Модель прогнозирования объектов со скачкообразными изменениями

Развитие прогнозируемого объекта может представлять собой чередование эволюционных и скачкообразных этапов (скачков).

Достаточно очевидно, что экстраполяционные методы прогнозирования при этом могут использоваться лишь в пределах эволюционного этапа (от одного качественного скачка до другого).

Метод прогнозирования по огибающим кривым направлен на преодоление этой ограниченности путем перехода на более высокий уровень агрегирования рассмотрения тенденций. Основная его идея – объединение частных тенденций в единую общую. Огибающая дает возможность выявить общую тенденцию развития прогнозируемого параметра. К сожалению, математическое решение задачи построения огибающей кривой в точном или приближенном варианте, как правило, невозможно. Поэтому проведение огибающей носит субъективный характер. Кроме того, учитывая малое количество скачков в прошлом и их различную природу, экстраполяция по огибающим кривым мало достоверна.

Поэтому можно рекомендовать использовать математическую модель, которая основывается на представлении динамики показателя в виде суммы эволюционной составляющей и скачкообразных изменений [6], [8]

(5.17)

где y_t – значение показателя в момент времени t;

g(t) – эволюционная составляющая временного ряда;

A_i – величина i-го скачка;

Т_i – момент времени i-го скачка;

e_t – некоррелированная случайная величина с нулевым математичес-

ким ожиданием:

d (x) – функция, принимающая значение 1 при x³0 и 0 при x<0;

m – число скачков на рассматриваемом интервале времени.

Применение данной модели предполагает:

– выделение и прогнозирование эволюционной составляющей – (t);

– прогнозирование параметров (моментов и величин) будущих скачков – _i , _i (i =m+1,…,n);

– прогнозирование показателя по модели (5.17)

, (5.18)

где n-m – число ожидаемых будущих скачков.

Модель позволяет использовать совместно статистическую и экспертную информацию. При этом не производится осреднение прогнозов, а экстраполяционный и экспертный прогнозы выступают в качестве оценок различных составляющих модели.

Выделение прошлых скачков из наблюдаемого временного ряда не представляет сложности, а использование экспертных методов прогнозирования параметров ожидаемых скачков обусловлено тем, что ретроспективный временной ряд не содержит никакой информации о будущих скачках.

На первом этапе задачей экспертов является установление возможных причин скачков на прогнозном интервале времени. Анкета носит открытый характер – эксперты вправе записывать все причины, которые считают возможными. После получения ответов составляется список возможных причин скачков.

На втором этапе по каждой (i-й) причине скачка экспертам предлагается ответить на вопросы: когда по их мнению он произойдет и к каким изменениям в значении показателя приведет, т. е. дать количественные оценки времени наступления – T_i и величины скачка – A_i.

На третьем этапе следует проверить степень согласованности мнений экспертов. Для этого вычисляются коэффициенты вариации оценок времени наступления и величин скачков в значениях показателей по каждой ожидаемой причине скачка.

(i=m+1,…,n)

, (i=m+1,…,n)

где

; ;

;

;

T_ik – оценка времени наступления i-го скачка k-м экспертом;

A_ik – оценка величины i-го скачка k-м экспертом;

k_э – количество экспертов;

t_l – момент составления прогноза.

Если по всем оцениваемым величинам достигнута удовлетворительная согласованность мнений экспертов

( ) , оценки _i и _i могут использоваться в модели. В литературе рекомендовано значение = 0,25 как граница удовлетворительной согласованности. При этом оценки дисперсий случайных величин _i и _i составляют

; ( ).

Предположим, что эксперты дают несмещенные и независимые оценки величин T_i и A_i. Это приводит к независимости оценок _i и _i. Кроме того, для любого закона распределения экспертных ответов при не очень малом количестве экспертов можно считать, что их выборочные средние распределены по нормальному закону.

Таким образом,

( ).

В случае невысокой согласованности мнений экспертов следует учитывать, что особенность применения экспертных оценок в прогнозировании состоит в том, что отбрасывание крайних мнений может привести к потере важной информации, так как выделяющиеся эксперты могут располагать такой информацией, которая неизвестна другим членам группы.

Поэтому целесообразно не отбрасывать крайние мнения, а попросить этих экспертов либо скорректировать свое мнение, либо обосновать свою позицию.

Если эксперт предпочтет второе, его обоснование рассылается другим экспертам, которые могут скорректировать свои оценки с учетом новой информации. Такая процедура, как правило, после небольшого количества итераций приводит к уменьшению разброса экспертных оценок до допустимого уровня.

Исследуем статистические свойства ошибок прогноза по модели. Прогнозная оценка

является смещенной.

