Средняя - ее сущность и определение.

Как правило, многие признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же промежуток времени, различны урожайность сельскохозяйственных культур и цены на рынке на одинаковую продукцию.

Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, прибегают к расчету средних величин.

Средними величинами называются такие показатели, которые выражают типичные размеры и черты и дают обобщающую количественную характеристику по качественно однородным общественным явлениям. Средняя характеризует признак совокупности в расчете на одну единицу совокупности. Любая единица объединяет в себе как типичные черты, так и индивидуальные. Сущность средней величины в абстрагировании от индивидуальных особенностей для выявления типичных черт и свойств. Типичное в единице - это значение средней, а индивидуальное - то насколько эта единица отличается от средней.

Метод средних является частью метода обобщающих показателей, а непосредственно связан с методом группировок. Чаще всего среднюю величину рассчитывают по сгруппированным данным. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих служит средний доход одного работника, рассчитанный как отношение фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период к численности рабочих. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, средней выработке, среднем тарифном разряде рабочих и т.д.

Однако, для того, чтобы средний показатель был действительно типичным, он должен определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это является основным условием научно обоснованного использования средних. Средние, полученные для неоднородных совокупностей будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятия различных типов (государственных, совместных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типичные групповые средние.

Виды средних величин

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Выбор того или иного типа средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин.

Существует две категории средних величин:

ü степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая и т.д.);

ü структурные средние (мода, медиана).

Существует общая для всех видов средних величин схема расчета:

Рассмотрим средние в рядах распределения.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - наиболее распространенный вид средней. По первичным, не сгруппированным данным, в ранжированных рядах распределения, а также, если равны веса, рассчитывается средняя арифметическая простая. Вывести эту формулу несложно.

В нижеследующей таблице приведены данные, на основании которых произведены расчеты среднего размера заработной платы в расчете на одного работника.

№ работника по списку	Размер заработной платы (грн.)	№ работника по списку	Размер заработной платы (грн.)

Чтобы вычислить среднюю заработную плату необходимо сложить все заработные платы и разделить на количество сотрудников. В числителе у нас будет объем значений признака, т.е. общая сумма расходов на оплату труда по предприятию. Если обозначить заработную плату как х, а количество работников - n, то формулу расчета средней величины можно представить следующим образом:

Поскольку в числителе представлена сумма всех х, удобнее будет пользоваться знаком суммирования

И формула средней арифметической простой примет вид:

где Х1, Х2,…Хn – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), n – число единиц совокупности.

В нашем примере средняя заработная плата равна:

Далее, производим группировку данных о размерах заработной платы и получаем дискретный ряд распределения:

x	f
Итого:

В правой колонке – размеры заработных плат, или так называемая варианта(x), в правой – число работников, получающих соответствующую заработную плату, т.е. количество повторений изучаемого признака (f). Чтобы вычислить средний размер заработной платы необходимо сумму всех заработных плат разделить на количество работников, т.е. (180×2+190×4+200×5+210×2+220×1+230×3+240×2+260×1)/ /20=290,5. Формула для расчета будет выглядеть следующим образом:

Это средняя арифметическая взвешенная

,

где х₁, х₂,…х_n – сгруппированные величины;

f₁, f₂,…., f_n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

p - общая численность единиц совокупности

Свойства средних арифметических:

1. Если каждую варианту изменить на какую-то величину А, то средняя изменится на такую же величину.

, откуда

, откуда

2. Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз. Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число, то средняя увеличится во столько же раз.

, откуда

, откуда

3.Если каждое значение веса умножить или разделить на одну и ту же величину, средняя не изменится .

Эти свойства средней можно использовать, чтобы упростить расчеты.

В этих целях прибегают к так называемому «способу моментов».

Расчет средней величины в упрощенном варианте будет выглядеть следующим образом:

Рассмотрим на конкретном примере использование «способа моментов» при расчете средней величины. Уменьшим в задаче все варианты на постоянное число А, а веса разделим на некоторое число i., тогда имеем следующее:

В качестве величины А обычно выбирается варианта (х), имеющая наибольшую частоту (то есть мода дискретного ряда распределения). Наибольшая частота по примеру равна 180, а соответствующая ей варианта равна 102. (А=102), величину i удобно принять равной 10. Тогда имеем:

x	f	x-A	f/10	(x-A)×f/10
		-4		-48
		-1		-15
		-2		-22
		-3		-30
Итого		х		-89

, =-1,13+102=100,87

Сегодня способ моментов используется редко ввиду того, что современные возможности вычислительной техники позволяют проводить и более серьезные расчеты.

