Управление запасами многономенклатурных ресурсов при ограничении на емкость склада

Рассмотрим многопродуктовую модель управления запасами с n-видами ресурсов (продукции) при ограничении на емкость склада.

Введем обозначения для данной модели:

q_i – размер объема заказа на товары i – вида ( );

А – максимальный размер складских помещений для сохранения n-видов продукции;

а_i – размер площади, необходимой для хранения продукции i – вида;

β_i – интенсивность спроса на товары i – вида;

k_i – затраты на размещение заказа на поставку продукции i – вида;

h_i – затраты на хранение единицы продукции i – вида.

C(q_i) – суммарные затраты на размещение и хранение единицы продукции i – вида.

общие затраты на размещение и хранение всех видов продукции

(7.3.1)

Если на запасы наложено ограничение и суммарный уровень запасов не должен превышать емкость складов А, то необходимо искать минимум С(q) при ограничениях

(7.3.2)

Оптимизацию целевой функции (7.3.1) с ограничениями (7.3.2) проведем с помощью метода множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:

Подставив выражения (7.3.1) и (7.3.2), получим

(7.3.3)

Для того, чтобы найти q_i* и оптимальное значение l*, необходимо взять частные производные по q_i и l от Лагранжиана (7.3.3):

(7.3.4)

(7.3.5)

из формулы (7.3.4) определяем оптимальный размер заказа

(7.3.6)

Оптимальные размеры заказов q_i* при ограничениях на a_i определяются путем последовательного расчета. Методом линейной интерполяции для разных значений q_i и l. находится коэффициент l* и оптимальные значения

Глава 8. методы сетевого планирования и управления

Основные понятия сетевого моделирования

Сетевой моделью (другие названия: сетевой график, сеть) называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и, во-вторых, определить оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ.

Математический аппарат сетевых моделей (СМ) базируется на теории графов. Графом называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества отрезков, соединяющих вершины, которые называются ребрами (дугами). Если на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным. Теория графов оперирует понятием пути, под которым понимается такая последовательность ребер, когда конец каждого предыдущего ребра совпадает с началом последующего, то есть с конечной вершиной каждой предыдущей дуги.

Понятие контура означает конечный путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной.

Сетевой граф – это ориентированный граф без контуров, ребра которого имеют одну или несколько числовых характеристик. В сетевом графике различают два основных элемента: работу и событие.

Работами называются любые процессы (действия), приводящие к достижению определенных результатов (событий). При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой чисел (i,j),где i – номер события, из которого работа выходит, а j – номер события, в которое она входит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t(i,j). Например, запись t(2,5) = 7 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 7 единиц. К работам относятся также процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; Такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9) на рис.39).

Событиями называются результаты произведенных работ. Событие конкретизирует процесс планирования, исключает возможность различного толкования итогов выполненных работ. Событие совершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и в СМ изображаются кружком, внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1,2, … N). В СМ имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N ), в которое работы только входят.

Путь – это последовательность следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечные вершины, например, в приведенной на рис.39 СМ путями являются L₁ = (1,2,3,7,10,11), L₂ = (1,2,4,6,11) и др. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную продолжительность называют критическим и обозначают L_кр, а его продолжительность – t_кр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Пример. На рис.39 приведен пример сетевого графика.

Рис.39