Пьезоэлектрические преобразователи

2.7.1.Уравнение пьезоэффекта

Правильно оценить свойства пьезоэлектрических преобразователей (ПЭП), широко используемых в технике, возможно, лишь описав пьезоэффект более подробно, а для этого необходим тензорный аппарат, используемый в теории упругости и кристаллофизике. Самое краткое изложение его сути заключается в следующем [1]. Напряженное состояние, которое возникает под действием внешних сил в твердом (упругом) теле, характеризуется совокупностью девяти величин о_jk, (j,k=1,2,3), являющихся компонентами тензора механических напряжений

(2.19)

Координатные оси обозначены цифрами 1,2,3, причем первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна площадка, в которой определяется напряжение, а второй – какой оси оно параллельно. Составляющие с одинаковыми обоими индексами изображают нормальные, т.е. растягивающие или сжимающие напряжения, а остальные являются касательными.

Аналогично напряжениям с помощью тензора такого же вида описываются компоненты деформации упругого тела Е_jk.

В отсутствие момента сил вследствие симметрии o_ik=o_ki, E_ik=E_ki, так что число независимых компонент напряжения или деформации сокращается до шести.

Электрическое состояние элементарного куба из пьезоэлектрика под действием внешних сил может быть охарактеризовано несколькими формами уравнений, связывающих причину и следствие [20,21]. Воспользуемся наиболее употребительными из них, определяющей зависимостью составляющих вектора поляризации Р_i, i=1,2,3, от механических напряжений о_jk:

(2.20)

Значения этих составляющих численно равны поверхностной плотности связанных зарядов на соответствующих гранях. Знак суммирования обычно опускают, подразумевая суммирование по двум одинаковым индексам.

Коэффициенты d_ijk, имеющие размерность Кл/Н, называются пьезомодулями и являются компонентами тензора прямого пьезоэффекта. Видно, что наличие пьезомодуля d_ijk ведет к образованию i-ой составляющей вектора поляризации под действием составляющей напряжения с индексами jk. Пьезомодули с одинаковыми последними индексами описывают эффект при сжатии (или растяжении) граней куба, на которых определяется поляризация (продольный эффект). Если последние индексы неодинаковы, но один из них совпадает с единицей, сила сжатия направлена вдоль граней и эффект называется поперечным. Наконец, если все индексы различны, то пьезомодуль описывает эффект при сдвиге и может быть назван сдвиговым. Направления и нумерация координатных осей выбираются в соответствии с кристаллографической структурой пьезоэлектрика и фиксированы для каждого конкретного вещества. Так как уравнения (2.20) включают 3×9 членов, картина пьезоэффекта была бы очень сложной, если бы не симметрия явления. Как отмечено выше, o_jk=o_kj, а это позволяет перейти от полной формы записи составляющих напряжения к сокращенной (матричной) форме по схеме

(2.21)

Возрастание номера идет по стрелкам, причем о₄=о₂₃+о₃₂; о₅=о₁₃+о₃₁; о₆=о₂₁+о₁₂.

Теперь можно обозначить пьезомодули через d_ij, где i=1,2,…,6, и таблица пьезомодулей сокращается до 18 членов. Но действие симметрии этим не ограничивается: при более детальном рассмотрении оказывается, что часть пьезомодулей должна быть равна нулю, другие равны между собой по абсолютной величине, а третьи связаны простыми соотношениями. В результате число пьезомодулей сокращается настолько, что в простейшем случае в таблице остается два члена, одинаковых по значению, но с разными знаками.

