Формирование логических структур

Логическим элементом называется электрическая схема, выполняющая какую-либо логическую операцию (операции) над входными данными, заданными в виде уровней напряжения, и возвращающая результат операции в виде выходного уровня напряжения. Так как операнды логических операций задаются в двоичной системе счисления, то логический элемент воспринимает входные данные в виде высокого и низкого уровней напряжения на своих входах. Соответственно, высокий уровень напряжения (напряжение логической 1) символизирует истинное значение операнда, а низкий (напряжение логического 0) – ложное. Значения высокого и низкого уровней напряжения определяются электрическими параметрами схемы логического элемента и одинаковы как для входных, так и для выходных сигналов. Обычно логические элементы собираются как отдельная интегральная микросхема. К числу логических операций, выполняемых логическими элементами, относятся конъюнкция (логическое умножение, И), дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), отрицание (НЕ) и сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ). Рассмотрим основные типы логических элементов.

Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).

В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:

Y = F (X1; X2; X3 ... XN ).

Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.

Основными логическими функциями являются:

1. логическое отрицание (инверсия)

Y = Формирование логических структур - student2.ru ;

2. логическое сложение (дизьюнкция)

Y = X1 + X2 или Y = X1 V X2 ;

3. логическое умножение (коньюнкция)

Y = X1 × X2 или Y = X1 L X2 или Y = X1 & X2 .

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

1. функция равнозначности (эквивалентности)

Формирование логических структур - student2.ru или Формирование логических структур - student2.ru ;

2. функция неравнозначности (сложение по модулю два)

Формирование логических структур - student2.ru или Формирование логических структур - student2.ru ;

3. функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)

Формирование логических структур - student2.ru ;

4. функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)

Формирование логических структур - student2.ru ;

Для булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:

- распределительный закон

Формирование логических структур - student2.ru ;

Формирование логических структур - student2.ru

- правило повторения

Формирование логических структур - student2.ru ;

- правило отрицания

Формирование логических структур - student2.ru ;

- теорема де Моргана

Формирование логических структур - student2.ru ;

- тождества

Формирование логических структур - student2.ru .

Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X1;X2;X3 ... XN ). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.

На рис. 2.1 - 2.10 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные ранее функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.1. Логическое отрицание

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.2. Элемент “ИЛИ” – функция логического сложения

Формирование логических структур - student2.ru

Рисунок 2.3. элемент “И” – функция логического умножения

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.4. Элемент “ИЛИ-НЕ” – функция Пирса

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.5. Элемент “И-НЕ” – функции Шеффера

Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис. 2.6), а элемент Шеффера – в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис. 2.7).

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.6. Элемент Пирса

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.7. Элемент Шеффера

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.8. Элемент “Исключающее ИЛИ” – функция неравнозначности

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.9. Элемент “Исключающее ИЛИ - НЕ”, – функция неравнозначности с отрицанием

Логические элементы, реализующие операции конъюнкции, дизъюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входовые. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис. 10.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.10. Логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса

В таблице истинности (рис. 10) имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n , где n – число входных переменных.

Логические элементы используются для построения интегральных микросхем, выполняющих различные логические и арифметические операции и имеющих различное функциональное назначение. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3, например, имеют в своем составе шесть инверторов и четыре элемента Шеффера соответственно (рис. 2.11), а микросхема К155ЛР1 содержит элементы разного вида (рис. 2.12).

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.11. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.12. Микросхема К155ЛР1

Таблица 1

Основные логические операции

Обозначение операции Читается Название операции Альтернативные обозначения
  НЕ Отрицание (инверсия) Черта сверху
Формирование логических структур - student2.ru И Конъюнкция (логическое умножение) &
Формирование логических структур - student2.ru ИЛИ Дизъюнкция (логическое сложение) +
Если … то Импликация Формирование логических структур - student2.ru
Тогда и только тогда Эквиваленция ~
XOR Либо …либо Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2) Формирование логических структур - student2.ru

ФАЛ любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. В качестве примера рассмотрим ФАЛ, заданную в алгебраической форме, в виде:

Формирование логических структур - student2.ru . (1)

Упростим данную ФАЛ, используя вышеприведенные правила. Получим:

Формирование логических структур - student2.ru (2)

Проведенная операция носит название минимизации ФАЛ и служит для облегчения процедуры построения функциональной схемы соответствующего цифрового устройства.

Функциональная схема устройства, реализующая рассматриваемую ФАЛ, представлена на рис. 2.13.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.13. Функциональная схема устройства, реализующая ФАЛ Формирование логических структур - student2.ru

Следует отметить, что полученная после преобразований функция (2) не является полностью минимизированной. Полная минимизация функции проводится в процессе выполнения лабораторной работы.

Элемент И

Логический элемент «И» выполняет операцию логического умножения (конъюнкция) над своими входными данными и имеет от 2 до 8 входов и один выход (как правило, выпускаются элементы с двумя, тремя, четырьмя и восемью входами). На рис. 2.14. изображены условные графические обозначения (УГО) логических элементов И с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы И обозначаются как NИ, где N – количество входов логического элемента (например, 2И, 3И, 8И и т.д.).

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.14. Условные графические обозначения логических элементов И с двумя, тремя и четырьмя входами

Элемент ИЛИ

Логический элемент ИЛИ выполняет операцию логического сложения (дизъюнкция) над своими входными данными и, также как и логический элемент И, имеет от 2 до 8 входов и один выход. На рис. 2.15. изображены УГО логических элементов ИЛИ с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы ИЛИ обозначаются также, как и элементы И (2ИЛИ, 4ИЛИ и т.д.).

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.15. Условные графические обозначения логических элементов ИЛИ с двумя, тремя и четырьмя входами

Элемент НЕ (инвертор)

Логический элемент НЕ выполняет операцию логического отрицания над своими входными данными и имеет один вход и один выход. Иногда его называют инвертор, так как он инвертирует входной сигнал. На рис. 2.16 изображено УГО элемента НЕ.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.16. Условные графические обозначения логического элемента НЕ

Элемент И-НЕ

Логический элемент И-НЕ выполняет операцию логического умножения над своими входными данными, а затем инвертирует (отрицает) полученный результат и выдаёт его на выход. Таким образом, можно сказать, что логический элемент И-НЕ – это элемент И с инвертором на выходе. УГО элемента 3И-НЕ приведено на рис. 2.17.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.17. Условные графические обозначения логического элемента 3И-НЕ

Элемент ИЛИ-НЕ

Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет операцию логического сложения над своими входными данными, а затем инвертирует (отрицает) полученный результат и выдаёт его на выход. Таким образом, можно сказать, что логический элемент ИЛИ-НЕ - это элемент ИЛИ с инвертором на выходе. УГО элемента 3ИЛИ-НЕ приведено на рис. 2.18.

Формирование логических структур - student2.ru

Рис. 2.18. Условные графические обозначения логического элемента 3ИЛИ-НЕ

Наши рекомендации