Действительно,

и

.

При несмещенной прогнозной оценке эволюционной составляющей .Учитывая несмещенность оценок

, а также независимость и , получим

.

Величина представляет собой случайную функцию, принимающую единичное значение при и нулевое значение при . Это означает, что ее математическое ожидание равно вероятности того, что случайная величина не превосходит t.

,

где – плотность распределения вероятностей случайной величины .

Вследствие отличия от оценка (5.18) является смещенной.

При нормальном распределении оценки

,

где Ф(х) – табулированная функция Лапласа.

При , т. е. вдали от i-го скачка значение функции мало отличается от значения (нуля или единицы). Напротив, при и смещение велико .

Исследуем теперь дисперсию ошибки прогноза

Вследствие независимости ошибок прогноза эволюционной составляющей, оценок , имеем

.

Обозначим .

Тогда

,

где

;

.

Таким образом

+ (5.19)

Из приведенного выражения видно, что дисперсия ошибки прогноза существенно возрастает вблизи скачка – вклад ошибки оценки параметра T_i в дисперсию ошибки прогноза вблизи скачка ( ) составляет 0,25 A_i².

Качественное состояние показателя в момент t можно описать вектором S={S_i} , где S_i=1, если скачок по i-й причине произошел и S_i=0, если не произошел.

При условии состояния S (вдали от скачков качественное состояние почти достоверно)

,

и

Отсюда следует, что при достоверном качественном состоянии S прогноз является несмещенным, а дисперсия его ошибки составит

(5.20)

Последнее выражение следует также непосредственно из общей формулы дисперсии ошибки прогноза, так как в этом случае при S_i=0 и при S_i=1.

Таким образом, точечная оценка (5.18) может использоваться лишь в ограниченной области ( для всех . Вблизи скачка (при ) следует отказаться от использования точечной оценки и рассматривать прогноз в виде плотности распределения вероятностей [6].

Пример. Рассмотрим динамику логарифма отношения импорта к индексу производства за 1996–1999 гг. по месяцам (табл.12).

Т а б л и ц а 12. Динамика показателя по месяцам

Месяц
Январь	1,58	1,90	2,05	1,30
Март	1,79	1,62	1,78	1,23
Май	1,76	1,75	1,82	1,05
Июль	1,70	1,71	1,80	1,18
Сентябрь	1,82	1,76	1,18	1,05
Ноябрь	1,80	1,88	1,2	1,2

Из таблицы видно, что в сентябре (августе) 1998 г. произошел существенный скачок величиной - 0,62, связанный с дефолтом, т. е.

А₁=-0,62. Если исключить этот скачок из динамики, то получим эволюционную составляющую модели g(t). Попытка подбора полиномов, аппроксимирующих g(t), показала, что все они имели статистически незначимые коэффициенты. Поэтому была выбрана модель с постоянной эволюционной составляющей g(t) = g₀, где .

Прогноз эволюционной составляющей на ближайшие месяцы составит 1,71, а общий прогноз по модели (при отсутствии в будущем скачков) составит 1,09.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Социально-экономические процессы и явления зависят от большого числа параметров, их характеризующих, что обуславливает трудности, связанные с выявлением структуры взаимосвязей этих параметров. В подобных ситуациях использование методов многомерного статистического анализа является не только оправданным, но и существенно необходимым.

Многомерные статистические методы среди множества возможных вероятностно-статистических моделей позволяют обоснованно выбрать ту, которая наилучшим образом соответствует исходным статистическим данным, характеризующим реальное поведение исследуемой совокупности объектов, оценить надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала.

К области приложения математической статистики могут быть отнесены задачи, связанные с исследованием поведения индивидуума, семьи или другой социально-экономической или производственной единицы как представителя большой совокупности объектов.

Многомерный экономико-статистический анализ опирается на широкий спектр методов. В учебном пособии рассмотрены некоторые из наиболее используемых методов, а именно: факторный, кластерный и дискриминантный анализы.

Все перечисленные методы наиболее эффективны при активном применении статистических пакетов прикладных программ.

Стандартные статистические методы обработки данных включены в состав электронных таблиц, таких как Excel, Lotus 1-2-3, QuattroPro, и в математические пакеты общего назначения, например Mathcad. Но гораздо большими возможностями обладают специализированные статистические пакеты, позволяющие применять самые современные методы математической статистики для обработки данных. По официальным данным Международного статистического института, число статистических программных продуктов приближается к тысяче. Среди них есть профессиональные статистические пакеты, предназначенные для пользователей, хорошо знакомых с методами математической статистики, и есть пакеты, с которыми могут работать специалисты, не имеющие глубокой математической подготовки; есть пакеты отечественные и созданные зарубежными программистами.

