ІІІ. Решение типовых задач

(все типовые задачи решены для т=3 п=3)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Тема 1:
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Общие указания.

1. Решение задач этой темы основано на простейшей модели теории вероятностей для вычисления вероятностей. Данную модель называют «классической схемой»,а определение вероятности – формулой классической вероятности. В этой модели основным понятием является понятие элементарный исход (элементарное событие).

Например, в задаче 1.1 элементарный исход – извлеченная перчатка – черная (или бежевого цвета). Для вычисления вероятности по классической формуле применяют следующий алгоритм:

1. Уяснить, в чем состоит эксперимент.

2. Установить, являются ли исходы равновозможными и несовместными.

3. Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти (например, А – извлечена черная пара перчаток).

4. Определить пространство элементарных исходов и число его элементов - .

5. Подсчитать число исходов, благоприятствующих событию – N(А) (для события А).

6. Найти вероятность события А (или В, С,…), согласно формуле классического определения вероятности:

P(A)=

2. Кроме классического определения вероятности, при решении задач применяются основные формулы теории вероятностей теоремы сложения и умножения. Следует помнить, что при использовании формул сложения вероятностей нужно проверять несовместность (или совместность) событий, а при использовании формул умножения – независимость (или зависимость) событий. С этим связан правильный выбор формул, так как вычисление вероятностей искомых событий основано на составлении формул, выражающие эти события через элементарные события с помощью операций сложения, умножения и отрицания (противоположных событий), а затем применяются основные формулы.

Задача 1.1

В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток черного цвета и 5 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что извлечена черная пара перчаток – левая и правая; В – извлечена бежевая пара (левая и правая). Тогда событие С=А+В – извлеченные из ящика две перчатки одного цвета и образуют пару. А и В – несовместные события. Р(С)=Р(А)+Р(В) – формула сложения для несовместных событий. Вероятности Р(А) и Р(В) вычислим по формуле классического определения вероятности:

1) , где - число всех исходов (сколькими способами можно извлечь две перчатки из всего количества перчаток). - число благоприятных исходов (сколькими способами можно извлечь из черных перчаток две, образующих пару). Для подсчета и применяются формулы комбинаторики. В данном случае – сочетание

По условию задачи, в ящике 6 пар черных перчаток и 5 пар бежевых. Значит, всего перчаток l=(6+5)*2=22. Отсюда, – всего способов извлечь 2 перчатки из 22.

Найдем N(A). Так как левых 6 перчаток и правых 6, то по принципу умножения из комбинаторики . По классическому определению:

2) , где – тоже, что и для события A

(Пять способов выбрать левую бежевую и пять способов выбрать правую бежевую и по принципу умножения способов выбора левой и правой перчаток).

Тогда Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,156+0,108=0,264

Тренинг умений:[2]№№1,11,17,39,41

Задача 1.2

В урне находится 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) Ровно два белых шара;

б) Не менее двух белых шаров.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами:

Способ.

а) Пусть А – событие, что среди извлеченных три раза шаров окажется ровно два белых. Обозначим через В событие, что при однократном извлечении шар будет белым, тогда ему противоположное событие - шар будет черным. Событие А можно представить в виде:

, где

- первый и второй раз извлекли белый шар, а третий раз – черный;

– первый и третий раз извлекли белый, а второй раз черный;

– первый раз извлекли черный шар, а второй и третий раз – белый.

Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:

.

По условию задачи всего в урне: 3 белых +4 черных = 7 шаров.

Так как после извлечения и определения цвета шар возвращается в урну, то вероятность события В – извлечен белый шар постоянная в каждом испытании.

(всего шаров семь, благоприятствующих случаев 3 – белых). Тогда

и

б) Пусть С – событие, что среди извлеченных с возвращением три раза шаров не менее двух белых. Событие С можно представить в виде:

(А – среди извлеченных два белых, а – три раза извлекли белые шары). Снова применим теоремы сложения несовместных событий и произведения независимых событий:

Способ.

Как отмечали, что извлечение шаров с возвратом – независимые испытания и в каждом испытании вероятность события В – извлечен белый шар, постоянна (и при n=3 , ), то имеем испытания Бернулли. Вероятности можно вычислять по формуле Бернулли:

Здесь kозначает, что белый шар будет извлечен kраз из шаров, число сочетаний из поk.По условию задачи:

а) имеем:

,

б) вероятность того, что из трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых (т.е. два или три белых шара)

Тренинг умений:[2]№№46,49,66,78,80,110,119,125

Задача 1.3

В урне находиться 5 белых и 5 черных шаров. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что третий по счету извлеченный шар белый. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий:

– первый, второй и третий шары белые;

- первый шар черный, второй и третий белые;

- первый и второй шары черные, третий – белый;

- первый и третий шары белые, второй – черный.

А = + + +

По формуле суммы несовместных событий:

P(А) = P +P +P +P

В каждом слагаемом события между собой зависимы, так как шары после извлечения в урну не возвращаются.

