Механізми внутрішньосистемного ціноутворення

Потреба у визначенні внутрішньосистемних цін виникає у разі, коли після укладення керівним органом угоди з зовнішнім замовником на випуск продукції в обсязі P і вартістю С потрібно розподілити цей обсяг і майбутній прибуток між підрозділами (виконавцями) системи.

У ході розроблення механізмів внутрішніх цін ОС (внутрішньосистемного ціноутворення) слід розглядати два випадки.

Перший із них трапляється під час виробництва однотипної продукції, коли кожен виконавець може виробляти цю продукцію, і задача полягає в розподілі її обсягу між ними, другий — коли кожен виконавець спеціалізується на виробництві певного виду продукції, причому ту, що може виробляти один виконавець, не може виробляти інший. У цьому разі задача полягає у визначенні договірних цін на виробництво продукції кожним виконавцем.

Розглянемо випадок розподілу однотипної продукції.

Позначивши через обсяг виробництва продукції і-тим виконавцем, а — його витрати на виконання цього обсягу, можна визначити прибуток і-того виконавця: , де ц — ринкова ціна одиниці продукції.

Відповідно прибуток системи загалом становитиме:

,

де n — загальна кількість виконавців ОС;

V — загальні витрати на випуск продукції в обсязі .

За припущення, що кожен виконавець матиме певний відсоток від отриманого ним прибутку, його цільова функція набуває вигляд:

.

Визначимо залежність витрат виконавця від обсягу виробництва продукції.

Управлінський облік [108] розподіляє витрати на випуск продукції на умовно-змінні та умовно-постійні. Взаємозв'язок витрат, доходу і прибутку дає змогу формалізувати залежність витрат від обсягу випуску або реалізації продукції.

Ця залежність має такий аналітичний вигляд:

,

де — умовно-постійні витрати;

— умовно-змінні витрати.

Графічне зображення цієї функції наведено на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Залежність витрат від обсягу реалізації продукції

У такому разі собівартість випуску одиниці продукції обчислюють за формулою

,

а її графічне зображення подано на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Гіперболічна форма зміни собівартості випуску одиниці продукції

Якщо наявні виробничі потужності обмежені, ця гіперболічна залежність змінюється на параболічну (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Параболічна форма зміни собівартості випуску одиниці продукції

У цьому разі змінюється і форма залежності витрат від обсягу випуску продукції (рис. 2.7), яку відображають рівнянням параболи:

,

де — коефіцієнт, що характеризує ефективність роботи і-того виконавця.

Рис. 2.7. Параболічна залежність витрат від обсягу реалізації продукції

З урахуванням викладеного прибуток системи становитиме

. (2.15)

Для досягнення системою найбільшого прибутку потрібно так розподілити загальний обсяг випуску продукції P, щоб функція цілі (2.15) набувала максимального значення, тобто реалізувати оптимізаційну модель

, (2.16)

. (2.17)

Задача (2.16) — (2.17) належить до класу задач на умовний екстремум, яка може бути вирішена за допомогою методу множників Лагранжа.

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:

,

де — множник Лагранжа.

Для визначення точки максимуму функції Лагранжа знайдемо часткові похідні від неї по невідомих змінних і прирівняємо їх до нуля:

(2.18)

Розв’язком першого рівняння системи (2.18) є

. (2.19)

Після підстановки (2.19) у друге рівняння системи (2.18) маємо

,

звідки визначають множник Лагранжа

.

Підставляючи значення множника Лагранжа в (2.19), одержимо

. (2.20)

Таким чином, оптимальний план розподілу замовлення з погляду керівного органу для i-того виконавця прямо пропорційний обсягу випуску продукції P і відношенню ефективності i-того виконавця до суми ефективностей усіх виконавців.

Із (2.16) і (2.20) визначають максимальне значення цільової функції (максимально можливий прибуток організаційної системи).

Очевидно, кожен виконавець зацікавлений у максимізації свого прибутку, тобто тієї частини системного прибутку, що залишається у його розпорядженні:

,

де — розподіл випуску продукції з погляду і-того виконавця.