Среди программных средств данного типа можно выделить узкоспециализированные пакеты, в первую очередь статистические –STATISTICA, SPSS, STADIA, STATGRAPHICS, которые имеют большой набор статистических функций: факторный анализ, регрессионный анализ, кластерный анализ, многомерный анализ, критерии согласия и т. д. Данные программные продукты обычно содержат и средства для визуальной интерпретации полученных результатов: различные графики, диаграммы, представление данных на географической карте.

Для реализации рассмотренных методов многомерной классификации можно рекомендовать выбор достаточно популярной в нашей стране системы STATISTICA.

Пакет STATISTICA отличается от большинства других программных продуктов для Windows тем, что состоит из отдельных программ-модулей, каждый из которых содержит конкретный метод обработки данных, например кластерный анализ, регрессионный анализ и т. д. Каждый такой модуль можно рассматривать как самостоятельную программу, независимую от остальных. Но такие операции, как ввод, корректировка данных, осуществляются в любом из модулей по желанию пользователя.

Таким образом, если перед пользователем стоит конкретная задача, к примеру, провести классификацию данных, то достаточно вызвать модуль Cluster Analysis (Кластерный анализ), чтобы провести полноценную работу: ввод данных, их корректировку, построить различные диаграммы, а также осуществить непосредственно заданную классификацию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арженовский, С. В. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие для аспирантов / С. В. Арженовский. – Ростов н/Д : Изд-во РГЭУ «РИНХ», 2001. – 73 с.

2. Афанасьев, В. Н. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. – М. : Финансы и статистика, 2001. – 228 с.

3. Безручко, Б. П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. – Саратов: Колледж, 2005. – 319 с.

4. Беляков, А. Г. Прогнозирование временных рядов на основе метода аналогов / А. Г. Беляков, А. С. Мандель. – М. :ИПУ, 2002. – 59 с.

5. Богданов, А. И. Математические модели прогнозирования: монография / А. И. Богданов. – СПб.: СПГУТД, 2007. – 128 с.

6. Богданов, А. И. Разработка и исследование экспертно-статистического метода прогнозирования технического уровня средств электроизмерительной техники / А. И. Богданов // Сб. науч. тр. ВНИИЭП "Управление подотраслью и технико-экономические исследования в электроприборостроении". – 1983. – С. 88–95.

7. Богданов, А. И. Об одной математической модели прогнозирования циклических процессов / А. И. Богданов // Математическое моделирование. – 2004. – Т. 16. – № 4. – С. 47–54.

8. Богданов, А. И. Математическая модель прогнозирования скачкообразных процессов / А. И. Богданов / / Вестн. СПГУТД. – 2011. – № 1. – Сер. 1. «Естественные и технические науки». – С. 57–62.

9. Богданов, А. И. Имитационное моделирование случайных корреляционных матриц для оценки методов сокращения размерности вектора коррелированных переменных / А. И. Богданов // Сб. науч. тр. ВНИИЭП "Автоматизация производства и управления в электроприборостроении". – 1984. – С. 126–133.

10. Богданов, А. И. Метод минимизации количества показателей при управлении качеством средств электроизмерительной техники / А. И. Богданов, Л. Г. Тульчин // Тр. ВНИИЭП "Совершенствование управления, научная организация и нормирование труда в подотрасли". –1981. – С. 110–117.

11. Богданов, А. И. Модель прогнозирования скачкообразного развития техники / А. И. Богданов, Л. Г. Тульчин // Прогнозирование научно-технического и экономического развития основных звеньев народного хозяйства: Матер. науч.-практ. конф. 17–18 апреля. – Л.: ЛДНТП, 1990. – С. 72–74.

12. Богданов, А. И. Прогнозирование качества продукции с помощью факторного анализа / А. И. Богданов, Л. Г. Тульчин // Сб. науч. тр. "Методология развития систем управления: модели, методы, средства". – Львов: ВНИИМИУС, 1987. – С. 76–80.

13. Богданов, А. И. Сокращение размерности вектора коррелированных переменных методами дискретной оптимизации / А. И. Богданов, Л. Г. Тульчин // 1 Всесоюз. совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации : тез. докл. – М.; Алма-Ата: Каз ГУ, 1981. – С. 22–23.

14. Богданов, А. И. Оценка эффективности факторизации при обработке информации методами факторного анализа / А. И. Богданов, Л. Г. Тульчин // II Всесоюз. конф. по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации и экспертным оценкам: тез. докл. – М.; Таллин: ТПИ, 1984. – С. 282–283.

