Коэффициент полезного действия трансформатора

Под КПД трансформатора понимается отношение активной мощности отдаваемой в нагрузку к активной мощности, потребляемой от сети [1]:

, (2.30)

где P_c – потери в сердечнике (динамические и статические);

– потери в обмотках ( – сопротивление обмоток, приведённое к вторичной цепи).

Трансформатор может работать не только в номинальном режиме. Для оценки степени загрузки трансформатора по току вводят понятие коэффициента загрузки , где I_2Н – номинальный ток трансформатора. Тогда и (2.30) принимает вид

(2.31)

Потери в сердечнике P_c – не зависят от коэффициента загрузки β ( то есть от тока I ₂ , это потери холостого хода ).

Если исследовать (2.31) на экстремум по β, то КПД будет иметь максимум ( ) при , что соответствует β_ОПТ = 0,5…0,6. На рис. 2.28 показана зависимость этих потерь и КПД от .

Рисунок 2.28 – Зависимость КПД от коэффициента загрузки

Потери в обмотках пропорциональны квадрату коэффициента загрузки. При постоянной нагрузке устанавливают β = 1, что выполняется в маломощных трансформаторах. В мощных трансформаторах при изменяющейся нагрузке выбирают β ≈ β_ОПТ, что соответствует наименьшим потерям. Крутизна этой зависимости невысокая, максимум выражен слабо и, поэтому, условие не является строгим. Для примера приведём практические значения КПД и коэффициента мощности ( ) для маломощных трансформаторов при частоте 50 Гц. Они представлены на рис. 2.29 [31].

Рисунок 2.29 – Зависимость КПД и коэффициента мощности от

выходной мощности трансформатора

На рисунке 2.29 буквой Р обозначена активная мощность нагрузки трансформатора. Видно, что с ростом выходной мощности растут и энергетические показатели трансформатора.

Мощность трансформатора

При проектировании трансформаторов исходной является мощность, которая связывает габариты трансформатора с полной мощностью нагрузки:

(2.32)

Полная (полезная) мощность многообмоточного трансформатора, есть сумма полных мощностей всех его вторичных обмоток:

(2.33)

При активной нагрузке мощность активна и равна Р_2.

Типовой (габаритной) мощностью трансформатора называют полусумму мощностей всех его обмоток

(2.34)

Найдём типовую мощность для двухобмоточного трансформатора.

Полная мощность первичной обмотки (U₁, I₁ – действующие значения) – эта мощность определяет габариты обмоток: число витков –входным напряжением, а сечения проводов – действующими токами. Габаритная мощность трансформатора (типовая) определяет реальное сечение сердечника – s_с и равна

(2.35)

Учитывая, что , где s – теоретическая площадь поперечного сечения магнитопровода ( стали ). Реальная площадь сечения обычно меньше и зависит от толщины пластин (ленты), поэтому вводят, так называемый коэффициент заполнения сердечника – отношение реальной площади сечения к геометрической , которую легко измерить. Величина ( зависит от толщины ленты). Для прессованных сердечников . Таким образом, и выражение для напряжения первичной обмотки принимает вид

(2.36)

Аналогичное выражение можно записать и для вторичной обмотки, а мощности первичной обмотки и типовая соответственно равны

(2.37)

(2.38)

Отношение тока в обмотке к сечению проводника называется плотностью тока и для всех обмоток трансформатора она одинакова.

, (2.39)

где s _обм1, s_обм2 – площади сечения проводников обмоток.

Заменим токи и , тогда сумма в скобках в (2.38) равна .

где s_м – сечение всех проводников (меди) в окне магнитопровода, как показано на рисунке 2.30.

