Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Представление синусоидального тока в виде вращающегося вектора:

а) декартова плоскость;

б)комплексная плоскость.

Синусоидальные токи, ЭДС и напряжения можно описать с помощью тригонометрических функций, изобразить графически в виде временной диаграммы синусоиды и представить в виде вращающихся векторов на декартовой и комплексной плоскостях.

Как известно, синусоидальный ток может быть описан тригонометрической функцией:

i=Imsin(ωt+Ψ)

При представлении синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на плоскости декартовых координат:

· Вектор, соответствующий в выбранном масштабе амплитудному значению синусоидальной величины (Em, um, Im), вращается с угловой частотой, равной угловой частоте ω против часовой стрелки;

· Начальная фаза отсчитывается от положительного направления оси абсцисс также против часовой стрелки;

· Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям синусоидальных величин.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называются векторной диаграммой.

Применение векторных диаграмм при анализе и исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы, а также рассчитать цепь.

При этом для получения суммы или разности ЭДС, u, I используются правила сложения или вычитания векторов.

Недостатком таких расчетов является невысокая точность.

При представлении синусоидальных ЭДС, u, I в виде аналогичных вращающихся векторов, на комплексной плоскости позволяет выразить геометрические операции с векторами переменных токов и напряжений в алгебраической форме, что повышает точность расчётов и обеспечивает возможность применения для расчёта цепей синусоидального тока.

При изображении синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на комплексной плоскости ось абсцисс заменяют осью действительных (вещественных) чисел, а ось ординат - осью мнимых чисел;

· Вращающийся вектор, соответствующий в выбранном масштабе действующему значению синусоидальной величины, изображают аналогично тому, как это производилось на плоскости декартовых координат;

· Вектор, обозначенный I, раскладывают на составляющие по оси действительных I` и оси мнимых I`` чисел;

· Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Составляющую по мнимой оси выделяют множителем j

j= - мнимая единица.

[В отличие от принятого в математике обозначения мнимой единицы через i в электротехнике применяют обозначение j , чтобы различать с обозначением мгновенного значения тока i ].

Алгебраическая форма записи:

i=I`+jI`` - комплекс тока.

Показательная форма записи:

i=Ie

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru где I=> модуль комплекса тока.

Ψ=> фаза комплекса тока

Ψ=arctg I``/I`

Тригонометрическая форма записи получается преобразованием показательной формы на основании формулы Эйлера:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Кроме того, будут использоваться следствия из формулы Эйлера:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

1.2.5 Закон Ома в комплексной форме для цепи с резистивным элементом.

i
ur

uR
r
Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.49. Цепь синусоидального тока с резистивным элементом: а) схема; б) временные графики мгновенных значений Ur, i, Pr .

Пусть на вход цепи с активным сопротивлением (резистивным элементом ) рис.1.49, а подано напряжение синусоидальной формы

UR = URM sin (ωt+ψU)

Необходимо установить, как изменяются ток і в цепи и мощность PR, выделяемая на сопротивления r. Согласно закону Ома для мгновенных значений u и i

I = UR/r = URM/r sin (ωt+ψU ) = IM sin (ωt+ψI)

где IM = URM/r - амплитуда тока. Для действующих значений I = UR/r

ψU = ψI = ψ т.е формы u и i совпадают.

Мгновенные значения мощности

PR=UR i=i2r

знака не из меняют, т.е всегда положительный.

Пусть ψ=0, тогда (см. рис 1.49.в)

PR = UR I = URM IM sin2ωt = URM IM ½ (1-cos2 ωt) =

= URM / Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru * IM / Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru (1- cos2 ωt) = UR I - UR I cos2 ωt

PR.MAX = 2URI

PR.CP=1/T Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru R dt = 1/T Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru R I dt – 1/T Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru R I cos2 ωt dt =

UR I - UR I / T sin (4 Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /T)t |t0 Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru = UR I = I2 r

т.е средняя мощность равна произведению действующих значений напряжений u тока.

Изобразим рассматриваемые синусоидальные величины на комплексной плоскости, полагая ψUI=ψ и t=0 (рис.1.50)

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Рис.1.50 векторная диаграмма

для цепи синусоидального тока

с резистивным элементом.

Напряжения ÙR = UR e ; ток İ = ŮR/r = UR/r e = I e ;

выражения İ = ŮR/r

представляет собой запись закона Ома в комплексной форме для цепи с резистивным элементом.

1.2.6. Закон Ома в комплексной форме для цепи с идеальной катушкой индуктивности.

