Затраты времени на обработку детали

Затраты времени (сек) на обработку детали (х)
Число деталей (f)

Определить средние затраты времени на обработку детали:

.

Если данные представлены в виде интервального ряда распределения, то принцип расчета средней остается прежним, но предварительно вычисляется среднее значение признака для каждого интервала, представляющее полусумму нижнего и верхнего значений интервала ,

где ;

– нижняя граница интервала;

– верхняя граница интервала.

Если есть интервалы с открытыми границами, то для первой группы величина интервала берется равной величине интервала последующей группы.

Пример.

Таблица 13

Стаж работы рабочих цеха

Стаж работы, лет (х)	до 6	6-12	свыше 12
Число рабочих (f)

Определить средний стаж рабочих цеха.

Он равен:

.

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных величин. Она бывает простая и взвешенная:

Простая – ;

Пример.

Определить среднюю скорость движения автомобиля, если известно, что три машины прошли один путь, при этом одна машина двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая – 70 км/ч, третья – 100 км/ч.

км/ч.

Взвешенная – ,

Пример.

Определить среднюю себестоимость изготовления единицы продукции.

№ завода	Издержки производства, тыс. руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.

руб.

Средняя квадратическая используется в том случае, когда необходимо возводить варианты в квадрат:

Простая – ;

Взвешенная – .

Средняя квадратическая применяется в технике, а также в математическом анализе.

Средняя геометрическая– .

Данный вид средних применяется для анализа средних показателей динамики.

Средняя хронологическая:

Простая – ;

Применяется в том случае, когда интервалы времени между явлениями равны.

Пример.

Определить средний остаток материалов на складе за I квартал текущего года, если известно, что остаток на 1-ое января составил 24,8 млн. руб., на 1-ое февраля – 25,6 млн. руб., на 1-ое марта – 21,2 млн. руб., на 1-ое апреля – 18,1 млн. руб.

млн. руб.

взвешенная – .

Применяется в том случае, когда интервалы времени между явлениями неравны.

Пример.

Определить средний остаток краски на складе за десять дней марта, если известно, что остаток краски на 1 марта составил 200 кг, 3-его марта отпущено в производство 70 кг, 5-го марта поступило от поставщика 100 кг, 9-го марта списано в производство 50 кг краски.

кг.

Свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Пусть х = a, тогда: .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда: .

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты х на а, т.е. . Тогда:

.

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к средней арифметической нового ряда, ранее вычтенное из вариантов число a, т.е. .

4. Если все варианты уменьшить в к раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится в к раз.

Пусть , тогда .

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, увеличив среднюю арифметическую нового ряда в раз: ,

5. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю.

.

Перечисленные свойства позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты на какое-либо число а, сокращать их в к раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариантов, а затем переходить к средней первоначального ряда. Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как способ «условного нуля» или «условной средней», а также как «способ моментов».

Этот способ расчета находит отражение в следующей формуле:

.

Если уменьшенные варианты обозначить через , то .

Пример.

Используя метод моментов, определить средний объем реализованной продукции:

Объем ре- ализованной продукции, млн. руб.	Число заводов f	Середина интервала	, а=225	, к=50
до 50			–200	–4	–12
50–100			–150	–3	–18
100–150			–100	–2	–20
150–200			–50	–1	–21
200–250
250–300
Свыше 300
Всего		–	–	–	–35

млн. руб.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используется не только средняя арифметическая, но и мода и медиана, котороые относятся к структурным средним.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Медианойназывается численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда ( ). Если число единиц четное, то место медианы в ряду определяется как .

Применяется мода при экспертных оценках, при установлении размера изделий, который пользуется наибольшим спросом (одежда, обувь), медиана используется при статистическом контроле качества продукции.

Пример.

Таблица 14