Рост денежного вклада в банке.

Применение дифференциальных уравнений в социально-экономической отрасли.

Экономико-математическое моделирование, в частности применение дифференциальных уравнений, стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватило все новые области научных познаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Были изобретены такие известные модели как динамическая Леонтьева, колебательная Самульсона - Хикса, принесшие своим создателями нобелевские премии. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться важная роль моделирования как универсального метода научного познания.

Рассмотрим использование дифференциальных уравнений на конкретных примерах.

Истощение ресурсов Земли.

Рассмотрим задачу, на тему волнующую человека в 21 веке, а именно истощение ресурсов. Запас ресурсов ограничен, поэтому человеку необходимо знать на сколько он ограничен. Определим в каком году будет достигнут предел насыщения, после которого пищи не будет воспроизводится, столько, сколько бы хватало для поддержания всех людей сытыми.

Возьмем достоверные условия:

§ В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн га пахотной земли. Поэтому население земли, если не учитывать новых источников пищи должно не превышать 40 000 млн человек.

Ø Когда будет достигнут это предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8% в год.?

y’(t)=k y(t) (1)

дифференциальное уравнение естественного роста.

Впервые его получил Якоб Бернулли. (1695 год)

Решая уравнение естественного роста:

dy /y=k d t (1.1.)

Находим его интеграл:

l n | y|= k t + l n c (2.1)

Откуда общим решением является показательная функция:

y(t) = c e ^{k t} (2.2)

показательная функция в данном виде была предложена Томасом Мальтусом (1798)

Гдеk–мальтузианский коэффициент линейного роста

Т.к. ежегодный прирост величины y(t) составляет p% - то скорость изменения величины составит p/100 от y(t) следовательно, коэффициент

k=p/100

Подставляем параметры и выводим формулу для нахождения нашей задачи.

y(t)=y₀e^(pt/100) (3)

За t₀ возьмем 1999 год, когда население земли составляло 6∙10⁹

Тогда подставляем значения:

y(t)= 6∙10⁹ e^0,018t

Ищем такое:

y(t) = 40∙10⁹ = 6∙10⁹ e^0,018t

Находим:

e^0,018t ≈6,667

Откуда:

t≈105 лет

Ответ: Примерно в 2104 году мир достигнет насыщения

Данный год рассчитан, при условии того темпа роста, который наблюдался в 20-веке и начале 21-ого, т.е. если человечество сможет начать регулировать рождаемость, то этот страшный год можно будет передвинуть на более позднюю дату или будут найден новые источники ресурсов или более совершенные технологии для их выработки.

Рост денежного вклада в банке.

Еще издавна человека интересовал вопрос, какова была бы сумма его вклада, если бы он его вложил очень-очень давно, скажем в начале нашей эры? Задача решается без дополнительных условиях, таких как денежные реформы, например смена валюты, изменение ставки процента, изменения обеспеченности ресурсами и товаром и т.д.

Зададим начальные условия:

Ø В какую сумму обратилась бы копейка, если ее вложили в сберегательный банк в первый год нашей эры под 5% годовых?

Предполагается, что денежные реформы не проводятся, а приращение производится непрерывно!

Зададим начальную формулу:

y’(t) = 0,05 y(t) (4)

Используем показательную функцию, предложенную Мальтусом:

y(t) = ce ^{k t} (2.2.)

Подставляем начальные значения:

y(2000) = 1∙ e^0,05∙2000

Получаем:

y(t) = 2,688∙10⁴³ коп.

Ответ:

2,688∙10⁴¹ рублей

Получилось настолько большое число, что не существует его названия!

Почему до сих пор не происходило приближение к столь большой величине?

В силу того, что меняется политическое устройство стран, меняется валюта, меняется ресурсная база и т.д. Т.е. экономические реформы направлены больше на то, чтобы регулировать распределение валюты, а следовательно распределение ресурсов.