Индексный метод в статистических исследованиях
Особым видом относительных величин являются индексы. Слово «индекс» означает показатель.
Индексами в статистике называют относительные показатели, характеризующие степень выполнения плана, изменение во времени или пространстве как однородных, так и разнородных явлений.
Для исчисления индекса необходимо иметь показатели за два сопоставляемых периода. Величину, с которой сравнивают, называют основанием, или базой индекса, или базисной величиной. Изучаемую величину, которую сопоставляют (сравнивают) с величиной базисного периода, называют отчетной или текущей. Индекс, таким образом, есть отношение отчетной величины к базисной.
Различают два вида индексов: индивидуальные и общие.
Индивидуальные, или частные, индексы характеризуют соотношение показателей однородных явлений. Примером индивидуальных индексов может быть процент выполнения плана или динамика выпуска одного какого-нибудь вида продукции, процент выполнения плана, или динамика себестоимости одного вида продукции, или соотношение выпуска какого-либо вида продукции за один и тот же период в разных областях или республиках.
Общий, или групповой, индекс характеризует соотношение показателей разнородных явлений, абсолютные величины которых непосредственно нельзя суммировать; их можно суммировать только после приведения к одному выражению. Примером общего индекса является индекс, характеризующий степень изменения общего выпуска продукции завода.
Чтобы вычислить индивидуальный индекс, надо показатель отчетного периода разделить на показатель базисного периода. При исчислении индексов для удобства введем условные обозначения – латинские буквы. Индивидуальный индекс обозначают буквой i, количество продукции или товара в натуральном выражении – буквой q, буквой р – цену единицы каждого продукта (товара).
Формула индивидуального индекса объема продукции имеет следующий вид: 
, где подстрочный знак «1» означает текущий или отчетный период, а «0» – базисный период.
Итак, индивидуальный индекс объема продукции получают путем деления количества продукции отчетного периода на количество продукции этого же вида в базисном периоде. Формула индивидуального индекса цен имеет такой вид: 
, т. е. индивидуальный индекс цен получают путем деления цены за единицу продукции текущего периода на ее цену в базисном периоде.
Групповой индекс стоимости продукции представляет собой отношение фактической стоимости всей продукции в отчетном периоде к фактической стоимости всей продукции в базисном периоде. Формула индекса стоимости продукции имеет следующий вид: 
.
Эта формула показывает, что для получения индекса стоимости продукции количество каждого продукта умножают на его цену, а затем произведения по всем продуктам суммируют. Полученный таким образом итог стоимости продукции за отчетный период сопоставляют со стоимостью продукции за базисный период.
Групповой индекс объема продукции – это отношение стоимости всей продукции отчетного периода в ценах базисного периода к фактической стоимости продукции базисного периода по базовым ценам.
Формула этого индекса имеет вид: 
.
Групповой индекс цен получает путем отношения фактической стоимости продукции отчетного периода по ценам отчетного периода к стоимости этой продукции по ценам базисного периода.
Формула этого индекса будет иметь вид: 
.
Между индексами цен, физического объема продукции и стоимости существует взаимосвязь: 
.
При изучении динамики за три и большее количество периодов индексы могут быть исчислены двумя путями:
а) путем сопоставления абсолютных величин (показателей) всех периодов поочередно с показателем одного периода, принятого за постоянную базу. Индексы с постоянным основанием называют базисными;
б) путем сопоставления абсолютной величины каждого периода с абсолютной величиной непосредственно предшествующего периода, т. е. меняющейся базой. Индексы с основанием предыдущих периодов называют цепными.
Базисные и цепные индексы связаны между собой. Перемножив все цепные, получим последний базисный индекс; разделив каждый последующий базисный индекс на предшествующий, получим соответствующий цепной индекс.
На практике не всегда имеются индексируемые величины и веса. И тогда агрегатные индексы преобразуются в средние индексы: средний арифметический и средний гармонический.
При этом средний индекс является правильным в том случае, если он тождественен агрегатному индексу.
Агрегатный индекс физического объема 
. (1)
Индивидуальный индекс физического объема 
. (2)
Отсюда 
(3)
преобразуем и в формулу (1) подставим значение q1 из формулы (3) и получим:
– средний арифметический индекс физического объема.
, 
, тогда средний арифметический индекс цен 
.
В тех случаях, когда нет данных о количестве произведенной (реализованной) продукции, но есть индивидуальные индексы цен и стоимость произведенной (реализованной) продукции в отчетном периоде в ценах отчетного периода.
, 
, то 
, тогда 
– средний гармонический индекс цен.
Средний гармонический индекс цен часто используется в торговле, где в отчетности имеются данные о стоимости проданного товара (Pq) и отсутствуют данные о количестве проданных товаров по отдельным видам (q). Поэтому широко используется в торговле при исчислении индексов розничных цен.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1
Рассчитайте по следующим данным индивидуальные индексы динамики объема продукции, цен и стоимости:
| Показатели | 2000 г. | 2001 г. |
| Объема продукции, шт. | ||
| Цена, р. |
Решение:
Задача 2
Имеются следующие сведения о выпуске продукции завода и ценах на продукцию за 2000 и 2001 г.
| Виды продукции | Единица измерения | Выпущено единиц | Цена за единицу, тыс. р. | ||
| 2000 г. | 2001 г. | 2000 г. | 2001 г. | ||
| Токарно-винторезные станки | Штук | ||||
| Чугунное литье | Тонн |
Исчислить индивидуальные и групповые индексы объема продукции.
