Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. 5 страница
Пройдет эра механических, затем электрических вычислительных машин, сменится несколько поколений электронных компьютеров, а В. В. Леонтьев всегда будет в числе первых экономистов, использующих новинки вычислительной техники став таким образом еще и ожним из первых прикладных информатиков. Он вспоминал работу на механической вычислительной машине (табуляторе). Она напоминала большой пресс и, производя вычисления, вибрировала, как трактор. Вокруг все было залито маслом, от которого надо было защищать себя (и выходные формы) спецодеждой. И вот мечта - в 1980 г. корпорация «Контрол Дэйта» предоставила В. В. Леонтьеву свой новейший суперкомпьютер для выполнения детальных межотраслевых прогнозов.
Очеовеой принцип В. В. Леонтьева - публиковать только работы с полным количественным анализом. Поэтому первую статью о методе «затраты-выпуск» он издал только в 1936 г. («Количественные соотношения «затраты-выпуск» в экономической системе Соединенных Штатов»); главной частью статьи был анализ балансовой таблицы за 1919 г. Далее финансирование и соответственно темп исследований и их обобщений, заметно ускорился. Вместе с группой сотрудников В. В. Леонтьев завершил работу над балансом США за 1929 г. и в 1941 г. выпусти книгу «Структура американской экономики, 1919 — 1929», признанную впоследствии классической.
Интерес к исследованиям В. Леонтьева заметно растет, особенно со стороны промышленников и предпренимателей. Его неожиданные предсказания экономических изменений все чаще сбываются. Во время войны В. Леонтьев получает заказы от правительства Ф. Рузвельта, оценившего возможности метода «затраты - выпуск» для государственного регулирования экономики, особенно при необходимости ее структурной перестройки в ходе войны и после ее окончания. Рузвельт в 1941 году пригласил Леонтьева создать экономико-математическую модель для мобилизации сил и средств, чтобы вместе с СССР и Англией дать отпор фашистской Германии. И В. В. Леонтьев блестяще справился с этой задачей. А после второй мировой войны межотраслевой баланс В. В. Леонтьева сыграл огромную роль в восстановлении народного хозяйства стран - победительниц и стран, пострадавших от германского фашизма. Как уже говорилось, метод В. В. Леонтьева был использован для исследования структурных изменений при переходе от военной экономики к мирной. Самыми болезненными экономическими проблемами у всех тогда были хроническая безработица и нестабильность капиталистической экономики. Во время второй мировой войны безработица как проблема исчезла, но после войны снова обострилась. Вот тогда-то впервые Бюро статистики труда Соединенных Штатов обратилось к леонтьевскому методу "затраты - выпуск". Сначала в 1939 г., а затем в 1947 г. модель Леонтьева была использована для того, чтобы предсказать, как всеобщая занятость и занятость по секторам будет изменяться по мере того, как экономика переходит от мира к войне и обратно. Экономика разоружения также впоследствии стала одним из предметов исследовательской деятельности Леонтьева, интересовавших его всю жизнь.
Однако от непосредственной работы в правительстве США В. В. Леонтьев отказался, стремясь сохранить независимость и не желая, по его словам, «впутываться» в политические вопросы. Главное, что построение балансов «затраты - выпуск» становится государственным делом: к сбору информации теперь привлекаются правительственные организации, в первую очередь. Бюро статистики труда. Составляются балансы США за 1939 г. (примерно по той же классификации, что и раньше), а позднее — баланс за 1947 г., охватывающий уже примерно 400 отраслей.
В 1948 г. В. В. Леонтьев основал Гарвардскую лабораторию экономических исследований, которая стала научным центром по дальнейшей разработке и практическому применению метода «затраты - выпуск». Лаборатория получала крупные субсидии как из частных фондов и от государственных организаций. Для работы были привлечены одаренные и энергичные ученые, впоследствии значительно продвинувшие теорию и методологию межотраслевого анализа, а В. В. Леонтьев оставался директором лаборатории вплоть до ее закрытия в 1973 г.