Таблицы пьезомодулей веществ, имеющих практическое значение, содержат чаще всего пять не равных нулю, причем независимыми являются два-три, редко четыре из них. Для первого исследованного и до сих пор широко используемого пьеэоэлектрика – кристаллического кварца – таблица имеет вид

(2.22)

Пьезомодули большинства употребительных веществ образуют таблицу вида

(2.23)

Из таблицы следует, что пьезоэффект в этих материалах существует не при любых способах нагружения. Например, у кварца поляризация возникает лишь от сдвиговых напряжений о₅ или о₆, а в направлении 3 эффекта не будет вообще. Во втором же случае на сторонах, параллельных оси 3, поляризация будет наблюдаться только от одного из сдвиговых напряжений: на сторонах, перпендикулярных к ней – от сжимающих (растягивающих) напряжений любого направления. Если пьезоэлектрик подвергается всестороннему сжатию (в газе или жидкости, а также при равномерном изменении температуры), сжимающие напряжения одинаковы, а сдвиговые отсутствуют. Подсчет показывает (табл. 2.7), что поляризация кварца при этом не возникает, а для веществ с таблицей пьезомодулей второго вида эффект налицо [22].

Следует помнить, что пьезомодуль со вторым индексом 4,5 или 6 характеризует пьезоэффект при воздействии двух равных касательных на-

Таблица 2.7

Значения пьезомодулей в пКл/Н, относительной диэлектрической проницаемости в /_° и температуры Кюри Т_с в °С для некоторых пьезоэлектриков, имеющих практическое применение

Материал	Пьезомодули с индексами	/°	Тс, °С
Монокристаллы
Кварц	2,31	0,67	–	–	–	–	4,6
Сульфид кадмия	–	–	–14	–	–5,2	10,3	9,5	–
Окись цинка	–	–	–13,9	–	–5,2	10,3	8,8	–
Ниобат лития	–	–			1,3
Керамика
ЦТС-83Г	–	–		–	–185
ПКР-7М	–	–		–	–330
ТВ-2	–	–	10,5	–1	18,5			–
ТВ-3	–	–	–	–	–			–

пряжений соответственно определению о₄, о₅, о₆. Реальные конструктивные формы пьезоэлектрических преобразователей таковы, что действует только одно из этих напряжений (или же лишь оно производит полезный эффект). Это необходимо иметь в виду при расчете преобразователей с использованием деформации сдвига.

Используя тот же математический аппарат, обратный пьезоэффект – деформацию пьезоэлектрика в электрическом поле – можно описать системой уравнений

(2.24)

где j – компоненты относительной деформации, задаваемые такой же матрицей, что и напряжения o_j; Э_i – компоненты напряженности приложенного электрического поля.

Пьезомодули d_ij теперь составляют таблицу из 6×3 членов, образуемую из использовавшейся при описании прямого эффекта заменой строк на столбцы и обратно

Из (2.24) видно, что d_ij должны иметь размерность в м/В. Легко убедиться, что эта размерность совпадает с прежней.

2.7.2. Уравнения ПЭП

После того, как выбран материал пьезоэлемента, определена его ориентация относительно направления воздействия, которое будет преобразовываться и может быть названо основным, свойства ПЭП можно рассматривать без учета тензорного характера явления, т.е. не вводя индексов направления. Но прежде необходимо сказать, что вследствие обратимости пьезоэффекта электрическое состояние ПЭП должно влиять на его механические параметры, и наоборот. В самом деле, если свободный ПЭП деформируется внешней силой, возникший заряд создает разность потенциалов между электродами, которая вследствие обратного эффекта вызывает деформацию, направленную противоположно первичной согласно закону сохранения энергии. Раз результирующая деформация стала меньше, это эквивалентно увеличению жесткости пьезоэлемента. Если же элементу сообщается заряд от внешнего источника, то аналогичный анализ приводит к выводу, что разность потенциалов между электродами уменьшается, т.е. емкость возросла. Если же элемент в первом случае замкнут, а во втором не может деформироваться, то его параметры останутся такими же, как при отсутствии пьезоэффекта. Таким образом, модуль упругости пьезоэлектрического материала имеет два значения в зависимости от электрического состояния последнего. Существуют и два значения диэлектрической проницаемости – в отсутствие механических напряжений и в отсутствие деформаций.

