Наиболее часто используется сокращенный способ расчета дисперсии

(метод моментов), в соответствии с которым дисперсия σ 2 есть разница

Между средним из квадратов значений признака x2 и квадратом их

средней (x)2 :

σ2 =x2 −(x)2,

Где

N

x

x i Σ =

Для несгруппированных данных;

Σ

Σ ⋅

=

i

I i

n

X n

x

Для сгруппированных данных.

Этот способ позволяет вести расчет дисперсии по исходным

Данным без предварительного расчета отклонений.

Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом

вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет. К ним

относятся:

• дисперсия постоянной величины равна 0;

• дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или

Уменьшить на одно и то же число А;

• если все варианты умножить (разделить) на число А, то

Дисперсия увеличится (уменьшится) в A2 раз.

Формат: Список

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности

Исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет

Экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла

рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое

Отклонение.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой среднюю

Квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их

средней арифметической:

Для несгруппированных да

для сгруппированных данных σ =

Σ

Σ

=

=

− ⋅

m

i

i

m

i

I i

n

X x n

( )2

.

Среднее квадратическое отклонение является именованной

Величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически

Хорошо интерпретируется. Она также используется для оценки

надежности средней: чем меньше cреднее квадратическое отклонение σ ,

Тем надежнее cреднее значение признака x , тем лучше средняя

Представляет исследуемую совокупность.

Для распределений, близких к нормальным между средним

Квадратическим отклонением и средним линейным отклонением

существует следующая зависимость:

σ ≈ 1 , 25 ⋅ d .

• Относительные показатели вариации предназначены для

Оценки и сравнения вариации нескольких признаков по одной

Совокупности или же вариации одного и того же признака по нескольким

Совокупностям. Базой для их исчисления является средняя

Арифметическая.

Самым распространенным относительным показателем

вариации является коэффициент вариации δ V . Он представляет собой

Отношение среднего квадратического отклонения к средней

арифметической, выраженное в процентах:

= ⋅100%

x

V

σ

σ .

Коэффициент _______вариации используется для характеристики

Однородности исследуемой совокупности. Статистическая совокупность

Считается количественно однородной, если коэффициент вариации не

превышает 33% .

Расчет показателей вариации рассмотрим на примере ряда

Распределения рабочих участка по стажу работы. Для этого составим

вспомогательную таблицу:

Таблица 5.4.

Расчет показателей вариации для распределения рабочих по стажу

Работы

Стаж работы, лет Расчет

Среднего

Линейного

Отклонения

Расчет

Дисперсии

№

Группы

н

I x в

I x i b

ni i i n ⋅ x

x x i − i i x − x ⋅ n 2

i x i i x2 ⋅ n

1 0 4 2 6 12 10 60 4 24

2 4 8 6 8 48 6 48 36 288

3 8 12 10 11 110 2 22 100 1100

4 12 16 14 13 182 2 26 196 2548

5 16 20 18 6 108 6 36 324 1944

6 20 24 22 4 88 10 40 484 1936

7 24 28 26 2 52 14 28 676 1352

Итого 0 28 14 50 600 - 260 - 9192

• Определение среднего стажа работы:

= 600 =

⋅

= Σ

Σ

i

I i

n

X n

X лет.

Таким образом, наиболее типичным для рабочих участка является

Стаж работы, равный 12 годам.

• Определение размаха:

R=28-0=28 лет.

Размах показывает общий диапазон изменения стажа, он составляет

Лет.

• Среднее линейное отклонение составляет

5,2

= 260 =

− ⋅

= Σ

Σ

i

I i

n

X x n

D года.

• Дисперсия для данного ряда составляет

12 183,84 144 39,84

( ) 9192 2

2 2

2 2 2 = − = − = ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⋅

−

⋅

= − = Σ

Σ

Σ

Σ

i

I i

i

i

n

X n

n

X n

σ x x лет2 .

Показатель с такой размерностью невозможно интерпретировать, поэтому

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение

• Среднее квадратическое отклонение составляет σ = 39,84 = 6,3

Года.

Проверим _______соотношение между средним линейным отклонением и

средним квадратическим отклонением: σ ≈ 1,25 ⋅ d ≈ 6,5 . Можно сделать

Вывод, что распределение рабочих по стажу близко к нормальному.

• Коэффициент вариации составляет 100% 53%

= 6,3 ⋅ ≈ δ V , что

Свидетельствует о высокой колеблемости признака в совокупности.

Правило сложения дисперсий

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких частей, то