Эффективность обслуживания

4.1. Общие сведения.Ожидание того или иного вида обслуживания (обед в ресторане, ожидание транспорта, очереди к кассам в магазинах, почтовых отделениях, оформление документов и т.д.) является неотъемлемой частью нашей повседневной жизни. К сожалению, феномен ожидания нельзя исключить полностью, и это раздражает нас, поскольку никто не хочет впустую тратить свое драгоценное время. Вопросами эффективности (успешности) обслуживания занимается теория систем массового обслуживания, или ее иногда называют теорией очередей.

Изучение очередей в системах массового обслуживания позволяет определить характеристики эффективности обслуживающей системы, среди которых наиболее значимыми являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслуживания.

Под обслуживающей системой можно понимать предоставление услуг телефонной, почтовой связи, магазины, буфеты, парикмахерские, билетные кассы, справочные бюро, пункты обмена валюты, ремонтные мастерские, автозаправочные станции, станции технического обслуживания, погрузочно-разгрузочные платформы, транспортные услуги и т. д. и т. п.

Функционирование подобных предприятий, учреждений, организаций, а также отдельных устройств или даже отдельных лиц, выполняющих те или иные однотипные операции, можно представить как функционирование некоторой системы, которую и называют системой массового обслуживания (СМО).

На начальное развитие теории СМО оказали особое влияние труды датского ученого А. К. Эрланга (1878 – 1929) в области проектирования и эксплуатации телефонных станций. Поэтому основные понятия и определения сохраняются из практики обеспечения телефонной связи независимо от фактического назначения конкретной СМО.

В самом общем виде каждая СМО состоит из некоторого количества обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (см. рис.4.1).

Каналами обслуживания можно назвать лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров; различные устройства, приборы, линии связи, подъездные пути, приемные пункты, ремонтные бригады и т. п. Каналы обслуживают некоторый поток заявок (требований), поступающих на вход СМО в случайные моменты времени.

В том, что поток заявок неоднороден, т. е. заявки действительно поступают в случайные моменты времени, легко убедиться на любом примере. Допустим, образование очереди при обслуживании покупателей в магазине или клиентов в парикмахерской происходит случайным образом. Можно лишь, какое-то время, понаблюдав за процессом, установить некоторую среднюю величину интенсивности l поступления заявок в единицу времени.

Обслуживание заявок в СМО происходит тоже за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. Одному покупателю нужен штучный, другому – развесной товар, третьему – несколько товаров и т. д. Время обслуживания разное, однако тоже можно установить некоторую среднюю величину m, называемую интенсивностью обслуживания. Обслуженные заявки образуют выходной поток обслуженных заявок.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания порождает в СМО случайный процесс и приводит к неравномерной загрузке системы – перегрузке с образованием очереди заявок или недогрузке – с простаиванием ее каналов.

Если бы заявки поступали регулярно, через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки тоже имело строго определенную длительность, то расчет пропускной способности системы не представлял бы никакой трудности. На практике же обычно моменты поступления заявок и длительности их обслуживания – величины случайные. И это требует построения и анализа соответствующей экономико-математической модели.

Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. В соответствие с этим предметом теории систем массового обслуживания, или целью моделирования различных ситуаций в СМО является установление зависимости между [6, 7]:

· характером потока заявок;

· производительностью отдельного канала;

· числом каналов;

· успешностью (эффективностью) обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания – в зависимости от условий задачи и целей исследования – могут применяться различные величины и функции [6], например:

· вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

· вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

· среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом;

· среднее время ожидания в очереди;

· средняя длина очереди и др.

Каждая из этих характеристик описывает, с той или другой стороны, степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, иными словами – ее пропускную способность.

Под пропускной способностью обычно понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Это, так называемая, абсолютная пропускная способность системы. Наряду с нею часто используют относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.

Различают несколько видов СМО. Прежде всего, по количеству каналов обслуживания бывают:

· одноканальные и

· многоканальные СМО.

По характеру (или механизму) обслуживания подразделяют [7]:

· СМО с отказами, если поступающие заявки (требования) в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и покидают систему необслуженными, т. е. утрачиваются. Примерами таких СМО являются линии телефонной связи, места для сидения пассажиров в маршрутном такси, автобусе, трамвае и т. д.

· СМО с ожиданием, если требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь вплоть до освобождения любого из каналов. При этом можно рассматривать СМО с ограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания в очереди и др. Дисциплина очереди также может быть различной: первым пришел – первый обслуживаешься; пришел последним – обслуживаешься первым; случайный отбор заявок; отбор заявок по критерию приоритетности.

· СМО с параллельными каналами обслуживания, когда все каналы предполагают выполнение одних и тех же функций.

· СМО с последовательными каналами, когда обслуживание требований предполагает последовательную реализацию разнотипных функций.

· СМО с параллельно-последовательными каналами обслуживания.

4.2. СМО с отказами. Рассмотрим сначала одноканальную систему с отказами, которая может находиться в одном из двух возможных состояний (рис.4.2): S₀ – канал свободен и S₁– каналзанят.

Из свободного состояния S₀ систему выводит входной поток заявок с интенсивностью l, а из занятого состояния S₁обратно в свободное состояние систему выводит выходной поток обслуженных заявок с интенсивностью m..

Так как система может находиться только в одном из двух возможных состояний, то сумма вероятностей этих двух состояний равна единице:

. (4.1)

Чтобы система могла пребывать в этих двух состояниях, воздействия, выводящие ее из состояния S₀, должны уравновешиваться воздействиями, возвращающими систему обратно в это состояние. Значение величины каждого воздействия определяется произведением интенсивности потока на соответствующую вероятность, т.е.