Если обозначить Х – относительное перемещение граней элемента; F – сила, действующая на него; q – свободный заряд электродов; U – разность потенциалов электродов, то можно ввести следующие обозначения параметров ПЭП: К_q – жесткость разомкнутого ПЭП; К_u – жесткость замкнутого ПЭП; С_F – емкость свободного ПЭП; С_х – емкость зажатого ПЭП.

В соответствии с изложенным К_q>К_u; С_F>C_х. Более подробный анализ показывает, что

(2.25)

где К выражается через параметры материала и носит название коэффициента электромеханической связи. Так как жесткость не может стать отрицательной, К<1.

Следует помнить, что С_х – емкость ПЭП, деформация которого полностью определяется внешним воздействием; сопротивляться ей в он не в состоянии. Поэтому в зажатом состоянии х задается принудительно и не обязательно равен нулю.

Объединяя вышеприведенные уравнения прямого и обратного пьезоэффекта с общеизвестными формулами электростатики и механики упругого тела, получим систему уравнений ПЭП

(2.26)

Отсюда

(2.27)

Не учитывая знака, получаем:

– для разомкнутого ПЭП

(2.28)

– для зажатого ПЭП

(2.29)

Выражения (2.28) и (2.29) описывают прямой и обратный эффекты в условиях, отличных от ранее принятых. Если используется продольный эффект, знаменатель в них равен С_х, а весь коэффициент пропорциональности принимает вид К²/d(1-К²). Наличие d в знаменателе не приводит к противоречию, поскольку К пропорционально d [23].

Возникает естественный вопрос – чем отличается электрическое состояние ПЭП – замкнутый или разомкнутый – с точки зрения пользователя. Ответ в том, что коэффициенты преобразователя по-разному зависят от внешних условий, в первую очередь от температуры. Например, пьезомодуль в каком-то интервале температур может быть почти постоянным, а емкость изменяется достаточно сильно; в другом случае они оба изменяются, но это происходит согласно. Тогда в первом случае целесообразно использовать режим короткого замыкания, а во втором – режим холостого хода. Есть и другие обстоятельства, о которых будет сказано ниже.

Энергетика пьезоэлектрического преобразования не имеет серьезного значения при использовании ПЭП для измерения, хотя, безусловно, чем большая доля механической энергии переходит в электрическую форму, тем выше чувствительность к измеряемой величине. Во-первых, в большинстве случаев измерительный ПЭП находится в дорезонансном режиме, а в нем коэффициент преобразования энергии намного меньше теоретического, определяемого параметра К². Во-вторых, при измерении гораздо важнее неискаженное преобразования информации, что в реальных условиях не тождественно высокой эффективности энергетического преобразования.

Коэффициент преобразования энергии существенен при использовании ПЭП в качестве генератора механических колебаний. В резонансном режиме, в котором они в основном и работают, он может достигать нескольких десятков процентов.

2.7.3. Электрические схемы подключения ПЭП

Чтобы использовать сигнал, создаваемый ПЭП, необходимо подключить к нему устройство, являющееся в первую очередь усилителем сигнала. Для преобразователя это нагрузка, которую можно считать параллельно соединенными сопротивлением R_Н и емкостью С_Н. Первое образовано тоже соединенными параллельно объемным и поверхностным сопротивлением пьезоэлемента, сопротивлением утечки линии, соединяющей ПЭП и усилитель, и входным сопротивлением последнего. Емкость нагрузки включает распределенную емкость линии и входную емкость усилителя.

Эквивалентную схему ПЭП с нагрузкой как источника электрической энергии можно представить в двух вариантах – с генератором напряжения или генератором заряда (рис. 2.26). Хотя первый вариант более естествен, если ПЭП находиться в режиме холостого хода, а второй удобнее для режима короткого замыкания, оба они совершенно эквивалентны при чисто электрическом анализе. Напомним, что собственный импеданс генератора напряжения считается нулевым, т.е. его емкость бесконечно велика, а емкость генератора заряда пренебрежимо мала. Емкость С на схемах равна С_F или С_х в зависимости от конкретных условий.

