Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування

Геометрично цільова функція (7.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (7.2)-(7.3) – допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

Розглянемо приклад геометричного способу розв’язування задачі нелінійного програмування.

Приклад 7.1. Знайти мінімальне і максимальне значення функції:

за умов:

.

Розв’язання. Область допустимих розв’язків утворює чотирикутник АВСD (рис.7.1).

Рисунок 7.1

Геометрично цільова функція являє собою коло з центром у точці М(2;2), квадрат радіуса якого . Це означає, що її значення буде збільшуватися (зменшуватися) зі збільшенням (зменшенням) радіуса кола. Проведемо з точки М кола різних радіусів. Функція Z має два локальних мак­симуми: точки В(0;6) і С(8;0). Обчислимо значення функціонала в цих точках:

,

.

Оскільки , то точка С(8;0) є точкою глобального максимуму.

Очевидно, що найменший радіус , тоді:

.

Тобто точка М є точкою мінімуму, оскільки їй відповідає найменше можливе значення цільової функції.

Зазначимо, що в даному разі точка, яка відповідає оптимальному плану задачі (мінімальному значенню функціонала), знаходиться всередині багатокутника допустимих розв’язків, що в задачах лінійного програмування неможливо.

Приклад 7.2. Знайти мінімальне значення функції:

за умов:

.

Розв’язування. У даному прикладі множина допустимих розв’язків складається з двох окремих частин, необмежених зверху (рис.7.2).

Рисунок 7.2

Цільова функція аналогічно попередньому випадку є колом з центром у точці М(4;4). Функція Z має два локальних мінімуми: в точці А( ), і в точці В( ).

Значення функціонала в цих точках однакове і дорівнює:

.

Отже, маємо два альтернатив­ні оптимальні плани.

Даний приклад ілюструє ще одну особливість задач нелінійного програмування: на від­міну від задач лінійного програмування багатогранник допустимих розв’язків задачі нелінійного програмування не обов’язково буде опуклою множиною.

Наведемо основні особливості задач нелінійного програмування, що зумовлюють необхідність застосування відповідних методів їх розв’язання.