Із рівняння знаходять оптимальний з погляду і-того виконавця обсяг випуску продукції . Але зазвичай у процесі розподілу випуску продукції GB керується заявками виконавців ( ). Якщо виявиться, що , то кожен виконавець отримає обсяг випуску продукції . Якщо ця рівність не виконується, то здійснюють розподіл величини Р пропорційно заявкам виконавців за формулою

. (2.21)

Отже, отримання виконавцем максимального прибутку відповідає тому, що його заявка становить , а обсяг випуску продукції визначають за (2.20). При цьому система отримує максимальний прибуток. Але виконавці зацікавлені у збільшенні свого прибутку. Залежно від заявок і розподілу Р згідно з (2.21) прибуток і-того виконавця визначають за формулою

,

а його максимум — з умови

.

Оскільки , тоді, якщо виконується умова ( ), то всі виконавці будуть подавати заявки , якщо не виконується — . Така ситуація є гарантованою і рівноважною. При цьому всі виконавці отримають однакові випуски продукції. Але слід наголосити, що такий розподіл загального випуску продукції не є оптимальним за винятком ситуації, коли . Отже, розглянутий механізм розподілу Р не завжди ефективний.

Порівняння (2.20) з виразом свідчить про наявність конфлікту між інтересами GB та виконавців, оскільки виконавцям вигідно виробляти продукцію в обсязі, що перевищує Р:

.

У цій ситуації виконавці, бажаючи отримати у сумі більший обсяг випуску, ніж у наявності, будуть надавати недостовірну інформацію. Тому виникає завдання створення такої системи керування, яка узгоджувала б інтереси GB і виконавців. Цього можна домогтися шляхом зменшення ринкової ціни ц до рівня, за яким сума оптимальних планів для виконавців була б рівною наявному Р. GB не може вплинути на ринкову ціну ц, але може ввести внутрішню ціну для взаєморозрахунків із виконавцями. Отже, крім визначення плану розподілу обсягу випуску продукції слід визначити внутрішню ціну , ураховуючи, що виконавці вибирають дії виходячи з максимізації своїх цільових функцій.

Вирішення цієї задачі здійснюють способом реалізації моделі:

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Прирівнюючи до нуля диференціал функції (2.24), визначають оптимальний план i-того виконавця як функцію внутрішньої ціни:

. (2.25)

Підставляючи (2.25) у (2.23), визначають внутрішню ціну:

. (2.26)

Реалізація моделі (2.22) — (2.24) за допомогою методу множників Лагранжа дає змогу визначити

(2.27)

та оптимальний план

. (2.28)

Із (2.26) і (2.27) випливає, що множник Лагранжа становить внутрішню ціну організаційної системи .

Оскільки параметри GB невідомі, замінимо їх у (2.27) і (2.28) на відомі оцінки : , .

Підставимо та у цільову функцію виконавця:

, . (2.29)

Функція залежить лише від повідомлень виконавців. Для перевірки їхньої неманіпульованості припустимо, що кожен виконавець своїм повідомленням не впливає на загальний для всіх виконавців керований параметр — внутрішню ціну (гіпотеза слабкого впливу для ОС з великою кількістю виконавців). При цьому знаменник цільової функції не залежатиме від повідомлення і-того виконавця, тобто його можна вважати константою.

Прирівнявши результат диференціювання (2.29) до нуля, отримаємо:

, ,

звідки випливає, що повідомлення достовірної інформації вигідно всім виконавцям, а отже, механізм внутрішніх цін є неманіпульованим.

На підставі внутрішньої ціни можна ввести поняття внутрішнього прибутку як фіктивного прибутку, обчисленого за формулою

, .

Відповідно формула для визначення фактичного прибутку F матиме вигляд:

.