Пренебрегая временно влиянием R_Н, т.е. полагая его бесконечно большим видим, что в схеме рис. 2.26, а U_Н=UС/(С+С_Н) и режим холостого хода будет реализован при С_Н << С. Те же выводы следуют из анализа схемы рис. 2.26, б.

Обеспечить выполнение неравенства С_Н << С непросто. Хотя входная емкость усилителя может быть уменьшена до очень малого значения, остается емкость соединительной линии, снизить которую можно, уменьшив либо погонную емкость, либо длину линии, что наталкивается на подчас непреодолимые трудности. Напротив, увеличить С_Н достаточно просто за счет большой входной емкости усилителя. Дополнительным преимуществом этого режима будет практическая независимость уровня сигнала от длины кабельной линии. Поэтому режим короткого замыкания ПЭП в настоящее время наиболее употребителен [75].

Зависимость сигнала ПЭП от частоты. Если теперь учесть конечное значение R_н, то оказывается, что форма U_н в общем случае не повторяет форму U или Q. В случае синусоидальной формы U искажения амплитуды, определяемые по известным формулам для резистивно-емкостной цепочки, растут с уменьшением частоты. Взаимосвязь степени уменьшения амплитуды, постоянной времени τ=R_н(С+С_н) и частоты f иллюстрирует табл. 2.8, где f выражена в герцах, R_н – в мегаоммах, а емкость – в нанофарадах. Если f имеет вид апериодического процесса длительностью Т, отличие форм будет тем заметнее, чем меньше τ/Т.

Таблица 2.8

Завал, %	0,5	1,0	5,0		12,6 (1 дБ)
fн	1590 τ	1130 τ	482 τ	328 τ	286 τ	257 τ	212 τ	159 τ

Таким образом, для неискаженного воспроизведения формы U необходимо, чтобы R_н >> 1/f_н(С+С_н), где f_н – нижняя частота в спектре U. На увеличение R_н существуют ограничения, обусловленные неконтролируемыми утечками между электродами и проводами, температурной нестабильностью и некоторыми другими факторами. Предельно допустимыми можно считать значение порядка 10² МОм, но для большей надежности лучше снизить его на порядок. Отсюда можно определить нижнюю границу частотного диапазона ПЭП. Но если в режиме холостого хода R_н должно быть много больше (f_нС)^-1, то в режиме короткого замыкания оно может быть в С_н/С раз меньше это величины. Это еще один довод в пользу режима короткого замыкания.

Изменение коэффициентов преобразования ПЭП происходит и на высших частотах. Здесь оно обусловлено механическим резонансом преобразователя, а точнее – резонансными явлениями в системе, включающей наряду с ПЭП и соприкасающиеся с ним элементы конструкции. Уточнение сделано потому, что резонансная частота этой системы почти всегда значительно ниже, чем резонансная частота самого ПЭП. Резонансные явления приводят к тому, что начинает изменяться жесткость К, а следовательно, и емкость ПЭП в соответствии с (2.26). В результате совместного действия обеих причин коэффициент преобразования резко возрастает в резонансной области, далее уменьшается и затем становится, вообще говоря, совершенно непостоянным из-за множества резонансов в системе. Поэтому основной режим функционирования ПЭП – дорезонансный, хотя в отдельных случаях они работают в резонансной области, которую можно сделать более или менее широкой конструктивными мерами. В той части резонансной области, где подъем только начинается (а это и есть рабочий диапазон частот ПЭП), амплитудно-частотная характеристика любой системы возрастает с частотой, как (1 – f ²/f₀²)^–1, где f₀ – частота резонанса. Обычно считают допустимыми подъем на 10…12%, что выполняется при f<f₀/3. Такова верхняя граница частотного диапазона ПЭП, которую, правда, можно несколько повысить введением частотной коррекции сигнала в усилители.