15. Богданов, А. И. Прогнозирование параметров деловых циклов рыночной активности / А. И. Богданов, В. А. Чабровский // Проблемы управления развитием социально-экономических систем : сб. науч. тр. – СПб. : СПбГУКиТ, 1998. – Вып. 3. – С. 65–68.

16. Бокс, Дж. Анализ временных рядов : Прогноз и управление / Дж. Бокс, Г. Дженирнгс / пер. с англ. А. Л. Левшина; под ред. В. Ф. Писаренко. – М. : Мир, 1974. Вып. 1. – 406 с.

17. Болч, Б. Многомерные статистические методы для экономики / Б. Болч, К. Дж. Хуань / пер. с англ. А. Д. Плитмана; под ред. и с предисл. С. А. Айвазяна. – М. : Статистика, 1979. – 317 с.

18. Браверман, Э. М. Методы экстремальной группировки параметров и задача выделения существенных факторов / Э. М. Браверман // Автоматика и телемеханика. – 1970. – № 1. – С. 123–132.

19. Вапник, В. Н. Теория распознавания образов (статистические проблемы обучения) / В. Н. Вапник, А. Я. Червоненкис. – М.: Наука, 1974. – 416 с.

20. Герасимов, В. А. Метод распознавания образов без учителя для прогнозирования надежности элементов электроизмерительных приборов / В. А. Герасимов, О. В. Завьялов, А. А. Николенко // Тр. ВНИИЭП "Теоретические и технико-экономические исследования в электроизмерительной технике". – Л. : ВНИИЭП, 1974. – № 19. – С. 171–178.

21. Дубров, А. М. Многомерные статистические методы : учебник / А. М. Дубров, В. С. Мхитарян, Л. И. Трошин. – М. : Финансы и статистика, 2003. – 352 с.

22. Иберла, К. Факторный анализ / К. Иберла; пер. с нем. В. М. Ивановой; предисл. А. М. Дуброва. − М.: Статистика, 1980. − 398 с.

23. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стюарт / пер с англ. Э. Л. Пресмана и В. И. Ротаря; под ред. А. Н. Колмогорова, Ю. В. Прохорова. – М.: Наука, 1976. – 736 с.

24. Керимов, А. К. Анализ и прогнозирование временных рядов: учеб. пособие / А. К. Керимов. – М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 2005. – 137 с.

25. Лоули, Д. Факторный анализ как статистический метод / Д. Лоули, А. Максвелл; пер. с англ. Ю. Н. Благовещенского. − М.: Мир, 1967. − 144 с.

26. Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие / Ю. П. Лукашин. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 413 с.

27. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности / С. А. Айвазян, В. М. Бухштабер, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин; под ред. С. А. Айвазяна. – М.: Финансы и статистика, 1989. – 607 с.

28. Токмачев, М. С. Временные ряды и прогнозирование / М. С. Токмачев. – Новгород: Новгород. ГУ, 2005. – 192 с.

29. Харман, Г. Современный факторный анализ / Г. Харман; пер. с англ. В. Я. Лумельского; науч. ред. и вступит. ст. Э. М. Бравермана. − М.: Статистика, 1972. − 486 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………
1. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ……………………….
1.1. Многомерная нормально распределенная генеральная совокупность ………………………………………………………..
1.2. Выборка из многомерной генеральной совокупности………………………………………………………..
2. КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ………………………………………
2.1. Постановка задачи кластерного анализа…………………
2.2. Расстояние между объектами и мера близости……………
2.3. Расстояние между кластерами……………………………...
2.4. Функционалы качества разбиения………………………….
2.5. Алгоритмы кластерного анализа……………………………
3. ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ……………………….........
3.1. Теоретические основы дискриминантного анализа……….
3.2. Метод потенциальных функций …………………………...
3.3. Статистический подход в теории распознавания образов...
3.4. Постановка задачи байесовской классификации………….
4. МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ……………………..
4.1. Факторный анализ…………………………………………...
4.2. Снижение размерности путем выделения «ведущих» показателей…………………………………………………………..
4.3. Кластерный алгоритм выделения «ведущих» показателей
4.4. Исследование мультиколлинеарности. Тест Глобера-Феррара……………………………………………………………..
4.5. Использование методов снижения размерности при прогнозировании качества продукции………………………
5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СКАЧКООБРАЗНЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ……………………………………………………………..
5.1. Модель прогнозирования объектов с цикличностью развития……………………………………………………………
5.2. Модель прогнозирования объектов со скачкообразными изменениями……………………………………………………….
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………… БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………

Учебное издание