Рисунок 2.30 – К выводу формулы габаритной мощности

трансформатора

Введём коэффициент заполнения окна медью . Его величина находится в пределах и зависит от толщины изоляции проводов, каркаса, межслойной изоляции, способа намотки и пр. Тогда и выражение для типовой мощности принимает окончательный вид

(2.40)

Из выражения (2.40) следует, что типовая мощность определяется произведением . При увеличении линейного размера трансформатора в m раз, его объём (масса) увеличится в m³ раз, а мощность возрастёт в m⁴ раз. Поэтому, удельные массо-объёмные показатели трансформаторов улучшаются с увеличением габаритной мощности. С этой точки зрения предпочтительны многообмоточные трансформаторы по сравнению с несколькими двухобмоточными.

При конструировании трансформаторов следует стремиться к увеличению коэффициента заполнения окна магнитопровода обмотками – , так как повышается S_тип. Для этого используют провода прямоугольного сечения.

Выражение (2.40) является основой для расчёта трансформатора. Его преобразуют к виду:

(2.41)

По заданной выходной мощности (S_тип) находят произведение и по справочнику выбирают тип и размер магнитопровода, у которого произведение больше или равно найденному из (2.41). Такой сердечник обеспечит требуемую мощность в нагрузке.

Трёхфазные трансформаторы

Трёхфазные системы были разработаны русским электриком М.О. Доливо-Добровольским (1862 – 1919 гг.). Они широко распространены в энергетике и представляют собой симметричную трёхфазную систему напряжений промышленной частоты, сдвинутых между собой на электрический угол 120⁰. Схематическое изображение источников трёхфазных напряжений (генераторов) показано на рисунке 2.31, где начала фаз обозначены латинскими буквами ABC, а концы фаз буквами XYZ (или условно можно обозначить точками вместо букв ).

Рисунок 2.31 – Схематическое изображение источников трёхфазных

напряжений

На рисунке 2.32 показаны временное и векторное представления трёхфазной системы напряжений.

Рисунок 2.32 – Временное (а) и векторное (б) представление трёхфазной

системы напряжений

На этом рисунке Т – период, Е – фазная ЭДС. Мгновенные значения фазных ЭДС соответственно равны

(2.42)

Это симметричная трёхфазная система, в которой в любой момент времени выполняется равенство

(2.43)

Чередование фаз принято условно положительным по часовой стрелке. Существуют три основные схемы соединения в трёхфазных цепях: звезда, треугольник и зигзаг , но наиболее широко известны первые две – звезда и треугольник (говорят соединение в звезду или в треугольник). Рассмотрим их. На рис.2.33 приведена схема соединения источника и нагрузки звездой.

Рисунок 2.33 – Схема соединения источника и нагрузки звездой

На этом рисунке – фазные напряжения. Проводники, идущие от начал фазных обмоток к нагрузке называют линейными проводами (линия). Соответственно напряжения между проводами называют линейными (например, U_AC и U_CA). Очевидно, что здесь линейный ток равен фазному, а линейное напряжение превышает фазное в корень из трёх раз, поскольку линейное напряжение равно геометрической разности фазных напряжений (см. рис.2.32 ).

(2.44)

На рис.2.34 приведена схема соединения источника и нагрузки треугольником.

Рисунок 2.34 – Схема соединения источника и нагрузки треугольником

При таком соединении линейные напряжения равны фазным, а линейные токи превышают фазные в корень из трёх раз, поскольку они складываются из фазных.

(2.45)

Мощность в трёхфазной цепи не зависит от схемы соединения и складывается из мощностей отдельных фаз.

Активная мощность:

(2.46)

Реактивная мощность:

(2.47)

Полная мощность:

(2.48)

Можно перейти к линейным токам и напряжениям.

Так, при соединении звездой получаем:

(2.49)

При соединении треугольником:

(2.50)

То есть, действительно не зависит от схемы соединения.

Трансформацию трёхфазного напряжения можно осуществлять двумя способами:

– тремя отдельными однофазными трансформаторами, как показано на рисунке 2.35а. Это, так называемый, групповой трансформатор.

