Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы

финансовых расчетов. Базовая финансовая операция это кредитование. Субъекты банковског рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с обязательным условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами).

Итак обозначим:

P - ссуда;

S – ссуда с наращением (с процентами);

I – процент;

I = S – P; (190)

i = = – годовая ставка процента, в данном случае это ставка наращения.

Обратим внимание на некоторую некорректность названия величины I – «процент». На самом же деле I – это величина наращения ссуды и она измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но уж такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.

Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i.

S = P(1 + i ). (191)

Приведенная нами формула для S справедлива только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время.

Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя на практике возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, и даже день, на которые может

Устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита.

Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, и по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. Правда в разных странах бывает по разному.

Обозначим:

T – срок ссуды в днях;

T – количество дней в году;

n = – срок ссуды в годах.

Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ

обозначается (365/365), а второй - (360/360). Возможны и перекрестные

Способы. В любом случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, так как от этого зависит величина процентов.

Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Принято различать простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные же проценты являются показательной функцией от времени, где время входит в показатель степени.

Итак простые проценты:

Выше нами была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год:

S = P(1 + i). (192)

Выведем формулу наращения для любого произвольного срока ссуды, измеренного в годах

S1, S2, S3 – ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно будет.

S1 = P(1 + i) = P + Pi = P + I1. (193)

Применим метод индукции.

S2 = P(1 + 2i); S3 = P(1 + 3i). (194)

Очевидно, что за n лет Sn = P(1 + ni). (195)

In = Pni – проценты за n лет.

Очевидно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n.

Нам уже очевидно, что они будут справедливы и для любых дробных

Значений n как меньше, так и больше.

Например, нужно вычислить проценты за месяц по

приближенному методу (360/360).

Тогда n= и Iмес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360)

равны Pi / 360. Во всех формулах i – годовая ставка процента.

При значительных сроках ссуды иногда принято применять так называемую переменную ставку – напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

t = 1,...,m – номера временных интервалов с различными процентными ставками; nt – продолжительность t–го интервала в годах;

it – годовая ставка наращения в t–ом интервале.

S = P (1 + n1i1 + ... + nmim) = P (1 + ). (194)

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину самого последнего платежа. Для этого используют два метода, которые называются - актуарный и метод торговца.

Обозначим:

Р – ссуда;

t = 1,...,m – номера платежей;