У разі повідомлення достовірної інформації, тобто коли , , розподіл ресурсу буде оптимальним, а прибуток ОС — максимальним. Таким чином, механізм внутрішніх цін вельми унікальний: він є механізмом відкритого керування (відсутня маніпуляція), що має ту саму ефективність, що й механізм в умовах повної інформованості, та мінімізує сумарні витрати виконавців на виконання загального планового завдання. Крім того, за цим механізмом узгодженими є інтереси GB і виконавців, а GB отримує максимально можливий прибуток.

Розглянемо другий випадок визначення внутрішніх цін, коли організаційна система згідно з угодою має виробляти продукцію широкої номенклатури, а кожен виконавець — тільки один її вид. У цьому разі ситуація змінюється: відпадає потреба в розподілі обсягів виробництва продукції, натомість постає задача визначення обсягів фінансового забезпечення виробничого процесу кожного виконавця.

Одним з варіантів рішення цієї задачі є використання принципу рівних рентабельностей [69]. Визначатимемо рентабельність як прибуток на одиницю витрат. Тоді рентабельність на рівні системи становить , а на рівні і-того виконавця — , де — вартість продукції.

За принципом рівних рентабельностей

, (2.30)

. (2.31)

Із рівняння (2.30) отримуємо: або , звідки . Остаточно матимемо .

Оскільки GB за наявності маніпулювання інформацією з боку виконавців з метою збільшення прибутку не володіє точними значеннями витрат , він використовує для визначення обсягів фінансування оцінки ( ) цих витрат, отримані від кожного з виконавців. Тоді , а формула для визначення прибутку і-того виконавця має вигляд

.

Для усунення маніпулювання інформацією з боку виконавців введемо додаткові відрахування від надпланового прибутку. Тоді (2.31) набуває вигляду

, (2.32)

де — коефіцієнт додаткових відрахувань від надпланового прибутку.

Із системи рівнянь знаходимо , звідки маємо за умови ситуацію рівноваги за Нешем:

.

Цілком зрозуміло, що виконавцю не вигідно сповіщати GB завищену заявку, якщо при цьому буде знижуватися його прибуток, тобто якщо

або .

Віднявши одиницю від обох частин цієї нерівності, перетворимо її до вигляду

. (2.33)

З урахуванням рентабельності, що визначається на передплановій стадії, формула (2.33) набуває вигляду

.

Віднімаючи одиницю від обох частин цієї нерівності, її перетворюють до вигляду:

, або .

Після простих перетворень (множення обох частин на С і віднімання від них по 1) остання нерівність набуває вигляду

. (2.34)

Якщо GB залишає виконавців без прибутку ( ), то при нерівність (2.34) буде виконуватися за умови , з урахуванням якої у разі (2.34) набуває вигляду

, або .

Помноживши цю нерівність на та враховуючи, що , маємо

(2.35)

або

.

Таким чином, тільки для низькорентабельних угод можна сподіватися, що принцип рівних рентабельностей забезпечить достовірність оцінок витрат, які повідомляють виконавці системи.

У разі коли GB не тільки позбавляє виконавців надпланового прибутку, а й штрафує їх за завищення оцінок витрат, тобто коли , нерівність (2.34) має вигляд

,

де — коефіцієнт штрафу за завищення витрат.

Якщо до того ж виконавці є однаковими з позицій рентабельності, то (2.35) набуває вигляду:

, або ,

звідки випливає, що обмеження на максимальну рентабельність стає менш жорстким.

З прикладами практичного використання механізмів ціноутворення можна ознайомитися за джерелами [79; 88; 119].

2.5. Механізми планування виробничої діяльності

У задачах розподілу і перерозподілу ресурсів функціонування ОС визначалося трьома складовими — способом формування даних, цільовими функціями і процедурами планування, що становили механізм функціонування системи. Розглянемо одну з важливих його характеристик — рівень централізації у процесі планування виробничої діяльності (ціноутворення і випуску продукції). Відсутність санкцій за відхилення реальних показників від планових відповідає децентралізації планування і, навпаки, сильні штрафи відповідають крайньому рівню централізації планування, оскільки в цьому разі реальні показники збігаються з плановими. Проміжні випадки відповідають частковій централізації (децентралізації).