– одним трёхфазным трансформатором с общей магнитной системой (рис.2.35б).

Рисунок 2.35 – Условное обозначение группового (а) и трёхфазного (б)

трансформаторов при включении звезда-звезда

Первичные обмотки трансформатора называются обмотками высшего напряжения (ВН) и обозначаются заглавными буквами, а вторичные обмотки называются обмотками низшего напряжения (НН) и обозначаются малыми буквами. Первичные и вторичные обмотки соединяются любым способом.

Соединение в зигзаг применяют, чтобы неравномерную нагрузку вторичных обмоток распределить между фазами первичной сети [1] и для получения требуемых фазовых сдвигов в многопульсных схемах выпрямления. На рис. 2.36 показано соединение обмоток звезда – зигзаг и векторная диаграмма напряжений. Видно, что между напряжениями первичной и вторичной обмоток в одноимённых фазах появился фазовый сдвиг , который можно изменять соотношением витков в частях вторичной обмотки. Если вторичная обмотка разделена на две равные части, то угол .

Рисунок 2.36 – Трёхфазный трансформатор при включении звезда-зигзаг

Трёхфазная система напряжений является симметричной, значит и магнитная система трёхфазного трансформатора должна быть симметричной, как показано на рис.2.37а. Изготовить такую магнитную систему очень сложно. Пошли по другому пути. Учитывая, что в трехфазной системе , то и сумма магнитных потоков в центральном стержне . Необходимость в центральном стержне отпадает и, если сократить ярмо фазы В, то получится плоская, широко известная трёхфазная магнитная система (рис.2.37 б и рис. 2.16 г).

Рисунок 2.37 – Магнитная система трёхфазного

трансформатора: а) симметричная, б) несимметричная

Плоская конструкция магнитной системы высоко технологична и удобна при компоновке (размещению трансформаторов), но она в принципе является несимметричной. Вследствие различия магнитных сопротивлений для разных фаз, намагничивающие токи крайних фаз А и С больше тока средней фазы В. Это приводит к нарушению фазовых углов (они отличаются от 120 градусов). Для уменьшения магнитной асимметрии сечение верхнего и нижнего ярма делают на 10…15% больше чем стержня. Но асимметрия всё равно остаётся.

В настоящее время [10] трёхфазные трансформаторы на мощности единицы киловатт и более изготавливают с симметричной магнитной системой, но такой, как показано на рис. 2.38.

Изготовление ярма сложности не представляет – его наматывают из стальной ленты c помощью оправки. Затем стержни с обмотками и оба ярма стягивают крепежом. Конструкция получилась симметричной и весьма технологичной.

Обмотки низшего напряжения часто соединяют треугольником, так как токи в них в раз меньше чем линейные, а поэтому уменьшается влияние асимметрии фазных нагрузок на первичную сеть.

Рисунок 2.38 – Симметричная магнитная система трёхфазного

трансформатора

Импульсные трансформаторы

Особенностью работы импульсных трансформаторов является то, что входной сигнал – однополярные импульсы и, в отличие от широкополосных трансформаторов, сердечник работает с постоянным подмагничиванием. Рассмотрим работу импульсного трансформатора, схема включения которого приведена на рис.2.39а, а на рис 2.39б – наиболее характерные эпюры.

Рисунок 2.39 – Схема включения (а) и эпюры для (б) импульсного

трансформатора

Если на вход поступает сигнал е(t), то индукция линейно нарастает на интервале и спадает на интервале ( ) со скоростью, определяемой постоянной времени . Перепад индукции в сердечнике равен

(2.51)

Рабочая точка на петле гистерезиса перемещается по частному циклу перемагничивания, как показано на рисунке 2.40.

Рисунок 2.40 – Перемещение рабочей точки в сердечнике импульсного

трансформатора

Напряжение на нагрузке U₂ имеет отрицательный выброс, так как в сердечнике накапливается энергия (ток намагничивания ). Ток первичной обмотки – трапецеидальный, поскольку к прямоугольному току нагрузки добавляется линейный ток намагничивания сердечника.

