Математические модели задачи фирмы 7 страница

Даже на житейском уровне, очевидно, что второй вариант получения доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это происходит потому, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пущена в оборот и, таким образом, может принести дополнительные доходы. На первый взгляд, такой вывод очевиден и не требует каких-то специальных знаний, однако проблема выбора моментально усложнится, если немного изменить условие задачи; например, доходы таковы: в первый год 4 млн. руб., а во второй - 5 млн. руб. В этом случае уже не очевидно, какой вариант предпочтительнее. Приведенный пример можно усложнять и дальше, вводя дополнительные условия: инфляция, стохастичность величины доходов, выплачиваемых единовременно и периодически, оказание дополнительных услуг и т.п.

6.2 Операции наращения и дисконтирования

Проблема «деньги - время» не нова, поэтому уже разработаны удобные модели и алгоритмы, позволяющие ориентироваться в истинной цене будущих дивидендов с позиции текущего момента. Коротко охарактеризуем их в теоретическом и практическом аспектах.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

темп роста , (1.1)

темп снижения (1.2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт». Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:

или

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1.1) - исходная сумма, в формуле (1.2) - возвращаемая сумма.

Как же соотносятся между собой эти показатели? Очевидно, что , а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени:

- если , то , т.е. расхождение сравнительно невелико;

- если , то , т.е. расхождение существенно.

В прогнозных расчетах, в частности, при оценке инвестиционных проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой, хотя обычно это не оговаривается. Объяснение этому может быть, например, таким:

· Во-первых, анализ инвестиционных проектов, основанный на формализованных алгоритмах, может выполняться лишь в относительно стабильной экономике. Т.е. когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз или на порядок (как это имело место в России в переходный период от централизованно планируемой экономики к рыночной экономике). Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные, главным образом, на неформализованных критериях. При разумных значениях ставок расхождения между процентной и дисконтной ставками, как мы видели, относительно невелики и потому в прогнозных расчетах вполне может быть использована любая из них.

· Во-вторых, прогнозные расчеты не требуют какой-то повышенной точности, поскольку результатами таких расчетов являются ориентиры, а не «точные» оценки. Поэтому, исходя из логики подобных расчетов, предполагающих их многовариантность, а также использование вероятностных оценок и имитационных моделей, излишняя точность не требуется.

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.

Необходимо отметить, что в качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1.1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1.1):

и ,

то видно, что время генерирует деньги.

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.

Например, предприятие получило кредит на один год в размере 5 млн. руб. с условием возврата 10 млн. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, а дисконт - 50%.

6.3. Процентные ставки и методы их начисления

6.3.1 Понятие простого и сложного процента

Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудо-заемных операций заложены простейшие, на первый взгляд, схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условии финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

- схема простых процентов (simple interest);

- схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину . Таким образом, размер инвестированного капитала R (рассчитанный по схеме простых процентов) через n лет будет равен:

(2.1)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала F (рассчитанный по схеме сожных процентов) будет равен:

- к концу первого года: ;

- к концу второго года: ;

- к концу n-го года: . (2.2)

Как же соотносятся величины и ? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. С помощью метода математической индукции легко показать, что при , . Таким образом:

, при ; и , при ;

Взаимосвязь и можно представить в виде графика (рис 2.1).

Рисунок 2.1 Простая и сложная схемы наращения капитала

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

- более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года, (проценты начисляются однократно и в конце периода);

- более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

- обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

Например, требуется рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн. руб. при размещении её в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если

- годовая ставка 20%;

- периоды наращения: 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет.

Результаты расчетов имеют следующий вид:

(млн.руб.)

Схема начисления	90 дней (n=1/4)	180 дней (n=1/2)	1 год (n=1)	5 лет (n=5)	10 лет (n=10)
Простые проценты (Rn)	1,050	1,100	1,200	2,000	3,000
Сложные проценты (Fn)	1,047	1,095	1,200	2,490	6,190

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов - 1,05 млн.руб.; при использовании схемы сложных процентов - 1,0466 млн.руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница - 3,4 тыс.руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально - более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов - менее чем за четыре года.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц - 30 дней; квартал - 90 дней; полугодие - 180 дней; год - 360 (или 365) дней.