По условию в урне 5 белых шаров и 5 черных шаров. Всего шаров 5+5=10. Будем использовать классическое определение вероятности и теорему умножения для зависимых событий:

(всего шаров 10, 5 – белых)

(после извлечения первого белого шара в урне остается 9 шаров, среди которых 4 белых)

(после извлечения первого и второго белых шаров, в урне осталось 8 шаров, среди которых 3 белых)

Таким образом имеем:

Аналогично рассуждая, получим:

Искомая вероятность:

Тренинг умений:[2]№№89,97106,107.

Тема 2:
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Общие указания.

Кроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории вероятностейи математической статистики изучают случайные величины – величины, которые в результате испытания принимают те или иные значения в зависимости от исхода испытания. Через понятия случайные события и случайная величина осуществляется связь с действительными числами.Для решения задач по теме 2. Случайные величинынужно уяснить:

1.Рассматриваются случайные величины двух типов – дискретные и непрерывные.

2. Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом распределения – таблицей, в которой перечислены все значения и вероятности, с которыми она принимает эти значения.

3. Универсальным способом задания случайной величины является функция распределения – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее произвольно выбранного значения действительного числа х:

,

где - пробегает все без исключения значения на действительной числовой оси ОХ.

4. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси ОХ. При изучении непрерывных случайных величин основным понятием является плотность вероятности:

.

5. При решении задач используются свойства закона распределения случайной величины, функции распределения и функции плотности .

6. Случайные величины удобно характеризовать с помощью нескольких числовых характеристик – определяющих свойства случайной величины. Это – параметры распределений. К основным из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Необходимо знать формулы для их вычисления как для дискретных, так и для непрерывных величин и вероятностный смысл каждого параметра.

7. Задачи 2.3 и 2.4 требуют знаний основных законов распределения случайных величин и их числовых характеристик: биноминальное, геометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное и нормальное распределения.

Задача 2.1

Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	3	6
	0,2	0,1	0,2

Найти вероятности р₄ , р₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание

Решение:

Для дискретной случайной величины справедливы формулы:

, , где k – число значений случайной величины

1. В рассматриваемой задаче указанные соотношения представляются системой уравнений с неизвестными и :

Для определения и в систему уравнений подставляем известные чи­словые значения:

Получим систему, решая которую определим и :

2. Дисперсия случайной величины Х находиться по формуле:

где математическое ожидание квадратов случайной величины; квадрат математического ожидания.

Тренинг умений:[2]№№188,192,210,215,218

Задача 2.2

Плотность распределения непрерывной случайной величины Xимеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины Xв интервал

г) математическое ожидание и дисперсию .
д) построить графики функций и .

Решение:

Используя свойства функций плотности и распределения, найдем:

а) Если все значения случайной величины принадлежат промежутку [ ], параметр а находиться из условия (условие нормировки)

Вычислим :

Отсюда, функция плотности распределения:

б) Функцию распределения находим по формуле:

.

При :

.

При :

При :

Функция распределения примет вид:

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал (4.5; 7) можно вычислить двумя способами:

1 способ:

. В условиях задачи

P(4,5<

2 способ:

По формуле:

; a=4,5; b=7

Тогда:

г) Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание находим по формуле:

М

Дисперсию вычисляем по формуле:

д)Строим графики и :

Тренинг умений:[2]№№262,267,275,280,295.

Задача 2.3

Случайные величины имеют геометрическое, биноминальное и пуассоновское распределения соответственно. Найти вероятности , если математические ожидания , а дисперсия .

Решение:

1.Случайная величина имеет геометрическое распределение, если её возможные значения 1,2,3,4…. , а вероятности этих значений
.

Известно, что ; тогда ;
так как , тогда

Вычислим:

2. Случайная величина имеет биноминальное распределение, если она принимает значения 0,1,2,3… с вероятностями:

Известно, что:

тогда, решая эту систему получим:

Вычислим:

=

3. Случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2…, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле:

, где

Тогда:

Задача 2.4

Случайные величины имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности , если у этих случайных величин математическиеожидания и среднее квадратические отклонения равны 3.

Решение:

,

Надо найти

1. Для равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины функция плотности имеет вид.

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Дисперсия:

Отсюда, среднее квадратическое отклонение (

По условию задачи имеем:

При эта система равносильна системе:

,

решая которую, получаем:

Отсюда:
.

Значит, функция плотности имеет вид:

Найдем вероятность по формуле попадания значений случайной величины с функцией плотности в :

2. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность вероятности:

где параметр распределения,

Функция распределения показательного распределения имеет вид:

Известно, что , отсюда

Тогда:

Вычислим :

3. Пусть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения. Основные параметры случайной величины имеющей нормальный закон распределения X : математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. По условию задачи , .Так как вероятность попадания случайной величины в распределенной по нормальному закону, вычисляется по формуле

где Ф(x) – функция Лапласа (значения ее берутся из таблицы), то по условию задачи:

Тренинг умений:[2]№№315,328,350,367.