Расчётные параметры сетевого графика

Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Ранний срок свершения события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем a :

.

Поздний срок свершения события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

.

Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, с учетом соотношения

Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв :

Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. Для всех работ на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели:

Ранний срок начала -

Ранний срок окончания -

Поздний срок окончания -

Поздний срок начала -

Полный резерв времени -

Независимый резерв -

где

Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие - начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

Путь характеризуется двумя показателями - продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

Резерв определяется как разность между длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения следует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ.

Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размерности ), либо в таблице.

Рассмотрим последний указанный способ для расчета СМ, которая представлена на Рис. 1; результаты расчета приведены в табл. 1

Перечень работ и их продолжительность поместим во вторую и третью графы табл.1. При этом работы следует последовательно записывать в гр. 2: сперва начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т.д.

Кпр	(i,j)	t(i,j)	tpн(i,j)= tp	tpo(i,j)	tnн(i,j)	tno(i,j)= tn	Rn	Rн	Кн
				5=4+3	6=7-3
	(1,2)
	(2,3)								0,67
	(2,4)
	(2,5)								0,44
	(3,7)								0,67
	(4,5)
	(4,6)								0,47
	(4,9)								0,67
	(5,8)								0,78
	(5,10)
	(6,9)								0,38
	(6,11)								0,38
	(7,10)								0,67
	(8,10)								0,78
	(9,10)								0,67
	(10,11)

Таблица 1 Расчет основных показателей сетевой модели

В первой графе поставим число , характеризующее количество работ, непосредственно предшествующих событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Для работ, начинающихся с номера «1», предшествующих работ нет. Для работы, начинающейся на номер «k», просматриваются все верхние строчки второй графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера «k». Например, для работы (5,8) в гр. 1 поставим цифру 2, так как в гр. 2 на номер 5 оканчиваются две работы: (2,5) и (4,5).

Заполнение таблицы начинается с расчета раннего срока начала работ. Для работ, имеющих цифру «ноль» в первой графе, в гр. 4 также заносятся нули, а их значение в гр. 5 получается в результате суммирования гр. 3 и 4. В нашем случае таких работ только одна - (1, 2), поэтому в гр. 4 в соответствующей ей строке проставим 0, а в гр. 5 - 0+6 = 6.

Для заполнения следующих строк гр.4, т. е. строк, начинающихся с номера 2, просматриваются заполненные строки гр. 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в гр. 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем можно судить по гр. 1. Цифру 6 из гр. 5 переносим в гр.4 для всех работ, начинающихся с номера 2, т. е. в три последующие строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2, 5). Далее для каждой из этих работ путем суммирования их значений гр. 3 и 4 сформируем значение гр.5.:

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.

Графы 7 и 6 заполняются «обратным ходом», т. е. снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из гр. 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в гр. 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу ). В рассматриваемом случае Затем для этих строчек находится содержимое гр. 6 как разность между гр. 7 и 3 Имеем:

Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое непосредственно предшествует завершающему событию (10). Для определения гр. 7 этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваются все строчки гр. 6, лежащие ниже и начинающиеся с номера 10.

В гр. 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в гр. 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна - (10,11), поэтому заносим во все строки указанных работ цифру «24». Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по гр. 6 и 7.

Содержимое гр. 8 равно разности гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5 . Гр. 9 проще получить, воспользовавшись формулой.

Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь

а дня.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который вычисляется по формуле:

,

продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем, чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы:

напряженные

подкритические

резервные

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ. Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5),(5,10),(10,11) . Для других работ:

= 1 - (6: (33 - (6 + 9)) = 1- 0,33 = 0,67,

= 1 - (5: (33 - (6 + 3 + 9)) = 1 - 0,33 = 0,67,

= 1 - (2: (33 - (6 + 3 + 6 + 9)) = 1 - 0,22 = 0,78 и т.д.

В соответствии с результатами вычислений для остальных работ, которые представлены в последней графе табл.1, можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных работ: (6,11) и (2,5).

§8. Сетевое планирование в условиях неопределенности

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки - минимальная и максимальная.

Минимальная (оптимистическая) оценка характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) - при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение оценивается по формуле (при -распределении плотности вероятности):

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом - лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа использованием формулы:

где нормированное отклонение случайной величины: , где - среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

Соответствие между z и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл. 2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используется формула:

.

z		z
0,1	0,0797	1,5	0,8664
0,2	0,1585	1,6	0,8904
0,3	0,2358	1,7	0,9104
0,4	0,3108	1,8	0,9281
0,5	0,3829	1,9	0,9545
0,6	0,4515	2,0	0,9643
0,7	0,5161	2,1	0,9722
0,8	0,5763	2,2	0,9786
0,9	0,6319	2,3	0,9836
1,0	0,6827	2,4	0,9876
1,1	0,7287	2,5	0,9907
1,2	0,7699	2,6	0,9931
1,3	0,8064	2,7	0,9949
1,4	0,8385	2,8	0,9963

Таблица 2. Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения

Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.

Построение сетевой модели

Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в табл. 3. Требуется:

а) получить все характеристики СМ;

б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;

в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т. е. ).

Три первые графы табл. 3. содержат исходные данные, а две последние графы - результаты расчетов по формулам. Так, например,

,

,

,

……………………………….

,

,

.

Работа	Продолжительность	Ожидаемая	Дисперсия
			Продолжительность
(1.2)		7.5		0.25
(2.3)		6.5		0.25
(2.4)				1.00
(2.5)		5.5		0.25
(3.7)	0.5	3.5		0.36
(4.5)		7.5		0.25
(4.6)		5.5		0.25
(4.9)				1.00
(5.8)		4.5		0.25
(5.10)				1.00
(6.9)				0.00
(6.11)				1.00
(7.10)				1.00
(8.10)				1.00
(9.10)				1.00
(10.11)		10.5		0.25

Получим сетевую модель аналогичную рассматриваемой во второй главе:

Таким образом, ход расчета характеристик модели остается аналогичен рассмотренному ранее. Причём критическим является путь: , а его продолжительность равна дня.

Дисперсия критического пути составляет:

Для использования формулы показателя дисперсии необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е. Тогда

,

Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней - всего 3,5% .

Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл.2 найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95% . В графе наиболее близкое значение (0,9545 100%) к ней соответствует . В этой связи в формуле (3.61) используется именно это (не совсем точное) значение. Получаем:

дня.

Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности составляет 36,2 дня.

Составим словесно-формульное описание алгоритма

1. Начало процесса.

2. Ввод данных

3. Организация цикла

4. Вычисление для каждого значения работы:

.

5. Завершение цикла.

6. Вычисление дисперсии критического пути .

7. Вычисление вероятности выполнения работ за 35 и 30 дней

,

8. Организация цикла для нахождения .

9. Завершение цикла.

10. Вычисление срока выполнения всего комплекса работ .

11. Вывод результатов.

12. Конец процесса.