Производственные функции (обзор)

Материал представлен в лекции по теме «Производственные функции». В данном пункте дадим краткий обзор.

Производством называется процесс изготовления какой-либо продукции. В процессе производства производственными единицами (фирмами, предприятиями, отраслями, странами) затрачиваются определенные ресурсы (факторы производства) – труд, капитал, сырье, энергия, земля.

Пусть в производстве используется n видов ресурсов в объемах , а Q – количество выпускаемой продукции. Тогда с формальной точки зрения производство можно рассматривать как некоторую функцию – производственную функцию Q( ), задающую соответствие между вектором ресурсов (производственным планом) х=( ) и объемом выпускаемой продукции Q.

Наиболее часто встречающиеся типы производственных функций (далее –ПФ):

1) линейная ПФ:

;

2) ПФ Леонтьева (функция затраты – выпуск):

;

3) ПФ Кобба-Дугласа:

.

Наибольшее распространение получили так называемые двухфакторные производственные функции, т.е. функции вида Q(K, L), где К – величина затраченного капитала (основных фондов), а L – величина затраченного труда:

.

Эта мультипликативная функция применялась американскими исследователями при анализе развития экономики США в 30-х годах 20 в.

Экономико-математические характеристики ПФ:

1) средняя производительность i-го ресурса

,

в частности

– средняя производительность труда,

– средняя фондоотдача;

2) предельная производительность i-го ресурса

,

в частности

–предельная производительность труда,

– предельная фондоотдача;

3) коэффициент эластичности по i-му ресурсу

;

4) коэффициент полной эластичности функции

;

5) предельная норма замещения i-го ресурса j-м ресурсом

;

эта величина, как правило, отрицательна, т.е. при фиксированном объеме производства увеличению одного из взаимозаменяемых ресурсов соответствует уменьшение другого;

6) фондовооруженность

.

Поверхность уровня ПФ Q(x)=C называется изоквантой. Роль и свойства изоквант в теории производства аналогичны роли и свойствам кривых безразличия в теории потребления.

Особое значение в теории ПФ имеет неоклассическая ПФ [2, стр. 250].

Оптимизационная задача производителя

Далее будем предполагать ПФ неоклассической и строго вогнутой.

Пусть р – цена единицы выпускаемой продукции, а – вектор цен на ресурсы. Тогда

– функция дохода;

– функция затрат (издержек);

– функция прибыли.

Производитель стремится максимизировать прибыль, т.е. решает следующую оптимизационную задачу, называемую задачей производителя (фирмы):

(1)

при условии

. (2)

Вектор ресурсов , являющийся решением задачи производителя, называется оптимальным производственным планом, а максимальное значение производственной функции

– оптимальным выпуском.

В силу строгой вогнутости функции прибыли задача производителя имеет единственное решение, определяемое из условия равенства нулю частных производных функции прибыли [2, стр. 252]:

(3)

Поверхность уровня функции затрат называется изокостой. Геометрическая трактовка соотношений (3) означает, что в точке изокванта максимального уровня касается некоторой изокосты.

С экономической точки зрения равенства (3) говорят о том, что производителю выгодно увеличивать ресурс до тех пор, пока предельный доход, являющийся убывающей функцией, не станет равен цене ресурса. После достижения равенства производителю нет смысла увеличивать этот ресурс, т.к. полученный им дополнительный доход будет меньше затрат на ресурс и, следовательно, увеличение ресурса приведет к уменьшению прибыли.

Пример.Найти оптимальный производственный план (K, L) и оптимальный выпуск Q, если , р=10, цена капитала (рентная плата) R=0,5 и заработная плата W=4.

Решение: находи частные производные – предельные производительности капитала и труда соответственно:

Подставляя данные в (3), получаем

Решая полученную систему, находим

Производственный план х=( ) называется рентабельным, если функция прибыли П(х) положительна. Для того, чтобы оптимальный план производства был рентабельным, необходимо и достаточно, чтобы полная эластичность ПФ на нем была меньше 1 [2, стр. 254].

Изменение цены на продукцию и цен на ресурсы приводят к изменению оптимального производственного плана и оптимального выпуска , определяя тем самым функции спроса на i-й ресурс

и функцию предложения

.

Функции спроса и предложения обладают определенными свойствами, доказательства которых реализуется на основе дифференциального исчисления. Вот некоторые из них:

1. При росте цены на i-й ресурс спрос на него уменьшается, т.е.

.

2. Повышение цены на продукцию приводит к увеличению предложения, т.е.

.

3. Ресурс называется ценным, если при увеличении цены на продукцию спрос на него увеличивается, т.е.

,

и малоценным – в противном случае. Существует хотя бы один ценный ресурс.

4. При росте цены на ценный ресурс, спрос на продукцию падает.

5. При росте цены на продукцию спрос на малоценный ресурс не возрастает.

В теории производства также рассматриваются взаимнодвойственные задачи [2].