Решение:
Вычисление покажем в таблице:
| Виды продукции | Единица измерения | Выпущено единиц | Цена за единицу в 2000 г., тыс. р. р0 | Стоимость продукции в ценах 2000 г., тыс. р. | Индексы объема продукции (гр.2/гр.1 и в итоге – гр.5/гр.4) | ||
| 2000 г. р0 | 2001 г. q1 | 2000 г. (гр.1 ´ гр.3) р0q0 | 2001 г. (гр.2 ´ гр.3) р0q1 | ||||
| Токарно-винторезные станки | Штук | 1840 000 | 2033 200 | 110,5 | |||
| Чугунное литье | Тонн | 1295 000 | 1459 650 | 112,7 | |||
| Итого: | – | – | – | – | 3135 000 | 3492 850 | 111,4 |
Задача 3
На основании условия задачи 2 определите индексы цен.
Решение:
| Виды продукции | Единица измерения | Цена за единицу, р. | Выпущено единиц в 2001 г. q1 | Стоимость продукции, тыс. р. | Индексы цен (гр.2/гр.1 и в итоге – гр.5/гр.4) | ||
| 2000 г. р0 | 2001 г. р1 | в ценах 2000 г. (гр.1 ´ гр.3) р0q1 | в ценах 2001 г. (гр.2 ´ гр.3) р1q1 | ||||
| Токарно-винторезные станки | Штук | 2033 200 | 1944 800 | 95,7 | |||
| Чугунное литье | Тонн | 1459 650 | 1376 805 | 94,3 | |||
| Итого: | – | – | – | – | 3492 850 | 3321 605 | 95,1 |
Задача 4
Используя условие задачи 2 исчислите индексы стоимости продукции. Решение представьте в виде таблицы.
Решение:
| Виды продукции | Единица измерения | Выпущено единиц | Цена за единицу | Стоимость продукции | Индексы стоимости (гр.6/гр.5) | |||
| 2000 г. q0 | 2001 г. q1 | 2000 г. р1 | 2001 г. р1 | 2000 г. (гр.3 ´ гр.1) р0q0 | 2001 г. (гр.4 ´ гр.2) р1q1 | |||
| Токарно-винторезные станки | Штук | 1840 000 | 1944 800 | 105,7 | ||||
| Чугунное литье | Тонн | 1295 000 | 1376 805 | 106,3 | ||||
| Итого: | – | – | – | – | – | 3135 000 | 3321 605 | 105,9 |
Задача 5
Индекс физического объема продукции составил 105%, цена увеличилась на 12%. Определите как изменилась стоимость продукции.
Решение:
Ответ: стоимость продукции увеличилась на 17,6%.
Задача 6
Определить среднеарифметический индекс физического объема на основании следующих данных:
| Продукты |  |  , млн р. |
| А | 1,10 | |
| Б | 0,90 | |
| В | 0,75 |
Решение:
.
Вывод: объем продукции в целом снизился на 10%.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Задача 1
Рассчитайте по следующим данным индексы:
1) физического объема товарооборота;
2) цен;
3) стоимости продукции.
| Товар | Индивидуальный индекс цен | Стоимость проданной продукции, млн р. | |
| июль | август | ||
| Картофель | |||
| Молоко | |||
| Яйцо |
Ответ: 1) 98,6; 2) 99,26; 3) 99,34.
Задача 2
Рассчитайте по следующим данным индексы:
1) затрат времени на производство продукции;
2) физического объема продукции;
3) трудоемкости.
| Вид продукции | Количество произведенной продукции | Трудоемкость производства единицы продукции, чел/ч | ||
| q0 | q1 | t0 | t1 | |
| А | 1,12 | 1,08 | ||
| Б | 1,18 | 1,09 | ||
| В | 1,76 | 1,72 |
Ответ: 111,94; 2) 116,45; 3)104,03.
Задача 3
Объем продукции завода увеличился на 15%. Стоимость продукции осталась без изменения.
Определите среднее изменение цен.
Задача 4
Стоимость продукции на заводе синтетического каучука в 2001 г. увеличилась по сравнению с 2000 г. на 7,1%. Индекс цен составил 97,2%.
Определите, как изменился физический объем выпущенной продукции за 2001 г.
Задача 5
Объем продукции возрос на 12%, а цены снизились на 6%, стоимость продукции за тот же период возросла за счет увеличения объема продукции на 240 тыс. рублей.
Определите, на какую сумму снизилась фактическая стоимость продукции в отчетном периоде за счет снижения цен.
Задача 6
Численность рабочих увеличилась на 5%, а производительность труда – на 10%.
Определите, как изменился объем выпущенной продукции.
Задача 7
Объем продукции увеличился на 8%, а производительность труда рабочих – на 3,7%.
Определите, как изменилась численность рабочих.
Задача 8
Численность промышленно-производственного персонала сократилась на 2%, объем продукции увеличился при этом на 3,9%.
Определите, как изменилась в среднем производительность труда.
Задача 9
В отчетном году продано кожаной обуви на 50 млрд. р., резиновой – на 20 млрд. р. и комбинированной – на 10 млрд. рублей. Исчислить общий индекс цен по обуви, если известно, что цены возросли на кожаную обувь на 20%, на резиновую – на10% и комбинированную – на 3%.
Задача 10
Имеются данные о снижении себестоимости по отдельным видам продукции и о сумме затрат в производстве:
| Вид продукции | Снижение себестоимости, % | Сумма затрат в производстве в отчетном периоде, тыс. дол. |
| Картофелечистки | ||
| МОК-250 | ||
| МОК-350 | ||
| МОК-400 | ||
| Протирочные | ||
| МП-800 | ||
| МП-1000 |
Исчислить индекс себестоимости:
1) по картофелечисткам;
2) по протирочным машинам;
3) по всей продукции вместе.
Задача 11
Исчислить общий индекс физического объема товарооборота: