Повторные независимые испытания

Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два (“успех” и “неуспех”). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность “успеха” в каждом из испытаний неизменна и равна p, т.е. вероятность “неуспеха” также неизменна и равна q = 1 - p . Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с вероятностью “успеха” - выпадения “орла” - равной 0,5); последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью “успеха” - попадания - в каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т. д.

Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k “успехов”

(о вычислении числа см. §4).

Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут ровно 2 “четверки”, равна

Здесь p - вероятность выпадения “четверки” в одном броске - равна 1/6, q = 5/6 , общее число испытаний n = 4 , число “успехов” k = 2 .

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания?

Здесь n = 5 , k = 3 , q = 1 - p = 0,4 ,

.

Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. 6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых?

Пусть “успех” состоит в том, что вынут белый шар. Тогда p= 4/6 = 2/3 ( из 6 шаров 4 белых ), q = 1 - p = 1/3 . По условию n= 6 , k = 5 или k = 6 , откуда искомая вероятность

.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле?

Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2 : там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Искомое событие является произведением двух следующих (независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В={в пятом выстреле попадание}. P(A) вычисляется по формуле Бернулли

,

a P(B) = p = 0,6 . Поэтому искомая вероятность равна

В общем случае вероятность того, что к-й “успех” произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна

.

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания?

Мы знаем, что Р₅(0) + Р₅(1) + Р₅(2) + Р₅(3) + Р₅(4) + Р₅(5) = 1. В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых:

Заметим, что проще воспользоваться вероятностью противоположного события:1- P₅(0)-P₅(1)=1-0,4⁵-5 0,4⁴ 0,6 = 0,91296.

§12. ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ

Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты

,

и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона.

Формула Лапласа ( локальная теорема Лапласа )

, ,

тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q - те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция j(x) четная: j(-x) = j(x) . Она быстро убывает: считают, что при x > 4 j(x) = 0. Таблица, позволяющая вычислять значения функции j(x), имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем, можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию е^х).

Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 “орлов” при 100 бросках монеты Р₁₀₀(50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n = 100 ,k = 50 ,p=0,5, q = 0,5 , k - np = 0 , и

.

Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 “орлов” при 100 бросках монеты.

При решении подобных задач ( при n > 15 ) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Р_n(k₁,k₂) появления события в n испытаниях от k₁ до k₂ раз

Здесь n, p, q те же, что и в примере 1 : n=100 , p = q =0,5 , k₁=47 , k₂ = 57 .

Функция F вычисляется с помощью таблиц ( см. приложение ).

Функция Ф(x) нечетная: Ф(-х) = - Ф(х) . При х > 5 считают, что Ф(х) = 0,5.

Итак, Р₁₀₀(47,57) = Ф(1,4) + Ф(0,6). По таблице Ф(1,4) = 0,4192, Ф(0,6) = 0,2257 , поэтому Р₁₀₀(47,57) = 0,6449.

При небольших значениях вероятности p ( меньших 0,1 ) и больших значениях n более точный результат дает другая приближенная формула - формула Пуассона

, l = np

l называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает “закон редких явлений” (т. к. p мало).

Пример 3. Первый черновой набор “Методических указаний” на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки?

Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 1/50 = 0,02 , число испытаний ( опечаток ) n = 100 . Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром l = np = 2 . Вероятность того, что опечаток нет

( т.к. 0! = 1 )

Другие вероятности

, .

Как видим, наибольший коэффициент при е^-2 у Р₁₀₀(1) и Р₁₀₀(2).

Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность .

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 3