Розглянемо цільову функцію системи у вигляді

, , (2.36)

де — реальні показники (витрати);

— планові показники (витрати).

У разі повної децентралізації планування витрат коефіцієнт набуває нульового значення, тобто тут діють важелі ринкової системи. Якщо ж є безкінечною величиною, то має місце повна централізація планування.

Розглянемо випадок децентралізації планування, коли випуск продукції , тобто коли план або перевиконується, або недовиконується. Тоді цільова функція з урахуванням штрафів за відхилення планових показників від фактичних матиме вигляд

,

а за повної децентралізації планування —

.

У разі децентралізованого планування, коли і-тий виконавець самостійно призначає ціну зі штрафами за її відхилення від ціни GB, цільова функція набуває вигляду

, (2.37)

де .

При 0, тобто коли ціну, обсяг випуску продукції та величину витрат призначає кожен виконавець самостійно, має місце повна децентралізація планування (випадок ринкової системи). У цьому разі функція цілі має вигляд:

.

Сукупність цільових функцій виконавців f= називають системою стимулювання. Розглянемо дві системи і виду (2.37). Якщо , то система має більший рівень централізації, ніж система .

Системи виду (2.37) мають геометричну інтерпретацію (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Геометрична інтерпретація систем планування

На рис. 2.8 точка 0 відповідає ринковій системі, точка А — системі з повною децентралізацією планування, точка В — системі з повною централізацією планування, а крива лінія, що з’єднує точки 0 і В, відображає множину систем, упорядкованих за рівнем централізації.

Розглянемо кожну із цих систем планування [17].

Ринкова система планування. Позначимо через P планове завдання організаційної системи з випуску продукції. В умовах ринкової системи планування можливі два випадки: і . У першому з них GB нічого не може вдіяти, оскільки ніяк не впливає на обсяг випуску продукції. У другому разі споживачі, що відіграють роль GB, можуть придбати продукцію за цінами за упорядкованою послідовністю .

Припустимо, що для k-того виконавця існує умова:

.

За цієї умови k — 1 виконавців будуть підвищувати ціни, збільшуючи свій прибуток, а інші n — k виконавців змушені знижувати ціну, звідки випливає, що в рівновазі установиться єдина ринкова ціна продукції . Нехай — випуск продукції і-того виконавця за ринковою ціною. Очевидно, .

Якщо , то, встановлюючи ціну , де — будь-яка мала позитивна величина, і-тий виконавець зможе реалізовувати продукцію в обсязі та отримувати додатковий прибуток. Тому в рівновазі з умови знаходимо

, де .

Оскільки будь-який виконавець спроможний збільшити свій прибуток завдяки установленню ціни при збереженні обсягу випуску , то ситуація не є рівновагою Неша. При цьому інші виконавці можуть збільшити випуск продукції за рахунок призначення ціни , але разом із тим продукція і-того виконавця може й не знайти збуту. Тому при чималій кількості виконавців підвищення ціни зверх не доцільним. За такої умови ситуація буде рівноважною, а випуски продукції — оптимальними.

Визначимо вплив і-того виконавця, який встановив ціну , на ринкову ціну. Очевидно, за такої ситуації всі інші виконавці, встановлюючи ціну , зможуть реалізувати продукцію в обсягах , а і-тий виконавець — лише в обсязі , отримавши прибуток .

Максимум прибутку по становить

.

У разі присутності виконавця-монополіста, тобто коли , встановлюють монопольну ціна , за якої .

У разі коли попит на продукцію є лінійною функцією ціни, тобто коли , де , при .

Визначимо ціну з умови максимуму прибутку:

.

Диференціюючи цей вираз і виконавши нескладні перетворення, матимемо формулу для визначення ціни:

.

Якщо коефіцієнти ефективності всіх виконавців однакові , то маємо

У разі одного виконавця ціну називають монопольною, обчислюючи її за формулою

.