Предположим, что в цепи с катушкой индуктивности активное сопротивление катушки rL=0 и активное сопротивление подводящих проводов rпр = 0. Такой случай является идеальным (рис.1.51а).

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис. 1.51 Цепь синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности: а) схема; б) временные графики мгновения значений uL , i, pL.

Пусть в этой цепи протекает синусоидальный ток

I = IM sin (ωt+ψi)

тогда мгновенное напряжение катушке

uL = -eL = L di/dt = ω L IM cos (ωt+ψi) = ULM sin (ωt+ψi + Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) (1.11)

где ULM = ω L IM

Из (1.11) следует, что синусоида напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает по фазе синусоида тока на угол сдвига фаз Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2. (рис. 1.51б).

Изобразим рассматриваемые синусоидальные величины на комплексной плоскости, перейдя к действующим значениям (рис. 1.52):

Рис. 1.52 векторная диаграмма для цепи sin тока с идеальной катушкой индуктивности

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Ì = I e jψi ;

ÙL = UL e ji+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) = ω L I e jψi e j Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2 = jω L I e jψi = j ω L Ì = j xL Ì , (1.12)

где xL = ωL -модуль активного сопротивления катушки [ c-1Oм*c = Oм]

j xL – комплекс индуктивного сопротивления.

На основании выражения (1.12) ранее сформулированное правило о фазовом соотношении тока и напряжения в цепи с идеальной катушкой индуктивности сводится к следующему:

-вектор напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает по фазе вектор тока на угол сдвига фаз π/2.

Закон Ома в комплексной форме имеет вид

Ì = ÙL / j xL или для модулей: I = UL / xL.

Мгновенное значения при ψI = 0

pL =uL I = ULM IM sin (ωt+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) sin ωt =

= ULM IM 1/2 [ cos Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2 –cos(2ωt + Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2­) ] =

= - UL I cos (2ωt + Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2­) = xL I2 sin ωt

Следовательно, мгновенная мощность имеет амплитудное значениe xL I2 и изменяется с данной частотой 2ω (рис.1.51.б)

В первую четверть периода uL > 0 , I > 0, pL> 0, энергия источника переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Максимальное значение накопленной энергии

WL = ½ L I2m

Во вторую четверть периода uL < 0 , I > 0, pL Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru < 0, энергия магнитного поля катушки возвращается и источник. Cредняя мощность за период

PL.CP = 1/T Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru L dt = 0

Таким образом, в цепи с идеальной катушкой индуктивности непрерывное колебание (обмен) энергия между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника.

Амплитуда колебаний мощности в цепи с идеальной катушкой называется реактивной индуктивной мощностью;

эта мощность, обусловлена энергией магнитного поля индуктивности;

единица измерения – вар – вольт - ампер - реактивности.

QL = ULI = XLI2

1.2.7 Закон Ома в комплексной форме для цепи с идеальным конденсатором.

Идеальный конденсатор не имеет активных потерь. Предположим, что активное сопротивление конденсатора rS= Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru , а активное сопротивление подводящих проводов rпр=0.

Цепь с идеальным конденсатором показана на рис. 1.53.а

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис. 1.53 Цепь синусоидального тока с идеальным контуром: а) схема; б) временные графики мгновенных значений uC, i, pC .

Пусть в этой цепи действует синусоидальное напряжение

uC =UCM sin (ωt+ψu)

Тогда мгновенным значением тока

I =C (duC/dt) = ω CUCM cos (ωt+ψu) = IM sin (ωt+ψu+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) (1.13)

Где IM = ω CUCM = UCM / (1/ω C)

Из (1.13) следует, что синусоида емкостного тока опережает по фазе синусоиду напряжения на кондукторе на угол сдвига фаз π/2 (рис. 1.53.а ).

Изобразим рассматриваемые sin величины на комплексной плоскости, перейдя к действующим значением (рис. 1.54)

Рис. 1.54 векторная диаграмма sin тока Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

для цепи sin тока с идеальным конденсатором.

ÙC = UC e jψu

Ì = I e ju+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) = UC / (1/ω C) e jψu e j Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2 =

= j UC / xC e jψu = ÙC / -jxC

Для модулей : I = UC / xC

Где xC = 1/ ω C - модуль емкостного сопротивления конденсатора.