На интервале напряжение на входе постоянно и равно . Тогда

, (2.52)

где – потокосцепление

s – сечение магнитопровода.

Так как производная неизменна, то индукция нарастает линейно. Переходим к конечным приращениям и получаем

, (2.53)

где

Тогда выражение (2.53) переписываем в виде

. (2.54)

Выражение (2.54) показывает площадь импульса, передаваемого в нагрузку – основной параметр импульсного трансформатора и чем она больше, тем лучше. Поэтому, чем больше перепад индукции , тем больше площадь импульса.

Индуктивность первичной обмотки определяется магнитной проницаемостью

; (2.55)

Она и определяет основную индуктивность трансформатора. Поэтому на кривой намагничивания предпочтительным является участок с максимальным μ_а. Остаточная индукция В_r должна быть возможно меньшей. Из магнитных материалов лучше всего подходят тонкие ленты трансформаторных сталей и пермаллой с малым коэффициентом прямоугольности . Реже используются ферриты, поскольку они обладают низкой индукцией, хотя и малыми динамическими потерями.

Примеры задач с решениями

Пример 2.6.1

Исходные данные: Индукция в сердечнике трансформатора В_m =1,0 Тл, число витков первичной обмотки W₁ =1000, приложенное напряжение – меандр U₁ =100 В с частотой 1кГц.

Определите необходимуюплощадь сечения магнитопровода.

Решение. Воспользуемся уравнением трансформаторной ЭДС для прямоугольной формы напряжения: . Откуда находим

Пример 2.6.2

Исходные данные: Максимальная индукция в сердечнике из феррита равна В_m =0,38 Тл при напряженности Н = 25 А/м, число витков первичной обмотки W =800, поперечное сечение магнитопровода s_с=0,19 см², средняя длина магнитной силовой линии , частота приложенного напряжения (меандра) f =10 кГц,.

Определите предельные значения тока холостого хода I₁₀ , напряжения U₁ и изобразите зависимость .

Решение. Из уравнения трансформаторной ЭДС следует: . Предельное значение тока холостого хода –

.

Учитывая характер и то, что , а , зависимость намагничивающего тока трансформатора от приложенного напряжения имеет примерно квадратичный характер (рисунок 2.41).

Рисунок 2.41 – Зависимость тока намагничивания от напряжения

Пример 2.6.3

Исходные данные: Зависимость магнитного потока от времени Ф(t) показана на рисунке 2.42.

Рисунок 2.42 – Зависимость магнитного потока от времени Ф(t)

Изобразите зависимость ЭДС от времени.

Решение. Учитывая закон электромагнитной индукции , определим Е(t) раздельно по участкам. На участке [0…t₁] функция линейна и скорость (производная) постоянна: . Тогда . На участке [t₁…t₂] поэтому . На интервале [t₂…t₃], повторяется участок [0…t₁], но с другим знаком. На участке [t₃…t₄] имеет место гармонический закон изменения потока , поэтому получаем ортогональную функцию. Результирующая зависимость Е(t) изображена на рисунке 2.43.

Рисунок 2.43 – Зависимость ЭДС от времени

Пример 2.6.4

Исходные данные: ЭДС первичной обмотки трансформатора изменяется во времени, как показано на рисунке 2.44.

Рисунок 2.44 – Зависимость ЭДС от времени

Изобразите временную зависимость магнитного потока Ф(t).

Решение. Согласно закону электромагнитной индукции для конечных приращений находим: . На участке [t₀…t₁] с учётом знака ЭДС, график будет убывающим. Таким образом, кривая магнитного потока Ф(t) имеет вид, как показано на рисунке 2.45.

Рисунок 2.45 –Зависимость магнитного потока от времени

Пример 2.6.5.