Графік функції наведено на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Залежність ціни продукції від кількості виконавців

Повна децентралізація планування. За умов децентралізованого планування виконавці мають право самостійно визначати обсяг випуску продукції, але не мають права на встановлення її ціни. Якщо GB приймає від виконавців усю вироблену продукцію, але при відхиленні її загального обсягу від P у системі виникають втрати, цільова функція GB матиме такий вигляд:

,

де М — достатньо велике число.

Серед способів визначення ціни у системах з повною децентралізацією планування найпростішим є метод «планування за відхиленням», згідно з яким,

якщо в періоді t , то в наступному періоді ціна збільшується, якщо ж

— зменшується. Нехай, наприклад,

,

де — дефіцит продукції у періоді t.

При < 0 має місце надлишок продукції.

Очевидно, рівновага за гіпотезою слабкого впливу, за якою

тобто коли зі збільшенням кількості виконавців зменшується вплив окремого виконавця на ціну, визначається співвідношеннями:

або .

Якщо випуск продукції і-тим виконавцем у періоді t становить , а ціна одиниці продукції — , то послідовність цін { } збігається до рівноваги .

Справді, оскільки ціна у періоді t + 1 становить

, ,

то при

Отже, послідовність { } збігається до оптимальних обсягів випуску продукції { }, а послідовність цін { } — до ціни . При цьому гарантією збіжності є умова , де — максимально можливе значення всіх .

Складною є ситуація в разі врахування виконавцями впливу обсягу випуску продукції на її ціну, тобто за сильних штрафів з боку GB.

Згідно з [17] у цьому разі цільова функція і-того виконавця матиме вигляд

Нехай виконавець приймає ціну за рівноважну та відповідно визначає рівноважний випуск продукції . Пару параметрів { , } вважають рівноважною, якщо і послідовність { } забезпечує максимум цільової функції на множині послідовностей { }. Для таких послідовностей цільова функція матиме вигляд

, (2.38)

,

де називають «рівнем далекоглядності» і-того виконавця.

Прирівнюючи до нуля часткову похідну цільової функції (2.38) по , маємо

,

звідки .

Оскільки в умовах рівноваги випуск продукції становить , то , а тому , тобто обсяг випуску продукції у періоді t = 0 обчислюють за допомогою її ціни у цьому періоді.

Розглянемо послідовність обсягів випуску продукції в наступні періоди:

, .

Очевидно, що

, .

Введемо позначення , тоді .

Враховуючи [17], що при для будь-якого

маємо

Оскільки — убуваюча функція від і зростаюча функція від , то , що й є умовою збіжності цін.

Аналіз ситуації рівноваги за припущення хоча б для одного виконавця свідчить, що , а обсяги випуску продукції { } можуть бути неоптимальними. Дійсно, якщо для всіх виконавців , то і не залежить від . Крім того, якщо більш ефективний виконавець є й більш далекоглядним ( ), то , тобто і знаходяться в обернено пропорційній залежності, а не у прямо пропорційній як в оптимальному плані.

Проаналізуємо ефект монопольного виконавця у цій ситуації. При ( ) та маємо

,

звідки при .

Слід наголосити, що прояв монопольного ефекту у цьому разі тісно пов’язаний із далекоглядністю виконавця-монополіста. Дійсно, якщо для всіх виконавців, то не залежить від наявності монополіста в системі. Якщо ж для всіх виконавців, то ціна

також не залежитиме від наявності монополіста у системі.

У разі коли деякі виконавці є «дуже далекоглядними» , а інші — недалекоглядними ( , ), маємо

, , .

Якщо при цьому то .

Згідно з викладеним за виконання умов , , ( ), що свідчать про наявність в організаційній системі «дуже далекоглядного» виконавця, маємо:

, , , .

Економічна інтерпретація цих формул вказує на виникнення парадоксальної ситуації в ОС з «дуже далекоглядним» виконавцем: останній фактично не випускає продукцію, і його прибуток дорівнює нулю, разом із тим він отримує у кожному періоді прибуток . Ця ситуація свідчить, що прогнозуючи розвиток виробництва, не слід втрачати керування процесом виконання поточного плану.