Выражения (1.14) представляет собой запись закона Ома в комплексной форме для цепи с идеальным конденсатором. На основании данного выражения ранее сформулированное правило о фазовом соотношении тока и напряжения в цепи с идеальным конденсатором сводится к следующему: -вектор тока в цепи с идеальным конденсатором опережает по фазе вектор напряжения на углом сдвига фаз π/2 . Mгновенное значение мощности при ψU = 0

pC = uC I = UCM IM sin ωt sin (ωt+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) = UCM IM ½ [ cos π/2 – cos(2 ωt+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) ] = - UC I cos (2ωt+ Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru /2) = UC I sin 2ωt = xC I2 sin 2ωt .

Следовательно, мгновенная мощность имеет амплитудное значения xC I2 и изменяется с двойной частотой 2ω (рис.1.53 а).

В первую четверть периода uL > 0 , I > 0, pL> 0, энергия источника переходит в энергию электрического поля конденсатора (конденсатор разряжается )! Max значение накопленной энергии WC = ½ CU2CM . Во вторую четверть периода nC > 0, I < 0, pC < 0 , энергия электрического поля возвращается в источник (конденсатор разряжается )!

Средняя мощность за период PС.CP = 1/T Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru L dt = 0. Таким образом, в цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затрат энергии источника. Амплитуда колебаний в цепи с идеальным конденсатором называется реактивной емкостью (мощность, обусловленная энергией электрического поля емкости )

QС= UС I= XСI2

1.2.8 Законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока

Законы Кирхгофа как универсальные законы электрических цепей в цепях переменного тока справедлива для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений. Для цепей sin тока во многих случаях целесообразнее уравнения электрического состояния цепей по законам Кирхгофа записывають в векторной форме.

Первый закон Кирхгофа для цепей sin тока записывается и формулируется так

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru ÌK = 0

т.е геометрическая сумма векторов тока ветвей сходящихся в узле, равна нулю.

Узел цепи, в котором сходится токи Ì1, Ì2, Ì3 показана на рис. 1.55а, а векторная диаграмма на комплексной плоскости для токов этого узла на рис 1.55,б

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис. 1.55 к пояснению I Закона Кирхгофа в комплексной форме а) узел эл. цепи б) векторная диаграмма токов данного узла на комплексной форме

Уравнение по I закону Кирхгофа для этого узла имеет вид Ì1 - Ì2 - Ì3 = 0 или

Ì1 = Ì2 + Ì3 т.е. вектор тока Ì1 равен векторной (геометрической) сумме векторов токов Ì2 и Ì3 (рис.1.55.б)

При представлении sin токов комплексными величинами I закона Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма значений токов , сходящихся в узле , равно нулю.

Bторой закон Кирхгофа записывается и формулируется следующим образом:

-для замкнутого контура геометрическая сумма векторов эдс , действующих в контуре, равна геометрической сумме векторов напряжений его участков.

B комплексной форме :

-для замкнутого контура алгебраическая сумма комплексов эдс равна алгебраической сумме комплексов напряжений.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.56 к пояснению второго закона Кирхгофа в комплексной форме: а) замкнутый контур электрической цепи; б) векторная диаграмма ЭДС и напряжений данного контура на комплексной плоскости. Уравнение по второму закону Кирхгофа для данной цепи (рис. 1.56.а) имеет вид (рис. 1.56б)

Лекция №6

1.2.9 Цепь синусоидального тока с реальной катушкой индуктивности

Рис 1.57 цепь sin тока с реальной катушкой

индуктивности

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

В реальной цепи активное сопротивление катушки и проводов учтено резистором r ( рис. 1.57)

Пусть ток в цепи изменяется по sin закону

I = IM sin (ωt+ψi)

Согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжения

U = UL + UR

Переходя к комплексам напряжений, получаем:

Ù = ÙR + ÙL = r Ì + j xL Ì =Ì (r + jx) = Ì Ż

Где Ż- r + jx комплекс полного сопротивления цепи Z= Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru - его модуль

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru L = arctg xL/r - его фаза; Ż = Z ej Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru L показательная форма записи полного сопротивления.

По закону Ома в комплексной форме Ì = Ù / Ż, или для модулей I = U / Z

Получаем где Ù = Ì Ż = I e jψi Z ej Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru L =U e jψu, ψU = ψI + φL ; φL = ψU - ψI

Переходя к мгновенным значениям u =UM sin (ω t+ ψi + φL)

Следовательно в цепи содержащей последовательное соединение L и r, синусоида напряжения на входе в цепи (т.е суммарного напряжения) опережает по фазе синусоиду тока на угол сдвига тока на угол сдвига фаз φL (комплекс суммарного напряжения опережает тока на угол сдвига фаз φL )

(рис. 1.58)

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис. 1.58 векторная диаграмма с реальной катушкой индуктивности.