Динамический диапазон ПЭП является, по крайней мере, одним из самых широких среди всех преобразователей и может превосходить 120 дБ (миллион раз). Уровень собственных шумов, ограничивающий его снизу, в обычных условиях эквивалентен двум-трем десяткам микровольт, а для монокристаллических ПЭП при низких температурах его можно вообще не учитывать. С противоположной стороны границей динамического диапазона будет уровень механического воздействия на ПЭП, при котором начинает нарушаться пропорциональность причины и следствия. Можно считать, что этого еще не наблюдается при напряжении, меньшем модуля упругости примерно на три порядка, т.е. составляющем около 10⁸ Н/м². Правда, в реальной конструкции преобразователя диапазон может ограничиваться не пьезоэлектриком, а каким-то другим фактором, и поэтому быть несколько уже.

2.7.4. Конструкции ПЭП

Конструкция ПЭП во многом определяется тем, в каком качестве он будет применяться. Проще всего ПЭП, воспринимающий одномерную деформацию. Так как он должен оказывать минимальное противодействие ей, ПЭП имеет вид плоской пластинки минимальной толщины и малой ширины, т.е. полоски, закрепляемой на объекте тем или иным способом. Так как электроды параллельны направлению деформации, в керамическом ПЭП должен применяться пьезомодуль d₃₁. Монокристаллический же ПЭП может быть вырезан так, что при его растяжении работает один из сдвиговых пьезомодулей.

Пьезоэлектрический преобразователь, реагирующий на силу, чаще всего выполняется в форме круглой или прямоугольной пластины (рис. 2.27). Если сила действует на поверхности электродов перпендикулярно к ним, то применяется пьезомодуль d₃₃, а если сила вызывает изгиб пластины, то – пьезомодуль d₃₁. Легко видеть, что изгиб одиночной пластины вызывает в ней деформации, симметричные относительно нейтральной (срединной) плоскости, но разного знака, так что пьезоэффект проявиться не должен. Поэтому изгибной ПЭП состоит из двух пьезоэлементов, скрепленных между собой и расположенных так, что электрические оси направлены в одну сторону (рис. 2.28). Тогда при изгибе деформация каждого пьезоэлемента будет только растяжением или только сжатием, причем знаки зарядов на внешних электродах будут совпадать, так что электроды можно соединить между собой и снимать сигнал относительно общего электрода. Такой ПЭП называют биморфным или просто
биморфом [1]. Если же сила при работе направлена в плоскости пластины, вызывая ее сдвиг, работает пьезомодуль d₁₅ или комбинация других сдвиговых пьезомодулей. Другим вариантом конструкции ПЭП с использованием сдвига является кольцевой пьезоэлемент (рис. 2.29) с электродами на цилиндрических поверхностях и электрической осью, направленной вдоль геометрической оси. Естественно, что такой элемент может быть выполнен лишь из керамики.

Отдельную группу керамических ПЭП составляют многослойные элементы, созданные с целью увеличения помехоустойчивости в реальных условиях. Если дополнить эквивалентную схему на рис. 2.30 источником электрических помех, наводимых через паразитную емкость С_п, то получим схему на рис. 2.30, а, из которой видно, что напряжение помехи на нагрузке ПЭП равно U_пС_п/(С+С_н+С_п). Так как напряжение ПЭП передается в нагрузку ослабленным в (С+С_н+С_п)/С раз, то отношение сигнала к помехе равно UС/С_пU_п. легко видеть, что оно будет таким же при использовании заряда. Следовательно, увеличение емкости ПЭП очень выгодно. Особенно это важно при использовании высокотемпературных материалов с малой проницаемостью. Если вместо одного пьезоэлемента толщиной h установить n элементов толщиной h/n, соединенных электрически параллельно (рис. 2.31) то емкость этого составного ПЭП увеличиться в n² раз, а еще появиться возможность во столько же раз уменьшить сопротивление нагрузки, что увеличит устойчивость к воздействию паров жидкостей. Конечно, простая сборка тонких пластин в пакет не даст заметного эффекта и не технологична. Многослойные ПЭП изготавливаются по особой технологии, так что все слои пьезокерамики спекаются вместе с проводящими слоями и соединениями в монолит. По такой технологии изготавливаются уникальные малогабаритные ПЭП с емкостью около 100 нФ из керамики ЦТС и емкостью около 1 нФ из высокотемпературной керамики (рис. 2.32).

