В статистической практике наиболее широко используют

следующие теоретические распределения:

• Биномиальное распределение – для описания распределения

Дискретного альтернативного признака. Оно представляет собой

Распределение вероятности исходов события, которые можно оценить как

Положительные или отрицательные.

• Распределение Пуассона - для изучения маловероятных

Событий в большой серии независимых испытаний (объем совокупностей

n ≥ 100 , доля единиц, обладающих данным признаком q ≤ 0,1). Например,

Количество бракованных деталей в массовом производстве, число отказов

автоматических линий – т.е. в статистическом контроле.

Вероятность появления таких событий подчиняется n P закону

Пуассона – «закону редких событий»:

n!

P e

n

n

λ ⋅ −λ

= ,

Где n P - вероятность события при одном испытании;

N - частота данного события

λ = n⋅ p - среднее число появления события в одинаковых условиях;

e = 2,72 - основание натурального логарифма.

Распределение Пуассона обычно применяется в статистическом

Контроле качества в массовом производстве.

• Распределение Максвелла применяется при исследовании

Признака, для которого заранее известно, что распределение имеет

Положительную асимметрию. Чаще всего Распределение Максвелла

Используется при описании технологических характеристик

Производственных процессов.

• Распределение «Стьюдента» применяют для описания

Распределения

ошибок в малых выборках ( n <30).

Плотность распределения ошибок малой выборки определяется как:

+

⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

= ⋅ +

k

T k

ϕ A t ,

Где

~

⋅ −

−

=

S n

T x x - отношение Стьюдента,

S– выборочное среднее квадратическое отклонение,

x ~

- выборочная средняя;

K=n-1- число степеней свободы при определении выборочной

Дисперсии,

K k

k

A

⋅ ⋅ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +

⋅

=

γ π

γ

,

γ – значение γ_ функции.

Распределение Стьюдента используется только при оценке

Ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным

Распределением признака.

• Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Применяется для описания распределения признаков, на которые

Действуют множество независимых факторов, среди которых нет

Доминирующих.

Функция нормального распределения выглядит следующим

образом:

( )

'( ) 1 σ

σ π

ϕ

X x

X e

−

−

⋅

⋅

= ,

где ϕ '(x) - относительная плотность распределения (ордината кривой

Нормального распределения);

π =3,14, e = 2,72 - математические константы;

X - среднее значение признака в распределении;

σ- среднее квадратическое отклонение.

Для конкретного распределения среднее значение признака x и

среднее квадратическое отклонение σ являются постоянными величинами.

Графически нормальное распределение может быть представлено в

виде симметричной колоколообразной кривой (рис. 5.6):

Рис. 5.6. Нормальное распределение

К основным свойствам кривой нормального распределения

относятся:

• кривая распределения является одновершинной; координаты

вершины - {

σ 2π

; 1

⋅

x };

• кривая распределения симметрична относительно оси,

проходящей через центр распределения x = Mo = Me ;

• кривая имеет три точки перегиба: в вершине, на левой ветви

{

e

x

⋅ ⋅

−

σ π

σ

; 1 }, и на правой - {

e

x

⋅ ⋅

+

σ π

σ

; 1 };

Формат: Список

• кривая имеет две ветви, асимптотически приближающиеся к

Оси абсцисс, продолжаясь до бесконечности;

• если меняется значение x , кривая перемещается вдоль оси

Ординат, при этом форма кривой не меняется;

• если меняется значение σ , меняется форма распределения при

неизменном положении центра распределения: при уменьшении σ -

Уменьшается вариация, кривая становится более пологой, увеличивается

эксцесс; при увеличении σ - увеличивается вариация, эксцесс

Уменьшается;

• площадь, ограниченная кривой сверху и осью абсцисс снизу,

характеризует вероятность появления определенных значений признака:

если всю её принять за 100%, то в пределах x ±σ находится 68,3% всех

значений признака, в пределах x ± 2σ - 95,44% значений, в пределах x ± 3σ -

Значений признака.

Этот вывод называется правилом “трех сигм”, в соответствии, с