Векторная диаграмма строится следующим образом: по оси Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru в выбранных масштабах откладывают вектор тока Ì (по условию ψi=0) совпадающий с ним по фазе вектор напряжения на резисторе r: ÙR =r Ì

Из конца вектора ÙR параллельно оси Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru j вверх в том же масштабе, что и ÙR откладывают вектор напряжения на индуктивном элементе L: ÙR = j xL Ì

Из начало координат под углом φL откладывают отрезок, равный модулю суммарного напряжения Ù = Ì Ż т.е строят вектор напряжения Ù.

Его конец должен совпадать с концом вектора ÙL т.к по 2 закону Кирхгофа Ù = ÙR + ÙL

При выполнения условия совпадения конца вектора суммарного напряжения с концом последнего вектора напряжения участка цепи говорят, что многоугольник напряжений, действующих в цепи, замкнут

Tg φL = xL/r или cos φL = r/z

мгновенная мощность при ψi=0 (рис. 1.59)

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис 1.59 график изменения мгновенной мощности в цепи реальной катушкой индуктивности.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

т.е среднее значение мощности в цепи с реальной катушкой индуктивности равно активной мощности ( выделяемой на резисторе r) .

Амплитуда колебания мощности относительно Рср называется полной мощностью цепи, В*А (это наибольшее значениe активной мощности которое может быть получено при данных значениях напряжения и тока):

S = U I [B A]

Pеактивная индуктивная мощность катушки.

QL = XL I2 = UL I

Из векторной диаграммы (рис. 1.58) следует:

Ur = U cosφL

UL=U sinφL

поэтому:

QL= UL I = U I cosφL = S cosφL

P = S cosφL

P = URI = U I cosφL = S cosφL

P2 + Q2 = (U I cosφL)2 + (U I sinφL)2 = (U I)2 = S2

S = Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Еще раз подчеркнем что мощность Р является средней мощностью преобразования электроэнергии в другие виды энергии, а реактивная мощность Q характеризует амплитуду колебаний мощности при обмене энергии между источником и магнитным полем катушки.

Введем понятие коэффициента мощности cosφL = P / S.

Который характеризует соотношение между активной и реактивной (в данном случае – индуктивной ) мощностями, т.е показывает, какую часть полной мощности цепи составляет активная мощность. Представим активную и полную мощности в комплексной форме:

Ŝ = P + jQL = S cosφL + jS sinφL

Перейдем к показательной форме на основании подстановки Эйлера:

Ŝ = S e jφL Ŝ = U I e j (ψu -ψ I) = U e j ψu I e -j ψ I = U I

Следовательно для получение полной мощности в комплексной форме необходимо комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

Ŝ = U I = U e j ψu I e -j ψ I = S e jφL = P+ j Q

Лекция №7

1.3. Резонанс в цепях sin тока. Колебательный контур.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис1.68. К возникновению колебаний в идеальном LC-контуре

Предположим, конденсатор С (рис.1.58), подключенный через ключ К к источнику Е, зарядился до напряжения U(l)>0. Энергия запасенного в нем электрического поля: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

При переключении ключа К к заряженному конденсатору С подключается катушка индуктивности L и образуется замкнутый контур.

Ток в контуре нарастает постепенно, т.к. его увеличению противодействует ЭДС самоиндукции : Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

По мере возрастания тока в катушке запасается энергия магнитного поля :

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Когда конденсатор разрядится , ток в контуре поддерживает ЭДС самоиндукции до момента, пока энергия запасенного магнитного поля катушки не уменьшится до нуля.

Этот ток заряжает емкость до U(c)<0. описанный процесс повторяется. Замкнутый контур с элементами L и C называется Колебательным.

В идеальном колебательном контуре отсутствуют активные потери, поэтому в нем происходят незатухающие колебания.

В реальном контуре есть активные потери и поэтому возникающие колебания постепенно затухают.

При подключении колебательного контура к источнику гармония. ЭДС в нем при определенных условиях возникают резонансные явления.

Возможны два вида резонанса: при последовательном соединении элементов контура и источника – резонанс напряжений; при параллельном соединении элементов контура и источника – резонанс токов.

1.3.1. Последовательный колебательный контур. Резонанас напряжений.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.69. Последовательный колебательный контур.

Заменим последовательное соединенные сопротивления R(i) + r сопротивлением r(k)=R(i)+r.

