Производные величины для определения коэффициента корреляции

Показатель n х у Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ху
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый
Шестой
Седьмой
Итого: 37 042 22 418

Рассчитаем коэффициент корреляции:

r= Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru =

= Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru =

= Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru .

Полученное значение коэффициента корреляции достаточно трудно истолковать, поскольку оно является промежуточным между единицей и нулем, т.е. между высокой корреляцией и ее отсутствием. При выборке 50 пар значений коэффициент корреляции, равный 0,35, будет иметь большую значимость, чем 0,63 при выборке 10 пар.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru = 0,4704*0,4704=0,2212 = 22,12%.

Следовательно, более 22% изменений в выручке от продаж связаны с изменениями в расходах на рекламу.

Показатели тесноты связи, исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности, могут искажаться действием случайных причин, что вызывает необходимость проверки их существенности, дающей возможность распространять выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Для оценки значимости линейного коэффициента корреляции используют t- критерий Стьюдента.

При линейной однофакторной связи t- критерий можно рассчитать по формуле:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ,

где (n-2)- число степеней свободы[1] при заданном уровне значимости[2] Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru и объеме выборки n.

Полученное значение Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru сравнивают с табличным значением t-критерия (по таблице Стьюдента)с учетом принятого уровня значимости ( Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ) и числом степеней свободы Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru . В социально- экономических исследованиях уровень значимости обычно принимают равным 0,05. Параметр признается значимым (существенным) при условии, если Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru > Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru . В таком случае практически невероятно, что найденное значение параметра обусловлено только случайными совпадениями.

Например:Так, для коэффициента корреляции между выручкой от продаж и затратами на рекламу получим:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru =0,4704 Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru 1,2.

Это значительно меньше критического значения t для n-2=5 степеней свободы и Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ( Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru =2,571), что свидетельствует о несущественности связи между выручкой и затратами на рекламу.

5.2. Однофакторный регрессионный анализ

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками.

Аналитически связь между результативным и факторным признаками может описываться уравнениями:

прямой Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

параболы Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru + Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

гиперболы Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru и т.д,

где, Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о наличии линейной связи между ними, а при обратной связи - гиперболической. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная функция.

Параметры уравнения Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru находятся методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru от выровненных Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru :

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru min.

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

{ Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru .

Решим эту систему в общем виде:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ; Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru .

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru , или Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru .

Определив значения Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru и подставив их в уравнение связи Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru , находим значения Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru , зависящие только от заданного значения х. В некоторых случаях эти расчеты могут быть использованы при прогнозировании.

Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t- критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t- критерия:

для параметра Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

для параметра Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ,

где n- объем выборки;

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru - среднее квадратическое отклонение результативного признака у от выровненных значений Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru ;

Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru или Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru - среднее квадратическое отклонение факторного признака х от общей средней Производные величины для определения коэффициента корреляции - student2.ru .

Например: Рассмотрим построение однофакторного уравнения регрессии зависимости производительности труда у от стажа работы х по данным табл.3.

Таблица 3

Наши рекомендации