Исходные данные: В однофазном трансформаторе при КПД=0,95 и коэффициенте загрузки , выходная мощность P₂ =190 Вт.

Определите потери в обмотках.

Решение. КПД трансформатора . При оптимальном коэффициенте загрузки, P_C = P_ОБ (рис.2.28). Решим относительно Р_ОБ.

Следовательно,

Пример 2.6.6

Исходные данные: В результате проведения опытакороткого замыкания трансформатора с отношением витков W₁/W₂=5, найдено Rкз = 10 Ом.

Определите сопротивления потерь первичной и вторичной обмоток.

Решение. Схема замещения трансформатора в опыте КЗ имеет вид, как показано на рисунке 2.46.

Рисунок 2.46 – Схема замещения трансформатора в опыте КЗ

Из определения коэффициента трансформации следует, что W₁/W₂= n=5.

В оптимальном трансформаторе имеет место: Следовательно, .

Пример 2.6.7

Исходные данные: В схеме замещения трансформатора (рисунок 2.47) имеет место U_1ном=141В, U_кз=10%, , .

Определите номинальный ток первичной обмотки трансформатора.

Рисунок 2.47 – Схема замещения трансформатора

Решение. Определим внутреннее сопротивление трансформатора:

, , .

В опыте КЗ на вход подаётся пониженное напряжение: . Тогда номинальный ток равен .

Пример 2.6.8

Исходные данные: Трансформатор выполнен на броневом сердечнике (рисунок 2.48). Все обмотки равны W₁=W₂=W₃. К обмотке W₁ подведено напряжение U₁=100В.

Определите напряжения U₂ и U₃._.

Рисунок 2.48 – Трансформатор

Решение. В сердечнике трансформатора основной магнитный поток делится на две части, которые пронизывают свои обмотки W₂ и W₃. Из уравнения трансформаторной ЭДС: следует, что основной магнитный поток прямо пропорционален напряжению, следовательно, U₂ =U₃ =

= 50 В.

Пример 2.6.9

Исходные данные: В стержневой однофазный трансформатор (рисунок 2.49) вводится магнитный шунт.

Определите как изменится выходное напряжение трансформатора (U₂) на холостом ходу при введении магнитного шунта.

Рисунок 2.49 – Введение магнитного шунта

Решение. Вследствие введения магнитного шунта, появляется ещё один путь для магнитного потока (см. рисунок 2.50), что приведёт к уменьшению потока Ф ₀ и уменьшению напряжения U₂ пропорционально магнитным сопротивлениям.

Рисунок 2.50 – Влияние магнитного шунта

Пример 2.6.10

Исходные данные: Потери в магнитопроводе трансформатора составляют Pст = 10 Вт; соотношение витков – W1/W2= 1; активные сопротивления обмоток r₁ = r₂ = 0,2 Ом.

Определите при каком токе нагрузки I₂ КПД трансформатора будет максимальным?

Решение. КПД трансформатора максимален, когда Р_СТ =Р_ОБ . Коэффициент трансформации n=1. Поэтому Р_СТ =I₂²*r_к, где . Тогда .

Пример 2.6.11

Исходные данные: Из опыта холостого хода трансформатора получено: U₁хx=220В; I₁xx=0,4A; P₁xx=16Вт.

Определите активное сопротивление цепи намагничивания в схеме замещения трансформатора.

Решение. В опыте холостого хода схема замещения трансформатора имеет вид (рисунок 2.51):

Рисунок 2.51 – Схема замещения трансформатора в опыте ХХ

Пренебрегая потерями и индуктивностью рассеяния, получим

.

Пример 2.6.12

Исходные данные: В трансформаторе при питании от сети с напряжением 220 В и частотой сети f=50 Гц потери в магнитопроводе составляют Р_СТ =20 Вт.