Крім розглянутого методу встановлення ціни на продукцію організаційної системи існують також інші, ґрунтовані на адаптивному способі формування даних [17]. Розглянемо один із них.

Припустимо, що виконавці функціонують у періоді t на підставі гіпотези слабкого впливу, тобто при GB може визначити

. (2.39)

За таким способом визначення ціни забезпечується її збіжність у ситуацію рівноваги за один період незалежно від початкової ціни .

Проаналізуємо ситуацію рівноваги з урахуванням далекоглядності виконавців, припускаючи, що вони обирають , вважаючи ціну рівноважною.

Підставляючи (2.39) у цільову функцію (2.38) з урахуванням , маємо

.

Прирівняємо до нуля похідну від по ,

.

Розв’язання цього рівняння з урахуванням умови дає змогу визначити обсяг випуску продукції і-того виконавця за ціною :

Отже, ціна визначається за формулою:

, ,

а рівноважна ціна — за формулою:

Послідовність { } збігається у цьому разі за умови , а у разі , тобто коли , — за умови n > N.

Повна централізація планування. Розглянемо довільну цільову функцію GB Ф і цільові функції виконавців .

Введемо позначення:

— множина пар , для яких і

; (2.40)

— множина таких, що ;

— множина таких, що ∅.

Порівняємо системи з різним рівнем централізації планування за критерієм максимізації функціонала Ф .

Для ринкової системи вважається, що в рівновазі встановлюється єдина ціна продукції, а обсяги випусків продукції виконавців забезпечують за цієї ціни максимум їхніх цільових функцій. Таким чином, є множиною ситуацій рівноваги та досягається гарантоване значення цільової функції GB:

. (2.41)

Для систем з повною децентралізацією планування також є множиною ситуацій рівноваги, але, оскільки GB встановлює ціну , то він може забезпечити гарантоване значення цільової функції:

. (2.42)

Для систем з частковою централізацією планування, коли випуск продукції планується і реалізація y збігаєтьсяз планом x, а витрати не плануються, механізм відкритого керування (ВК), для якого умови рівноваги за гіпотези слабкого впливу мають вигляд (2.40) і який є оптимальним на множині [17], забезпечує значення функціоналу:

. (2.43)

З порівняння (2.43) з (2.42) і (2.41) випливає, що механізм відкритого керування забезпечує вищу ефективність функціонування системи, ніж будь-який механізм ціноутворення в системах з повною децентралізацією планування, у тому числі і (2.39), і в ринковій системі.

Цілком природно, що якщо для будь-якого механізму ціноутворення ситуацією рівноваги за гіпотези слабкого впливу є , то зі збільшенням рівня централізації буде залишатися ситуацією рівноваги.

Отже, оптимальний механізм функціонування системи існує на множині механізмів з повною централізацією планування. Однак у практиці керування такі системи можуть виявитися неприйнятними з деяких міркувань (обмеження на розмір штрафів, кількість планових показників тощо). Тому виникають складні задачі визначення оптимальних механізмів на множині систем з частковою централізацією планування. Крім того, слід ураховувати той факт, що висновок про ефективність системи з повною централізацією планування зроблено за умови, якщо витрати на керування (збирання і формування потрібних даних, вирішення відповідних задач прийняття управлінських рішень, здійснення контролю, застосування економічних санкцій тощо) не враховуються. У ринкових системах планування витрати на керування мінімальні, у системах з повною централізацією планування — максимальні. З урахуванням витрат на керування оптимальним механізмом функціонування системи може бути деякий частково централізований механізм.

2.6. Специфічні механізми планування

Дослідження механізмів планування процесу функціонування організаційної системи показало, що задача вибору оптимального механізму керування назагал є вельми складною. Разом із тим ми переконалися, що механізм відкритого керування оптимальний. За цим механізмом у ситуації рівноваги сповіщається достовірна інформація і реалізація збігається з планом. Зокрема, було показано, що оптимальний механізм існує в системах з повною централізацією планування, хоча задача його конструктивного визначення не вирішена назагал, наприклад, якщо повна централізація в системі неприпустима за деякими причинами. У зв’язку з цим важливо розглянути можливі специфічні механізми планування.