В 1951 г. выходит вторая монография В. Леонтьева «Структура американской экономики. 1919 — 1939», в 1953 г. — книга «Исследования структуры американской экономики», подготовленная им вместе с группой сотрудников Гарвардской лаборатории. Обе работы были переведены на несколько языков и метод В. Леонтьева завоевал международное признание.
Таким образом, в 60—70 - х годах метод «затраты—выпуск» и анализ межотраслевых балансов получили всеобщее признание в мировой экономической науке и стали обычными в плановой и статистической практике. Когда в 1969 г. началось присуждение Нобелевских премий по экономике, В. В. Леонтьев закономерно оказался одним из первых кандидатов. Он стал лауреатом в 1973 г. с такой формулировкой научных заслуг: “за развитие метода затраты - выпуск и за его применение к важным экономическим проблемам”. Характерно, что среди первых лауреатов преобладали эконометрики, математически и статистически ориентированные экономисты, чьи работы имеют наиболее выраженное практическое значение. Еще ранее Леонтьева Нобелевскую премию получил Саймон Кузнец (1901—1985), другой американец, родившийся и выросший в России. Кузнец — один из отцов национального счетоводства (СНС), без которого теперь невозможен серьезный анализ экономики.
Научная деятельность В. В. Леонтьева развивалась в двух главных направлениях.
Во-первых, он продолжал плодотворно работать над дальнейшей динамизацией модели затраты - выпуск, чтобы она работала с учетом технического прогресса, меняющего структуру экономики в целом (в модели это проявляется в изменении технологических коэффициентов). Практически это особенно важно для выбора наиболее оптимальных инвестиционных решений.
Во-вторых, он перешел от анализа экономики США к анализу всей мировой экономики, межрегиональных связей в ней, отношений между развитыми и развивающимися странами.
Проект, выполненный В. В. Леонтьевым и его группой по заказу ООН, представлял собой модель типа затраты - выпуск, в которой весь мир был поделен на 15 регионов. В. В. Леонтьев стремился реалистически оценить перспективы мировой экономики до 2000 г., ее потребности в основных видах сырья, потоки товаров и капиталов между группами развитых и развивающихся стран. Это была работа, беспримерная как по объему используемой статистики, так и применения вычислительной техники.
Статистико-аналитические исследования такого типа представляют собой поиск путей к всемирной экономической интеграции (глобализация), и, может быть, к программированию мировой экономики и международных экономических связей. Главная задача — разрабатывать пути в сфере производства и обмена, способные помочь в движении к цели.
Помимо Нобелевской премии, Леонтьев был также возведен в звание офицера Почетного легиона Франции. Кроме того он — член американской Национальной академии наук, Американской академии наук и искусств. Британской академии и Королевского статистического общества в Лондоне. Он также занимал пост президента Эконометрического общества в 1954 г. и Американской экономической ассоциации в 1970 г. Среди прочих ему присвоены почетные докторские степени университетов Брюсселя, Йорка, Лувена, Парижа, Петербурга.
Леонтьев неоднократно бывал в СССР и поддерживал тесные творческие отношения с Центральным экономико-математическим институтом (Москва), Государственным Московским университетом, выступал и имел творческие встречи в Госплане, ЦСУ, Центральном банке СССР.
СССР постоянно находились в сфере его интересов и внимания, что он поддерживал тесные контакты с российскими учеными и по мере сил помогал им. Леонтьеву было очень приятно знать, насколько его ценят и уважают в России.
Прежде всего, отметим, что с точки зрения общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:
· рассматривается экономика, состоящая из так называемых "чистых" отраслей, то есть, когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;
· взаимосвязь между выпуском и затратами имеет линейную зависимрсть и описывается линейными уравнениями;
· вектор спроса на товары считается заданным, то есть в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;
· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, то есть отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;
· равновесие понимается как весьма строгое равенство спроса и предложения, то есть стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.
Конечно в зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между различными отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (то есть производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде.
Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", то есть выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их совсем не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.
Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою и только свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
В основу схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт, всё народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей (имеются ввиду чистые отрасли), при этом каждая фигурирует как производящая и как потребляющая.
А теперь рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса.
Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещённые на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются хij, где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так величина х23 понимается как стоимость результатов производства, произведённых в отрасли с номером 2 и потреблённых в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3. таким образом первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования на потребление и накопление. В таблице этот раздел представлен, укрупнено в виде одного столбца величины Yi; в развёрнутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан, дифференцировано по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и т.д.
Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода на фонд потребления и фонд накопления (совершенно по Марксовым схемам), структуру накопления и потребления по отраслям производства и потребителям.
Третий квадрант МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (cij) и чистой продукции (vj + mj) некоторой j-той отрасли называют условно чистой продукцией этой отрасли дальнейшем обозначим её как Zj.
Четвёртый квадрант баланса находиться на пересечении второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства и многие другие аналитические показатели.
Например, данные четвёртого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.
Особенно важным является то, что итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу. Таким, образом, в целом межотраслевой баланс (МОБ) в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и расходов населения.
Следует отметить, что хотя валовая продукция не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она все же представлена на схеме баланса в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов то есть для проверки самого баланса, так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса. При этом выделяют два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющиеся основой его экономико-математической модели:
Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
Хi = ∑хij +Zj; j=1,..n. (36)
В результате это соотношение отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.
Во-вторых, рассматривая схему по строкам для каждой производящей отрасли, можно увидеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:
Xi = ∑xij + Yj; i=1,..n. (37)
Эта формула описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования. Просуммировав по отраслям уравнения, в результате получим:
∑Xj = ∑∑xij + ∑Zj (38)
При этом аналогичное суммирование уравнений даст следующее:
∑Xi = ∑∑xij + ∑Yi (39)
Заметим, что левые части равенств естественно равны, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств соответственно также равны, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться и соблюдается соотношение:
∑Zj = ∑Yi (40)
Левая часть уравнения это есть сумма третьего квадранта, а правая часть – это итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.
Основу информационного (статистического) обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет технологическая таблица – таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:
aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n) (41)
Итак, коэффициент прямых материальных затрат показывает, важнейшую информацию - какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли (то есть плановые нормативы).
С учётом формулы систему уравнений баланса можно переписать в виде:
Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,(i = 1, 2,...,n) (42)
или
Xi= ∑aijXj+Yi (43)
если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:
|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 || || x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 ||X = || ... ||, A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || , || xn || || a1n a2n ... ann || || yn || (44)
то система уравнений в матричной форме примет вид:
X=AX+Y (45)
данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему и называют моделью "затраты - выпуск”.
С помощью этой модели можно выполнять как минимум три варианта расчетов:
- задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):
Y= (E-A)X (46)
(при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).
- задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
X=(E-A) Y (47)
(при этом (E-A)-1 обозначает матрицу, обратную (E-A)).
- для ряда отраслей можно задать величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта гораздо удобнее пользоваться не матричной формой модели, а системой линейных уравнений.
Итак, важная и основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Переписав матричное уравнение в виде: (E - A) X = Y, справедливо сделать следующие выводы: Если матрица (E - A) невырожденная (то есть если ее определитель не равен нулю), тогда имеем: X = (E - A) -1 Y. Обозначим обратную матрицу В = (E - A)-1 Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. Тогда в матричной форме уравнение теперь запишется как:
X=BY (48)
Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:
Xi =∑biYj, I=1…n (49)
В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты абсолютно всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. И это очень важно. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:
|| 1 || || 0 || || 0 || || 0 || || 1 || || 0 ||Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,..., Yn = ||... || . || 0 || || 0 || || 1 || Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:
||s11|| ||s12|| ||s1n|| ||s21|| ||s22|| ||sn2||Y1 = ||.. .||, Y2 =||... ||, ..., Yn = ||... ||. ||sn1|| ||sn2|| ||snn|| (49, 50)
Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij. Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом В.В. Леонтьева, нужно определить, насколько продуктивна матрица. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y.
В этом случае и модель В.В. Леонтьева называется продуктивной. Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем, хотя бы для одного из столбцов сумма элементов, строго меньше единицы. Но данное условие является всего лишь только достаточным. К необходимым же и достаточным условиям относят следующие (11,241):1. матрица (E-A) неотрицательно обратима, то есть обязательно существует обратная матрица (E-A) ≥0;2. матричный ряд E + A +A²+A³ +…=∑ Aκ сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A); Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.
Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, то есть такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени (временная выборка). Такие модели могут разрабатываться лишь как база для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами (нет интерполяции или экстрополляции).
Народнохозяйственная динамика здесь отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений, прежде всего, следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях никак не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений.
Капиталовложения и инвестиции вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, то есть включены в конечный продукт.
Естественно в процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на «гибкие» коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось информационное и компьютерное обеспечение.
В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, а также установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.
В рассматриваемой ниже динамической модели (которая является развитием статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели, приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.
Ниже приведена схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса.
Таблица 9. Динамическая модель МОБ
| Производ. отрасли | Потребляющие отрасли | |||||||||
| Межотр. потоки текущих затрат | Межотрас потоки капитальных вложений | Конечный продукт | Валовой продукт | |||||||
| … | n | . | n | |||||||
| 1 x11 x12… x1n ∆Ф11∆Ф12 … ∆Ф1n Y1 X1 2 x21 x22 …x2n ∆Ф2 ∆Ф22 … ∆Ф2n Y2 X2 … . . … . . . … . . . n xn1 xn2 … xnn ∆Фn1 ∆Фn2 … ∆Фnn Yn Xn | ||||||||||
Квк видим в модели имеется две матрицы межотраслевых потоков. Первая это матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статического баланса. Элементы второй матрицы ∆Фij показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных и других основных средств.
Для сравнения, в статическом балансе потоки капиталовложений отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-той отрасли, идущую в потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, а также на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса:
∑∆Фij + Yi’= Yi (51)
поэтому уравнение распределения продукции преобразуется в динамическом балансе в следующую форму:
Xi =∑xij +∑∆Фij + Yi’ i=1…n (52)
Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как и в статической модели через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:
xij = aijXj (53)
полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать (54):
∆Фij =φij∆Xj i,j =1…n (54)
φij – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности строго используются полностью и прирост продукции поэтому равен приросту мощности. Коэффициенты φij называются коэффициентами вложений, или же коэффициентами приростной фондоёмкости.
Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:
||φ11 φ12 … φ1n ||
||φ21 φ22 … φ2n ||
(φij) =
|| . . … . ||
||φn1 φn2 … φnn ||
Рисунок 66.
Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт огромный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.
Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов вложений φij систему уравнений можно представить и в следующем виде:
Xi = ∑aijXj + ∑φij∆Xj + Yi’ i=1…n (55)
Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду времени t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-м периодом:
Xi(t) = ∑aijXj(t) + ∑φij(Xj(t) – Xj(t-1)) + Yi’(t) (56)
Отсюда легко можно записать следующие соотношения:
Xi(t) = ∑(aij+ φij) Xj(t) - ∑φij Xj(t-1) + Yi’(t) , i=1…n (57)
Предположим, что нам известны уровни валовой продукции всех отраслей в предыдущем периоде (величины Xj(t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-го периода времени.
Таким образом, решение динамической системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φij, которые характеризуют фондоёмкость единицы прироста продукции.
Эти более сложные по своему экономическому содержанию выводы из анализа динамической модели В. В. Леонтьева были опубликованы в форме дифференциальных уравнений в СССР в 1958 г. книге «Исследование структуры американской экономики».
Нужно отметить, что В. В. Леонтьев занимался разнообразными направлениями теоретического анализа и экономической политики.
Диапазон его научных интересов чрезвычайно широк: анализ теорий Маркса и Кейнса, математика в экономике, теории денег и цен, международная торговля, статистические индексы, механизм спроса и предложения, экономические циклы, машины и человек, эффективность концентрации производства, экономическая оценка и выбор направлений технического прогресса, отношения между развитыми и развивающимися странами, экономика и планирование в СССР.
Перечень трудно завершить. Эти исследования В. В. Леонтьев обобщил в двух томах «Экономических эссе», вышедших в 1966 и 1977 гг., а затем переведенных на французский, испанский, итальянский, японский, венгерский языки. В 1990 г. «Экономические эссе» были опубликованы на русском языке.