Определите потери в магнитопроводе, если этот трансформатор включить в сеть с частотой 400 Гц и напряжением 110 В (зависимость потерь от частоты и индукции принять квадратичной).

Решение. Магнитная индукция пропорциональна напряжению, а потери зависят от индукции и частоты согласно выражению (2.2) . Следовательно,

Пример 2.6.13

Исходные данные: Первичная обмотка трёхфазного трансформатора соединена звездой.

Определите восколько раз изменятся потери в магнитопроводе, если первичную обмотку трёхфазного трансформатора переключить на треугольник.

Решение. При соединении обмоток треугольником к каждой фазной обмотке трансформатора прикладывается линейное напряжение (U_л), которое больше фазного (Uф) в раз.

Рисунок 2.52 – Схема соединения обмоток звездой и треугольником

Потери в магнитопроводе зависят от индукции и частоты согласно выражению (2.2 ) .

При переходе на соединение треугольником напряжение, прикладываемое к фазной обмотке увеличивается в раз, что приведёт к увеличению магнитной индукции в раз, а потери возрастут в 3 раза.

Выпрямители и фильтры

3.1 Преобразование переменного тока в постоянный

Выпрямитель – устройство, преобразующее напряжение переменного тока в напряжение постоянного тока. Это устройство нелинейное, поскольку преобразуется спектр сигнала. На рис.3.1 показано условное изображение выпрямителя (преобразователя AC/DC), а также временные и спектральные характеристики входного (U₁) и выходного (U_d) напряжений.

Рисунок 3.1 – Условное изображение выпрямителя (AC/DC) и

характеристики входного и выходного напряжений.

Задача выпрямителя – перенести энергию сигнала U₁ с частоты сети f_c на постоянную составляющую – сигнал U_0.

Задача фильтра, подключаемого к выходу выпрямителя – выделить только постоянную составляющую U₀ (полезный эффект выпрямления ) и отфильтровать все остальные гармоники (пульсации) напряжения U_d, то есть “сгладить” напряжение. Такой фильтр называется сглаживающим и представляет собой ФНЧ с полосой пропускания << .

Если выпрямитель использует одну полуволну напряжения переменного тока, то он называется однотактным (однополупериодным), если обе полуволны – двухтактным (двухполупериодным).

Однотактное выпрямление ( преобразование) иллюстрируется схемой и эпюрами рис.3.2 Ключ К синхронно с частотой источника U₁ подключает нагрузку к источнику на время одной полуволны (T/2). Если напряжение гармоническое , то на нагрузке получается пульсирующее напряжение с частотой . За период через нагрузку и источник проходит только один импульс тока. Частота первой гармоники тока (и напряжения пульсаций на нагрузке) равна частоте сети . Постоянная составляющая тока нагрузки протекает и через источник, вызывая его постоянное подмагничивание.

Рисунок 3.2 – Однотактное выпрямление

Двухтактное выпрямление (преобразование) иллюстрируется схемой и эпюрами рис.3.3. Ключи К1 и К2 синхронно с частотой источника U₁ подключают нагрузку на время одной полуволны (Т/2) два раза за период.

Рисунок 3.3 – Двухтактное выпрямление

Поэтому за период сети через нагрузку и источник проходят два импульса тока, причем через нагрузку – в одном направлении, а через источник – в противоположных направлениях. Частота импульсов тока (напряжения U_H) в нагрузке в два раза выше частоты сети ( ). Постоянная составляющая тока нагрузки не протекает через первичный источник и не влияет на его работу. В этом состоит основное отличие двухтактного выпрямления от однотактного.

Суть выпрямления переменного тока (принцип построения выпрямительных устройств) состоит в том, что через источник ток может протекать в одном или двух направлениях, а через нагрузку – только в одном направлении.

В качестве ключей для схем выпрямления используются неуправляемые и управляемые вентили (диоды, тиристоры, биполярные и полевые транзисторы). Наиболее широко известны неуправляемые вентили – диоды.