Системы эконометрических уравнений

Сложные системы и процессы в них, как правило, описываются не одним уравнением, а системой уравнений. При этом между переменными имеются связи, так что по крайней мере некоторые из таких связей между переменными требуют корректировки МНК для адекватного оценивания параметров модели (параметров системы уравнений). Удобно сначала рассмотреть оценивание системы, в которой уравнения связаны только благодаря корреляции между ошибками (остатками) в разных уравнениях системы. Такая система называется системой внешне несвязанных между собой уравнений :

(6.1)

В такой системе каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов; правда, этот набор факторов вовсе не обязан быть представлен весь целиком во всех уравнениях системы, а может варьировать от одного уравнения к другому. Можно рассматривать каждое уравнение такой системы независимо от остальных и применять для оценивания его параметров МНК. Но в практически важных задачах описываемые отдельными уравнениями зависимости представляют объекты и взаимодействие между этими объектами, которые находятся в одной общей среде. Наличие этой единой экономической среды обусловливает взаимосвязи между объектами и соответствующее взаимодействие, за что отвечают в данном случае остатки (корреляция между ошибками). Поэтому объединение уравнений в систему и применение обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) для ее решения существенно повышает эффективность оценивания параметров уравнений.

Более общей является модель так называемых рекурсивных уравнений , когда зависимая переменная одного уравнения выступает в роли фактора х, оказываясь в правой части другого уравнения системы. При этом каждое последующее уравнение системы (зависимая переменная в правой части этих уравнений) включает в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором их собственных факторов х. Здесь опять каждое уравнение системы может рассматриваться независимо, но тоже эффективнее рассматривать взаимосвязь через остатки и применять ОМНК:

(6.2)

Наконец, общим и самым полным является случай системы взаимосвязанных уравнений . Такие уравнения еще называют одновременными, или взаимозависимыми. Также это система совместных одновременных уравнений. Здесь уже одни и те же переменные рассматриваются одновременно как зависимые в одних уравнениях и независимые — в других. Такая форма модели называется структурной формой модели . Теперь уже нельзя рассматривать каждое уравнение системы по отдельности (как самостоятельное), так что для оценки параметров системы традиционный МНК неприменим!

(6.3)

Для этой структурной формы модели существенное значение получает деление переменных модели на два класса: эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (внутри самой системы) и обозначаются у; экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы и обозначаются как х. Кроме того, вводится также понятие предопределенных переменных . Под ними понимаются экзогенные переменные системы и лаговые эндогенные переменные системы (лаговые — это переменные, относящиеся к предыдущим моментам времени).

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели . Можно представить систему (модель) в другой форме: записать ее как систему, в которой все эндогенные переменные линейно зависят уже только от экзогенных переменных. Иногда практически то же формулируют несколько более общим образом — требуют, чтобы эндогенные переменные линейно зависели только от всех предопределенных переменных системы (т.е. экзогенных и лаговых эндогенных переменных системы). В любом из этих двух случаев такая форма называется приведенной формой модели . Приведенная форма уже ничем внешне не отличается от системы независимых уравнений:

(6.4)

Ее параметры оцениваются по МНК . После чего несложно оценить и значения эндогенных переменных с помощью значений экзогенных. Но коэффициенты приведенной формы модели являются нелинейными функциями коэффициентов структурной формы модели. Таким образом, получение оценок параметров структурной формы модели по параметрам приведенной формы технически является не столь уж простым.

Нужно отметить также, что приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме модели, т.к. именно в последней имеется взаимосвязь между эндогенными переменными. В приведенной форме модели отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. С другой стороны, в структурной форме модели в полном виде имеется большее количество параметров, чем в приведенной. И это большее количество параметров, которые требуется определить по меньшему числу определяемых в приведенной форме параметров, невозможно однозначно найти, если только не ввести определенные ограничения на сами структурные коэффициенты.

Описанная только что наиболее общая модель — система взаимозависимых уравнений — получила название системы совместных одновременных уравнений . Эта структурная форма модели подчеркивает, что в такой системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые — в других. Важным примером такой модели служит следующая простая модель динамики и заработной платы:

. (6.5)

В этой модели левые части первого и второго уравнений системы — это темп изменения месячной заработной платы и темп изменения цен. Переменные в правых частях уравнений: x₁ — процент безработных, x₂ — темп изменения постоянного капитала, x₃ — темп изменения цен на импорт сырья.

Что касается структурной модели, то она позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Поэтому следует в качестве экзогенных переменных выбирать такие, которые могут быть объектом регулирования. Тогда меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменные .

Таким образом, существуют две различные формы моделей, которые описывают одну ситуацию, но имеют определенные преимущества в контексте решения различных проблем, различных аспектов этой ситуации. Следовательно, нужно уметь устанавливать и поддерживать должное соответствие между этими двумя формами моделей. Так, при переходе от структурной формы модели к приведенной возникает проблема идентификации — единственности соответствия между приведенной и структурной формами модели. По возможности идентифицируемости структурные модели делятся на три вида.

4.2.