Із теорії оптимального планування відомо, що задача планування процесу функціонування будь-якої економічної системи є оптимізаційною. Але кожна конкретна постановка такої задачі вимагає пошуку спеціального методу її розв’язання, що потребує наявності різних механізмів планування.

Позначимо, як і раніше, через оцінку параметра , що сповіщає і-тий виконавець GB, а через — сукупність усіх оцінок.

На підставі отриманої інформації GB визначає виконавцям плани { } і ціну одиниці продукції.

Процедуру визначення планів і ціни називають механізмом керування ( — механізм планування, — механізм ціноутворення). Механізми керування визначають зазвичай на підставі відповідних принципів керування.

У детермінованій задачі оптимального планування максимізують або мінімізують цільову функцію ОС за деяких обмежень. При цьому неявно передбачають, що план, отриманий у результаті вирішення задачі, може бути реалізований, тобто y = x. За цих умов модель цієї задачі матиме вигляд

.

Механізм жорсткого планування. Розвитком процедури оптимального планування є принцип жорсткої централізації, за яким виконавці мають свободу вибору, а GB у першу чергу враховує інтереси системи. Цей принцип відповідає вирішенню керівним органом оптимізаційної задачі

.

Оптимальне рішення задачі визначає механізм планування

.

Механізм ціноутворення обирають довільно, а його конкретизація визначає певний механізм жорсткої централізації.

Приймаючи ціну фіксованою і перетворюючи функцію цілі на функцію оцінок

, (2.44)

бачимо, що прибуток і-того виконавця залежить як від його оцінки, так і від оцінок інших виконавців. Максимум функції досягається в точці .

У цьому разі аналіз функціонування системи природно здійснювати на підставі теоретико-ігрового підходу, оскільки ми маємо справу з типовою грою n осіб (виконавців) з функціями виграшу і-того гравця (виконавця) . При цьому оцінка є стратегією і-того гравця, відрізок [d, D] — множиною можливих стратегій, а сукупність оцінок — ситуацією гри [31]. Рішенням гри є ситуація рівноваги у розумінні Неша (точка Неша), тобто ситуація , за якої .

Оскільки — зростаюча функція , то при , при , при обов’язково .

Припустимо, що виконавці упорядковані за зростанням , тобто , і розглянемо п’ять можливих варіантів реалізації механізму жорсткого планування.

1. Пропозиції виконавців з обсягів випуску продукції суттєво перевищують попит на неї: тобто , де Р — попит на продукцію У цьому разі існує єдина ситуація рівноваги , при цьому .

2. Пропозиції виконавців з обсягів випуску продукції перевищують попит: .

Визначимо таке, що . Тоді ситуація

(2.45)

є точкою Неша.

Для підтвердження цього висновку доведемо спочатку справедливість нерівності:

, . (2.46)

Права частина нерівності випливає з умови , .

Дійсно, якщо , то , а це суперечить умові вибору k.

Ліва частина нерівності (2.46) випливає з умови .

Отже, для . Разом із тим для , тобто для виконавців з номерами умови рівноваги Неша виконані. Дотримання цих вимог для виконавців із номерами випливає з правила вибору k, оскільки для них справджується умова .

Отже, точка (2.45) є єдиною точкою рівноваги.

3. Існує баланс попиту і пропозиції на продукцію: . У цьому разі будь-яка ситуація виду є точкою Неша, оскільки . Можна довести, що лише ця точка буде точкою рівноваги [17].

Враховуючи, що , з умови отримують можливі значення параметра : .

4. Попит на продукцію перевищує пропозицію з боку виконавців: . Визначимо таке, що . Тоді існує єдина точка рівноваги

Доведення проводиться аналогічно випадку 2.

5. Попит на продукцію суттєво перевищує пропозицію з боку виконавців:

. Єдиною ситуацією рівноваги є .