Например, выдана ссуда в размере 5 млн.руб. на один месяц (30 дней) под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:

=5 542 млн. руб.

6.3.2 Области применения схемы простых процентов

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы начисления процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.

, или , (2.4)

где r - годовая процентная ставка в долях единицы;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т - количество дней в году;

L - относительная длина периода до погашения ссуды.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

- точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

- обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

- принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

- принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для высокосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.

В случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:

- обыкновенный процент с точным числом дней;

- обыкновенный процент с приближенным числом дней;

- точный процент с точным числом дней.

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции. Например, предоставлена ссуда в размере 5 млн. руб. 25 января с погашением через шесть месяцев (25 июля) под 60% годовых (год невысокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года: 206 ‑ 25 = 181 дн. Приближенное число дней ссуды равно: 5 дней января (30 ‑ 25) + 150 (по 30 дней пяти месяцев: февраль, март, апрель, май, июнь) + 25 (июль) = 180 дн.

Возможные варианты возврата долга:

1. в расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

млн.руб.

2. в расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

млн.руб.

3. в расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:

млн.руб.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его учесть, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы (1.2):

, или (2.5)

где L - относительная длина периода до погашения ссуды.

Например, векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.2005 г. Вексель предъявлен 13.09.2005 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумма, которую векселедержатель может получить от банка, рассчитывается по формуле (2.5) и составит:

млн.руб.

Разность между величинами FV и PV представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, за предоставленную услугу; в данном примере она составила 156 тыс. руб.

Можно выполнить и более глубокий факторный анализ. Доход банка при учете векселей складывается из двух частей: проценты по векселю, причитающиеся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за предоставленную услугу.

Как уже упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк считает целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. Поскольку величина процентов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки.

6.3.3 Внутригодовые процентные начисления

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

(2.6)

где r - объявленная годовая ставка;

m - количество начислений в году;

k - количество лет.

Рассмотрим следующий пример. В банк вложены деньги в сумме 5 млн. руб на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов за два года производится четыре раза по ставке 10% , а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Период, мес.		Начальная сумма		Ставка, в долях		Сумма с начислением
6 (1/2 года)		5,000	·	1,1	=	5,500
12 (1 год)		5,500	·	1,1	=	6,050
18 (1,5 года)		6,050	·	1,1	=	6,665
24 (2 года)		6,655	·	1,1	=	7,3205

Если пользоваться формулой (2.6), то m = 2, k = 2, r =0,2 следовательно:

млн. руб.

В условиях предыдущей задачи проанализируем, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% , а сумма к концу двухлетнего периода составит:

млн. руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

- при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

- чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

6.3.4 Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов: по схеме сложных процентов:

(2.7)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года):

(2.8)

где: w - целое число лет;

f - дробная часть года.

Поскольку f < 1, то , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (2.7): млн. руб.

По формуле (2.8): млн. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

- схема сложных процентов:

(2.9)

- смешанная схема:

(2.10)

где k- количество лет;

m - количество начислений в году;

r - годовая ставка;

f - дробная часть подпериода.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализируем, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

· Годовое начисление процентов.

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (2.7) и (2.8) и значениями соответствующих параметров: w = 2; f = 0,25; r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

млн. руб.

· Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (2.9) и (2.10), когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k = 2; f = 0,5; m = 2; r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

млн. руб.

· Квартальное начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов (2.2), в которой n = 9, а r = 0,16/4 = 0,04.

млн.руб.

6.3.5 Эффективная годовая процентная ставка

Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких контрактов необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка r_e, обеспечивающая переход от Р к F_n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной величины F₁. Требуется найти такую годовую ставку r_e, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. m = 1. Иными словами, схемы {Р, F₁, r, m >1} и {Р, F₁, r_e, m = 1} должны быть равносильными.