2.7.5 Повышение помехоустойчивости ПЭП

При эксплуатации ПЭП наибольшие неприятности доставляют электростатические наводки, в основном сетевой и кратных ей частот. Наводка действует через паразитные емкости, образующиеся, главным образом, в соединительной линии. Хотя она всегда экранируется, проницаемость экранирующей оплетки довольно велика, так что напряжение наводки на нагрузке может быть значительным. Для его снижения соединительную линию выполняют двухпроводным кабелем с общей оплеткой. В этом случае эквивалентная схема имеет вид, показанный на рис. 2.30, так как помеха наводиться на оба провода. По отношению к источнику помех схема представляет собой мост (рис. 2.30, в), из чего очевидно условие взаимной компенсации наводок С_п1С₂=С_п2С₁. Хотя оно на практике и не выполняется, наводка в этой схеме подключения ПЭП, которую можно назвать изолированной, ослабляется на порядок и более по сравнению с заземленной.

2.7.6. Оценка чувствительности ПЭП

Возьмем материал, пьезомодуль которого можно считать средним по современным меркам и равным 100 пКл/Н. Пусть пьезоэлемент из него имеет емкость 1 нФ (это значение можно считать типичным) и подключен к электронному усилителю, собственный шум которого находиться на отнюдь не рекордном уровне 10^-2 мВ. в этих условиях порог чувствительности по силе составит 10^-4 Н, т.е. 0,102×10^-4 кг∙с в привычных единицах. Если же пьезоэлемент воспринимает деформацию и его поперечное сечение равно 10×1 мм ², то порог чувствительности будет равен 10^-10 единиц относительной деформации. В особых же условиях физического эксперимента был достигнут порог чувствительности 10^-16. Таковы принципиальные возможности пьезоэлектрических преобразователей.

2.7.7. Пьезоэлектрический преобразователь с использованием
обратного эффекта

Обычно целью здесь является получение механических колебаний, но так как при подключении к источнику постоянного напряжения пьезоэлемент все время подзаряжается, его деформация сохраняется постоянной и он может быть задатчиком перемещения. Проблемой здесь является увеличение достигаемого перемещения, поскольку для самых активных материалов относительная деформация не превосходит 10^-4 при напряженности поля 100 В/мм. Сохраняя напряженность поля на одном уровне, можно увеличить перемещение в N раз, собрав в пакет N пьезоэлементов, соединенных электрически параллельно. Другим способом является использование биморфного преобразователя, в котором перемещение свободного конца пропорционально длине биморфа, умноженной на Vd₃₁U/h, где U – приложенное напряжение; h – толщина биморфа.

Если же ПЭП нужен для создания механических колебаний на дискретных частотах, то радикальным средством является использование резонанса преобразователя. Так как при умеренных габаритах последнего низшая резонансная частота колебаний по толщине порядка 100 кГц, для ее уменьшения ПЭП можно жестко соединить со стержнем из материала с малыми потерями. Тогда резонансная частота будет определяться, главным образом, длиной стержня и может быть снижена до нескольких килогерц. Амплитуда колебаний такой системы достигает 0,2 мм.