Тогда комплекс полного сопротивления этой цепи:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.70. Зависимость реактивных сопротивлений от частоты

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

На частоте Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Частота резонанса: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Характеристическое сопротивление контура: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Добротность контура: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Чем меньше активное сопротивление контура r(k), тем выше его добротность.

С другой стороны : Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Добротность равна отношению (при резонансе) реактивной мощности в контуре (Q(lk)рез или Q(ck)рез) к активной мощности, поглощаемой контуром.

Полное сопротивление контура при резонансе Z=r(k), т.е. оно становится минимальным и чисто активным:

При этом ток в контуре при резонансе: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Не зависит от величин Х(l) и X(c), и если Р>r(k), то при резонансе ток в контуре резко возрастает.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.71. Зависимость модуля полного сопротивления последовательного контура опт частоты .

На частоте резонанса: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru - Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

При Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru реактивное сопротивление контура носит индуктивный характер, а при -емкостной.

При резонансе в последовательном контуре напряжение на реактивных элементах U(l),U(c) в Q раз превышают напряжение источника U, поэтому резонанс в этом контуре называется резонансом напряжений:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Физически это объясняется колебаниями реактивной энергии в контуре от L к C и обратно. Обмен энергией между источником и контуром не происходит. Ток в цепи обусловлен только активной мощностью.

Представим ток в контуре в колебательной форме:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Зависимость модуля тока от частоты при постоянных L,C,r,E называется резонансной характеристикой (резонансной кривой).

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.72. Резонансная кривая последовательного контура здесь показаны зависимости тока I, фазового сдвига тока относительно ЭДС Е, напряжений на катушке индуктивности U(l) и на конденсаторе U(c) от частоты ω.

Максимум напряжений на L и C достигается на частотах отличных от резонансной частоты ω◦L Действительно, Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Наибольшее значение U(c) достигается ког7да знаменатель этого выражения минимален. Для определения экстремума приравняем к нулю производную от подкоренного выражения: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Отсюда определяем: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Аналогично определяем: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рассмотрим обобщенную резонансную кривую контура. Пусть у- относительная величина, равная отношению модуля тока на любой частоте к его max значению

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Отношение Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru называется обобщенной расстройкой контура.

Тогда: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Если расстройка мала, т.е. Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru то Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Обозначим Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru -абсолютная расстройка

Тогда: Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Где Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru - относительная расстройка

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.73. Обобщенная резонансная кривая контура:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Значения обобщенной расстройки, при которых у уменьшается в Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru раз,

Так как Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru , то при λ=1 Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Диапазон частот 2∆ω в котором 1>y>0,707I(ω) ток I(ω) уменьшается до уровня 0,707 I(ω◦) наз. Полосой пропускания контура . Чем больше Q, тем меньше 2∆ω.

Для регулировки резонансной частоты контура Сr.e. для его перестройки

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Необходимо изменить L или С.

Известно, что Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Отсюда видно, что при увеличении L добротность Q возрастает, а при увеличении С – падает.

1.3.2. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Параллельный колебательный контур (элементы L и С включены параллельно источнику ) показан на рис.1.74.

Комплекс полного сопротивления контура:

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Для обеспечения резонансных свойств контура r(k) должно быть малым, поэтому слагаемым r(k)/jωC в числителе можно пренебречь

При резонансе Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru поэтому сопротивление параллельного контура на частоте резонанса Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Возрастает до максимума и становится чисто активным, что подтверждается векторными диаграммами токов при Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.75. Векторные диаграммы токов для параллельного контура:

а) при отсутствии резонанса;

б) на частоте резонанса;

Активные составляющие токов I(a1),I(a2) в ветвях контура значительно меньше реактивных, т.к. проводимости значительно меньше реактивных.

При резонансе, когда Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru и Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru реактивные составляющие токов взаимно компенсируются и ток контура становится минимальным.

Зависимость Z(ω) для параллельного контура приведена на рис.1.76. На частоте Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru Z=R(oe). При Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru реактивное сопротивление контура носит емкостной характер, а при Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru -индуктивный.

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Рис.1.76. Зависимость модуля полного сопротивления параллельного контура опт частоты Z(ω).

При резонансе в параллельном контуре ток в реактивных элементах в Q раз превышает ток в цепи источника, поэтому резонанс в этом контуре называется резонансом токов.

Действительно, при Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru и Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения - student2.ru

В энергетических цепях явления резонанса токов и напряжений недопустимы,

т.к. приводят к перегрузке элементов.

Колебательные контуры применяются в электронике и радиотехнике (в автогенераторах, радиоприемниках устройствах, избирательных фильтрах и т.д.).

Лекция №8

Трансформаторы.

Наши рекомендации