциалов между обкладками конденсатора. Полагаем, что токи и напряжения удовлетворяют условиям квазистационарности, т.е. мгновенное значение тока во всех сечениях провода и элементах цепи (рис. 6.1) одно и то же, и соотношение между мгновенными значениями I, q и U такое же, как и в цепи постоянного тока. В момент времени t=0 ключ К замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор , где q – заряд конденсатора. Применим закон Ома к цепи (рис. 6.1):

, (6.1)

где R – полное сопротивление цепи, включающее внутреннее сопротивление источника ЭДС. Учитывая, что разность потенциалов на пластинах конденсатора U=q/C, запишем предыдущее уравнение в виде

, (6.2)

Разделим переменные и проинтегрируем это уравнение с учетом начального условия: при t=0, q=0:

;

;

Откуда

, (6.3)

I0

где q₀=εC – предельное значение заряда на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону

,

закон изменения тока в цепи получим дифференцированием:

, (6.4)

где . Графики зависимостей q(t) и I(t) представлены на рис. 6.2.

Рассмотрим процесс разряда конденсатора емкостью С, пласти­ны которого замкнуты сопротивлением R. Пусть dq – уменьшение заряда конденсатора за время dt. При разряде конденсатора в це­пи (рис. 6.3) протекает ток . Известно, что , где U – разность потенциалов на конденсаторе, а следовательно, и на сопротивлении R . По закону Ома имеем U=IR , тогда

, (6.5)

Уравнение (6.5) показывает, что скорость уменьшения заряда конден­сатора пропорциональна величине этого заряда. Интегрируя уравнение (6.5) при условии, что в момент времени t=0 q=q₀, получим

,

, (6.6)

откуда

, (6.7)

Функция q(t) называется экспоненциальной. График зависимости q(t) приведен на рис. 6.4. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе разряда аналогичен (6.7):

, (6.8)

где . Произведение RС имеет размерность времени ( ) и назы­вается постоянной времени, или временем релаксации . За время заряд конденсатора уменьшается в e раз. Для определения RС часто удобно измерять время, за которое величина заряда падает до поло­вины первоначального значения, так называемое "половинное время" t_1/2. "Половинное время" определяется из выражения

, (6.9)

Взяв натуральный логарифм от обеих частей уравнения (6.9), получа­ем , или

(6.10)

Способ измерения постоянной времени состоит в определении t_1/2 и умножении полученной величины на 1.44. Так как экспонента асимптотически приближается к оси абсцисс, то точно установить окончание процесса разряда конденсатора (так же как и процесса заряда) не представляется возможным. Поэтому целесообразно изме­рять время уменьшения величины заряда в 2 раза, т.е. “половинное время”. За каждый интервал времени t_1/2=0.693ּRC заряд на емкости уменьшается в два раза (рис. 6.5).

Кроме того, постоянную времени можно найти графическим способом. Из формулы (6.8) находим:

, (6.11)

Логарифмируя левую и правую части формулы (6.11), получаем

. (6.12)

Построив логарифмическую зависимость, y=f(x), где , а , получим прямую, котангенс угла наклона которой к оси Х есть характеристическое время релаксации заряда, или постоянная времени RC:

. (6.13)

Если обкладки конденсатора попеременно подключать к источнику тока и к сопротивлению R (рис. 6.6), то график процесса заряд-разряд конденсатора будет иметь вид, показанный на рис. 6.7. Процесс заряда-разряда можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая на вход Y напряжение с конденсатора C.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: ФПЭ-08 (ПИ) – модуль “Заряд-разряд конденсатора”; ИП – источник питания; PQ – звуковой генератор; МС – магазин сопротивлений (R₁); МС – магазин сопротивлений (R₂); МЕ – магазин емкостей (С); РО – электронный осциллограф.

Функциональная схема лабораторной установки представлена на рис.6.8.

Методика измерений

Схема состоит из источника постоянного тока ИП, генератора низкочастотных синусоидальных импульсов (звукового генератора), преобразователя ПИ синусоидальных импульсов в прямоугольные
положительной полярности (преобразователь импульсов позволяет получить прямоугольные импульсы, скважность которых меняется регулятором на лицевой панели), двух магазинов сопротивлений R₁ и R₂, магазина емкостей С и электронного осциллографа.

Подаваемый с выхода генератора синусоидальный импульс преобразуется в прямоугольный и через магазин сопротивлений R₂ подается на магазин емкостей С. Конденсатор заряжается. Время заряда конденсатора С можно изменять сопротивлением R₂. В момент паузы происходит разряд конденсатора по цепи R₁–R₂–C. Время разряда определяется параметрами этой цепи.

Визуально процесс заряда-разряда конденсатора можно наблюдать на экране осциллографа. Наиболее устойчивый режим работы данной схемы обеспечивается при изменении номинальных величин элементов RC–цепи в следующих пределах:

С=0.02÷0.04 мкФ; R₁=10²÷10³ Ом; R₂=1÷5 кОм; f_ген=0.5÷5 кГц.

