Теоретические основы эксперимента

Основные понятия

Резонансом называют явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний по сравнению с вынуждающими при совпадении частоты вынуждающих колебаний с собственной частотой цепи. Резонанс нашел широкое применение во многих областях техники, особенно в измерительной. Однако очень часто резонанс приводит к нежелательным явлениям и становится вредным. Например, резонанс элементов летательного аппарата, его силовой установки вызывает усталостные разрушения материалов и преждевременный выход из строя изделий авиационной техники.

Резонанс может возникнуть в устройствах, содержащих как минимум два разнородных накопителя энергии: в электрических цепях - емкостный и индуктивный, в механических устройствах - инерционный (массовый) и энергия сжатой пружины, а в общем случае - накопители кинетической и потенциальной энергии.

Резонанс напряжений может возникнуть в цепи, содержащей последовательно соединённые конденсатор и катушку индуктивности (рис. 4.1). В этом случае напряжение на конденсаторе или на катушке (вынужденное колебание) будет больше питающего напряжения (вынуждающее напряжение) - отсюда называется резонанс напряжений

Рис.4.1.

При резонансе энергия, запасаемая конденсатором, равна энергии, запасаемой в индуктивности, происходит обмен этими энергиями, а источник вынуждающих колебаний только компенсирует потери энергии в активных элементах цепи.

(4.1)

где - действующее значение напряжения на конденсаторе;

- действующее значение тока в контуре;

- емкость конденсатора при резонансе;

- индуктивность катушки при резонансе.

Индекс «0» использован для обозначения величин при резонансе. Равенство запасаемых индуктивностью и конденсатором энергий может быть достигнуто только при равенстве их мгновенных мощностей

(4.2)

Выражения (4.1) и (4.2) представляют разные формы записи энергетического условия резонанса.

Поскольку , то выражение (4.2) можно представить в следующем виде:

если, учитывая, что через конденсатор и катушку течет один и тот же ток, и, переходя к действующим значениям напряжений, получаем электрическое условие резонанса

(4.3)

Замена в (4.3) и через позволяет представить условие резонанса через параметры цепи, индуктивное и емкостное сопротивления - параметрическое условие резонанса

(4.4)

а, учитывая, что и получаем

или

(4.5)

Выражение (4.5) показывает, что резонансную частоту можно сделать равной частоте возбуждающих колебаний , изменяя величину или . На практике чаще используют изменение . Кроме того, резонанса можно достичь изменением частоты вынуждающих колебаний.

Величина , показывающая во сколько раз вынужденные колебания при резонансе превышают вынуждающие, носит название добротности, (для электрических цепей, представляющих собой контур говорят «добротность контура»)

или

Реактивное сопротивление индуктивности или емкости при резонансе носит название волнового сопротивления

;

,

откуда выражение добротности:

.

Основные уравнения

Реальная цепь, в которой возникает резонанс, содержит кроме катушки индуктивности и конденсатора активное сопротивление (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

На основании 2-го закона Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 4.2 запишем:

(4.7)

а учитывая, что

, , ,

имеем:

(4.8)

Первые два члена выражения (4.8) представляют собой падения напряжений, совпадающие по фазе с током (падения напряжений на активных сопротивлениях)

(4.9)

где - активное сопротивление всей цепи, два других члена - напряжения, отличающихся по фазе на от тока - реактивную составляющую напряжения

(4.10)

где - реактивное сопротивление всей цепи. Подставим (4.9) и (4.10) в (4.8), получим

или переходя к мощностям

(4.11)

а с учётом (4.8), (4.9), (4.10)

(4.12)

Выражения, полученные ранее, позволяют записать значения , , , , , через питающее напряжение и параметры цепи , , , .

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

При резонансе (т. е. ) выражения для электрического состояния имеют следующий вид:

При резонансе цепь становится чисто активной ( , ), полное сопротивление цепи имеет минимальное значение, а ток максимальное. Напряжения на индуктивности и емкости равны и в добротность раз больше питающего (возбуждающего напряжения) напряжения. Активная мощность имеет максимальное значение ( ).

Наступление резонанса в цепи нельзя определить с помощью условий резонанса (выражениями (4.2), (4.3), (4.4)) поскольку одна из величин этих выражений не измеряется, поэтому пользуются косвенными - максимум тока или активной мощности. Наиболее точный способ определения наличия резонанса в цепи - достижение фазового сдвига между напряжениями питания и током цепи равного 0. Однако он используется реже, поскольку необходим достаточно сложный прибор - фазометр.

Основные характеристики

Зависимость параметров электрического состояния цепи , , , от параметров элементов схемы , или частоты называют характеристиками.

Характеристики позволяют наглядно представить зависимость одного параметра от другого. Зависимости , , от частоты называют частотными характеристиками, а от или - регулировочными. В настоящей работе рассматривается изменение , , , в зависимости от величины емкости конденсатора (или емкостного сопротивления ).

1.3.1. Характеристики , и

Величины , , обратно пропорциональны (см. (4.13), (4.14), (4.15), (4.16)) и, следовательно, имеют один и тот же характер.

При ( ) цепь обладает индуктивно-активным сопротивлением

;

ток, напряжение на индуктивности, на активном сопротивлении и имеют определенное значение.

По мере роста , реактивное сопротивление цепи уменьшается, что вызывает рост указанных величин (рис. 4.3), и достигаются максимума при min , т. е. при резонансе ( ).

Дальнейшее увеличение ведет снова к росту и к уменьшению тока, напряжения , и . Поскольку , цепь становится активно-емкостной, (фазовый сдвиг меняет знак).

При , , и уменьшаются до 0.

1.3.2. Зависимость активной мощности от емкостного сопротивления.

- эта зависимость (4.16) обратно пропорциональна квадрату . Она также имеет максимум при резонансе и стремится к 0 при .

1.3.3. Зависимость напряжения на конденсаторе от

Поскольку , то при напряжение на конденсаторе равно нулю. При увеличении растёт величина напряжения и при резонансе (рис. 4.3). Максимума достигает при , а затем с ростом уменьшается и при достигает напряжения питания.

Рис. 4.3. Регулировочные характеристики

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма строится по уравнениям для рассматриваемой цепи. В данном случае одноконтурная (последовательная) цепь описывается уравнением (4.7).

(4.7)

Построение диаграммы начинают с вектора общего для всей (или участка) цепи - в данном случае ток (вектор 1). Вектор питающего напряжения получают как сумму остальных векторов. В результате эксперимента известна величина всех напряжений. Однако, направление известно только для векторов и . Вектор (падение напряжения на активном сопротивлении) совпадает с вектором тока, а вектор отстает оттока (ток опережает напряжение) на . Известно, что вектор может опережать ток в пределах .

Рис. 4.4. Векторная диаграмма при резонансе

Определить направление векторов и можно методом засечек. Для этого из точки 0 параллельно строится вектор , из его конца перпендикулярно к строится вектор (рис. 4.4.). Из точки А радиусом делается высечка, а из точки 0 радиусом - другая. Пересечение их даёт точку В. Раскладывая вектор на активные и реактивные составляющие можно получить и (вектора 4 и 5) и угол . На рис. 4.4 рассматривается векторная диаграмма для случая резонанса. Поэтому - угол между током и питающим напряжением - равен 0.

Метод засечек применим, когда векторы соизмеримы, в противном случае возможна большая ошибка в определении , , и .

В этом случае аналитически рассчитываются и (рис. 4.4), строятся из конца вектора параллельно току, а из конца вектора перпендикулярно току строится вектор . Получаем точку В. Вектор 0В является вектором сетевого напряжения.