.

Из этого выражения определяем первую характеристику эффективности обслуживания: вероятность получения отказа p_отк в обслуживании поступившей заявки:

.

Подставляя это выражение в уравнение (4.1), получим вторую характеристику эффективности обслуживания: вероятность немедленного обслуживания p₀ поступившей заявки:

; .

Относительная пропускная способность q системы определяется вероятностью того, что в момент поступления заявки канал окажется свободным и она будет обслужена:

.

Абсолютная пропускная способность:

.

Аналогично рассматривая граф состояний для многоканальной (2, 3, ¼, n – канальной) СМО с отказами (рис.4.3 - 4.4) и повторяя рассуждения, можно получить характеристики эффективности обслуживания для многоканальной СМО с отказами, которые для удобства сведены в табл.4.1.

В двухканальной СМО с отказами (рис.4.3) состояние S₀ – это состояние, когда оба канала свободны. Состояние S₁ – состояние, когда один канал занят обслуживанием заявки, а второй канал свободен. СМО находится в состоянии S₂, когда заняты оба канала.

В состоянии S₁ интенсивность обслуживания в системе равна интенсивности обслуживания одного канала. Когда работают два канала (состояние S₂), то интенсивность обслуживания в системе возрастает вдвое и становится равной 2m..

Так как система может находиться только в одном из трех возможных состояний, то сумма вероятностей всех состояний должна быть равна единице

. (4.2)

Составляя уравнения баланса воздействий для каждого из состояний системы, получим:

; (4.3)

;

. (4.4)

Из (4.3) и (4.4) имеем соответственно:

; (4.5)

. (4.6)

Подставляя выражение (4.5) в (4.6), получим, что вероятность получения отказа p_отк в обслуживании поступившей заявки для двухканальной СМО с отказами:

. (4.7)

Подставляя (4.5) и (4.7) в (4.2), получим вероятность немедленного обслуживания p₀ поступившей заявки:

.

Относительная пропускная способность: .

Абсолютная пропускная способность: .

Для многоканальных СМО среднее количество занятых под обслуживание каналов:

.

Таблица 4.1

Характеристики эффективности СМО с отказами

Количество каналов обслуживания		n
Вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки
Вероятность получения отказа в обслуживании
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Среднее количество занятых каналов

Пример 4.1. Сборочный участок производит в среднем за один час работы 90 блоков. На этом участке работает контролер, который выборочно проверяет изготовленные блоки аппаратуры. Средняя продолжительность контрольных операций составляет t_контр= 1,25 мин. Если в момент прибытия очередного блока контролер занят проверкой, то этот блок сразу же передается на дальнейшие операции без промежуточного контроля. Производство непрерывное и продолжается до обнаружения дефекта в одном из блоков, в этом случае технологический процесс останавливается и выясняются причины неисправности [5].

Необходимо определить, какая часть выпускаемой продукции в таких условиях подвергается контролю, и какая часть пропускается на дальнейшие операции без контроля (т.е. получает отказ от прохождения контрольных операций).

Определим среднюю величину интенсивности l поступления заявок в единицу времени:

блока/мин.

Средняя величина m интенсивности обслуживания:

блока/мин.

Вероятность немедленного обслуживания p₀ поступившей заявки:

;

вероятность получения отказа p_отк в обслуживании:

;

Относительная пропускная способность q системы (среднее отношение числа проверенных блоков аппаратуры к числу поступающих на контроль):

.

Это означает, что контрольным операциям будет подвергаться менее 35% продукции на участке. Абсолютная пропускная способность системы (среднее количество блоков аппаратуры, которое контролер может проверить в единицу времени):

блока/мин.

Что выгоднее?

A) Увеличить производительность труда контролера в 2 раза (допустим, за счет оснащения контроля новым, более производительным оборудованием) и соответственно в 2 раза увеличить среднюю величину m интенсивности обслуживания.

ИЛИ

B) Увеличить в 2 раза количество контролеров, работающих с прежней интенсивностью m = 0,8 блока/мин.

Решение по варианту А.

Если увеличить производительность труда контролера в 2 раза, то средняя продолжительность контрольных операций уменьшится в 2 раза и составит t_контр= 0,625 мин.

блока/мин.; ;

; .

Это означает, что в этом случае контрольным операциям будет подвергаться около 52% продукции на участке. А почему не 70%, как можно было бы ожидать? Ведь контролер стал работать в 2 раза быстрее, значит, и проверять он должен как, казалось бы, в 2 раза больше продукции. Однако нет: причина заключается в случайном характере поступления и обслуживания заявок.

Решение по варианту В (двухканальная СМО).

Если поставить двух контролеров, работающих с прежней интенсивностью m = 0,8 блока/мин., то

;

;

.

Это означает, что в этом случае контрольным операциям будет подвергаться 62% продукции на участке.

Таким образом, пропускная способность 2-х каналов (контролеров) больше, чем одного, работающего в 2 раза быстрее.

А если будут работать три контролера с интенсивностью m = 0,8 блока/мин., то тогда

;

;

.

В этом случае контрольным операциям будет подвергаться около 81% всей продукции на участке. При этом количество занятых работой контролеров в среднем составит значение

.

Таким образом, работы не хватает даже для загрузки двух контролеров, а все трое не обеспечивают 100% проверку продукции. Причина та же: случайный характер поступления и обслуживания заявок.

А сколько же нужно поставить контролеров, чтобы обеспечить проверку 100% всей выпускаемой продукции?