Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

Основные сведения о матрицах.

Операции над матрицами».

I. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ.

Существуют различные способы решения самых разнообразных задач, как математических, так и по специальности. Т.к. математическое моделирование рассматривает и абстрагирует любые объекты, то, например, задача о производстве мучных изделий из имеющегося сырья (данные расположены в таблице ниже)

Продукт	Блинчики	Оладьи	Вареники	Масса имеющегося сырья
Мука	0,416 кг	0,481 кг	0,695 кг	5 кг
Яйца	0,83 кг	0,23 кг	0,53 кг	0,5 кг
Соль	0,008 кг	0,009 кг	0, 012 кг	0,1 кг

может быть решена с помощью системы трех уравнений с тремя переменными:

Решить такую систему школьными методами довольно трудоемко, а если получится система с большим количеством уравнений и входящих в них переменных, то и невозможно. Однако, существуют другие методы решения таких систем, и в этих методах огромную, решающую роль играют коэффициенты при переменных и свободные члены уравнений системы. Для этого делают следующую запись:

. Такую запись (она имеет вид таблицы) называют матрицей – матрица позволяет определить другие понятия и решение многих систем различными методами.

Понятие матрицы и раздел математики, ее изучающий, имеют чрезвычайно важное значение для экономистов – значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме.

Матрицы широко используются в планировании производства и транспортных перевозок. Они позволяют разрабатывать различные варианты плана, облегчают исследования зависимости между разными экономическими показателями.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Рассмотрим еще один пример перехода от таблицы к матрице, с помощью которого разберемся в сути записи матрицы, ее обозначении, нахождении ее размера.

Получаем следующую запись:

,

где есть прочерки, которые в математике заменяет ноль.

Матрицы обозначаются заглавными прописными буквами латинского алфавита , а размер записывается под обозначением матрицы, причем, согласно определения матрицы, на первом месте записывается количество строк, а на втором – количество столбцов.

Таким образом, получаем:

= .

Для обозначения элементов матрицы в общем виде используются строчные латинские буквы с двойной индексацией:

, где - номер строки, - номер столбца.

Пример записи матрицы в общем виде:

,
или в сокращенной форме: , где

Рассмотрим еще примеры таблиц и матриц:

I.Таблица распределения ресурсов по отделениям отраслям экономки (усл. ед.)

Ресурсы	Отрасли экономики
промышленность	сельское хозяйство
электроэнергия	5,4	4,2
трудовые ресурсы	2,7	2,1
водные ресурсы	4,8	5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В этой записи матричный элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

II.Малое предприятие вырабатывает 4 вида продукции A, B, C, D, используя на каждую из них разное количество двух материалов и работы (количества рабочего времени). Конкретная информация указана в таблице.

Изделия	A	B	C	D
Единица материала X
Единица материала Y
Количество рабочего времени

В этой ситуации есть 12 действительных чисел, которые можно упорядочить и записать в виде матрицы:

Каждый ряд и каждый столбец этой матрицы имеет определенный смысл. Например, элементы 2^го ряда указывают количество материала Y, затраченного на производство продукции A, B, C, D, а элементы 2^го столбца матрицы указывают количество затраченных материалов X, Y и рабочего времени на производство продукции B.

II. Виды матриц

1.Две матрицы и одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых .

2. 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей– строкой, а из одного столбца – матрицей -столбцом:

- матрица-строка; = .
- матрица-столбец, .

o Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
Пример:

- квадратная матрица 3^го порядка

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы .

o Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрицы называется диагональной.

Пример:

- диагональная матрица 4-го порядка

o Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка и обозначается .

Пример:

- единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

III. Операции над матрицами

1). Транспонирование матрицы -

- переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами. Матрица называется транспонированной по отношению к матрице .

, .

Пример:

= ;

2). Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой для .

Т.е., чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Пример:

, тогда

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример: Вынести за знак матрицы общий множитель.

= .

Произведение матрицы на число есть нулевая матрица : .

3)Сложение матриц.

Суммой двух матрицА и В одинакового размера называетсяматрицаС=А+В, каждыйэлементкоторой

Т.е., чтобы сложить две матрицы одинакового размера, надо сложить их соответствующие элементы.

Пример:

4) Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов матрицы равно число строк матриц , т.е. они согласованы.