При этом сравнительно полно происходит процесс заряда-разряда конденсатора. При увеличении сопротивлений и емкости больше определенных значений конденсатор не успевает полностью зарядиться и разрядиться за один период цикла. Наблюдаемые при этом кривые заряда и разряда изображены на

рис.6.9 штрихпунктирной линией.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с работой звукового генератора и электронного осциллографа.

2. Установить следующие параметры выходного напряжения звукового генератора: частота 2 кГц, напряжение 2-3 В.

3. Установить импульсы наибольшей скважности. Для этого нажать левую кнопку “скважность–грубо” преобразователя импульсов ПИ (модуль ФПЭ-08). Ручку “скважность–точно” установить в крайнее правое положение.

4. Подготовить осциллограф к работе:

а) установить ручку развертки «время/дел» в положение «50 μs»;

б) ручку усилителя «вольт/дел» установить в положение «1 V».

5. Включить лабораторный стенд и приборы: источник питания, генератор, осциллограф.

6. Установить на экране осциллографа устойчивую картину.

7. Установить на магазине сопротивлений R₁ значение 1^.10² Ом.

8. Установить на магазине сопротивлений R₂ значение 2^.10³ Ом.

9. Установить на магазине емкостей значение С=2ּ10^-2 мкФ.

Задание 1: Изучение кривых заряда и разряда конденсатора.

1. Установить усиление канала Y осциллографа таким, чтобы высота импульса на экране была максимальной. Ручками «↔» и «↕» осциллографа совместить начало кривой заряда с началом шкалы осциллографа. Установить частоту развертки осциллографа такой, чтобы на экране уместилась полная кривая заряда и разряда конденсатора. Снять кривую зависимости Y=f(X), измеряя X в секундах, а Y – в вольтах. Записать 8-10 значений X и Y. Результаты занести в таблицу 6.1, построить кривую заряда конденсатора U=f(t).

Таблица 6.1.

Процесс заряда; R1=1.102 Ом; R2=…..Ом; С=….. мкФ. Цена деления по оси Х: 50 μs/дел.
X, дел.
X, c
Y, В

2. Аналогичные измерения провести для кривой разряда, совместив начало кривой разряда с началом координат на шкале осциллографа. Результаты занести в таблицу 6.2, построить кривую разряда конденсатора.

Таблица 6.2

Процесс разряда; R1=1.102 Ом; R2=…..Ом; С=….. мкФ. Цена деления по оси Х, 50 μs/дел.
X, c
Y, В	U0=

3. По кривым заряда и разряда конденсатора определить время, за которое величина напряжения падает до половины первоначального значения (“половинное время”) и по формуле 6.10. вычислить время релаксации .

4. Не изменяя усиление канала Y осциллографа, получить на экране кривые заряда и разряда конденсатора при других значениях R₂ и С, оставляя неизменной величину сопротивления R₁=10² Ом.

Рекомендуемые значения R₂ и С следующие:

R₂=1^.10³ Ом; C=2×10^-2÷4×10^-2 мкФ;

R₂=2×10³ Ом; C=1×10^-2 мкФ;

R₂=3×10³ Ом; C=1×10^-2 мкФ.

5. Измерить по наблюдаемым на экране осциллографа кривым релаксации заряда “половинное время” в делениях шкалы. Затем t_1/2 перевести в секунды. По формуле (6.10):

(6.10)

вычислить экспериментальное значение постоянной времени τ_эксп.. (Для получения достаточно полного процесса заряда и разряда конденсатора можно изменять частоту следования импульсов, меняя частоту звукового генератора.)

7. Вычислить теоретическое значение постоянной времени τ_теор.=RC, используя значение параметров RC – цепи. Учесть, что при заряде конденсатора R=R₂, а при разряде R=R₁+R₂.

8. Вычислить относительную погрешность Е(τ) постоянной времени в каждом опыте по формуле (6.11); рассчитать среднюю.

. (6.14)

9. Данные занести в таблицу 6.3.

Таблица 6.3

R2, ּ103 Ом	C, ּ10-2 мкФ	t1/2, с	R, Ом	τэксп., с	τтеор, с	Е(τ), %	Есреднее

Задание 2: Построение кривой разряда конденсатора в логарифмическом масштабе

1. Рассчитать значения , записать в табл.6.2.

2. Построить график зависимости Y=f(X), где , а (рис.6.10).

3. Найти котангенс угла наклона полученной прямой к оси Х как отношение:

.

4. Сравнить полученное значение со значением постоянной времени, найденным в задании 1: .

5. Записать результаты в табл.6.4.

Таблица 6.4.

R1, 103 Ом	R2, 103 Ом	C, 10-2 мкФ	R, Ом	Δt, с	Δ	,с	τтеор, с

Контрольные вопросы

1. Что такое кривая релаксации заряда?

2. Как определяется характеристическое время релаксации τ?

3. Опишите блок-схему установки.

4. Как зависит время заряда и разряда конденсатора от элементов цепи R₁, R₂, C?

5. Какова зависимость напряжения на конденсаторе U и тока в цепи I от времени, т.е. U(t) и I(t), в процессе заряда и разряда конденсатора?

6. Вывести формулы (6.3) и (6.7).

Используемая литература

[2] § 13.8;

[3] §§ 2.32, 3.14;

[4] т.2, §§ 80, 81, 82.

Лабораторная работа 2-07