Помимо средней арифметической достаточно широко применяется в статистике средняя гармоническая.

Средняя гармоническая

Известно, что предприятие осуществило 2 закупки на одинаковую сумму. Цена товара в первой партии – 42грн., во второй – 44грн. Как рассчитать среднюю цену закупки?

(грн.) – неверно. Использование формулы средней арифметической было бы правомерно, если бы в условии было сказано, что одинаково количество купленного товара.

Чтобы узнать среднюю цену закупки нужно поделить общую сумму затраченных средств на количество купленного товара. Пусть s грн. - сумма каждой закупки. Тогда общая сумма закупки – 2*s. Количество товара в первой партии можно узнать, разделив потраченную сумму на цену – s/42, аналогично находим количество и во второй партии – s/44.

Всего куплено (s/42 + s/44) кг.

Средняя цена грн. за кг.

Мы вывели формулу средней гармонической простой, которая представляет собой обратную среднюю арифметическую из обратных индивидуальных значений.

Средняя гармоническая простая:

.

Теперь рассмотрим условия применения и выведем формулу средней гармонической взвешенной.

По имеющимся данным в таблице (а) вычислить среднюю цену закупки мы можем, используя формулу средней арифметической взвешенной. Она равна 80,29.

В примере (б) нам известны цены и сумма покупки.

Чтобы для расчета средней применить среднюю арифметическую взвешенную мы должны сначала вычислить количество (f=w/x), как это сделано в примере (в).

(а)		(б)		(в)
цена	к-во		цена	сумма		цена	сумма	к-во
x	f		x	w		x	w	f
Итого			Итого			Итого

Если в формулу средней арифметической взвешенной подставить f=w/x, то мы получим новый вид формулы:

Эта преобразованная формула носит название

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где W - объем значений признака.

Вид средней не влияет на результат, поскольку экономический смысл средней остается прежним, и по одной и той же совокупности средняя арифметическая и средняя гармоническая будут иметь одинаковые значения. Формула расчета определяется имеющимися данными.

Выбор арифметической или гармонической должен основываться на экономической модели рассчитываемого показателя. Сопоставляя ее с формулой , определяют, где объем значений признака, а где объем явления. Исходя из этого, выбирают вид средней.

Мода

Модой в статистике называется значение признака, чаще всего встречающегося в данной совокупности. Иначе говоря, мода– это вариант, имеющий наибольшую частоту.

Это варианта признака (x), имеющая в данном ряду распределения наибольшую частоту.

В нашем примере мода равна 200 (грн.), так как имеет самую большую частоту – 5 (работников), т.е. количество работников, получающих заработную плату 200 грн. – наибольшее. Могут быть распределения, когда все варианты встречаются одинаково часто. В этом случае моды нет или все варианты одинаково модальны. В других случаях не одна, а две варианты могут иметь наибольшие частоты. Тогда будут две моды, а распределение называться бимодальным.

Мода может использоваться, например, для определения вида товара имеющего наибольший спрос, чтобы узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, для выявления цены по которой было продано максимальное количество товара и т.д.

Сложнее вычислить моду в интервальном ряду распределения.

Группа рабочих по стажу работы на предприятии	Численность работников
От 1 года до 3 лет
От 3 лет до 5 лет
От 5 чел до 7 лет
От 7 лет до 9 лет
Итого

В интервальном ряду таким же образом сначала определяется модальный интервал (5-7), а затем модальное значение в середине интервала по формуле: , где x_Мо, i_Мо - начало и ширина модального интервала, а f_М, f_М-1, f_М+1 - частоты соответственно модального, предмодального и послемодального интервала. лет. Это значит, что количество лет, отработанных большинством сотрудников – 6.

Медиана

Медиана - это варианта, стоящая строго посредине в ранжированном ряду распределения. Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряду, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату прибавить1/2.

В нижеследующей таблице приведены данные о продаже женских костюмов. Определим, какой размер костюма соответствует медианному значению.

Размеры	Количество		Кумулятивные частоты
44
46
48
50
52
Итого			х

В примере медиана = 199/2+1/2 = 100. Это значит, что 100-й элемент делит ряд пополам. Для того, чтобы выяснить, каково значение 100-й варианты, нужно составить кумулятивный ряд (ряд накопленных частот). Теперь видим, что медианному значению соответствует 48 размер, т.е. половина покупателей приобрели одежду с 42 по 48 размер, а половина с 48 по 52.

В интервальном ряду сначала находят медианный интервал. Таким будет интервал, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот.

На основе данных таблицы определим медиану.

Группа рабочих по стажу работы на предприятии	Численность работников	Кумулятивные частоты
От 1 года до 3 лет
От 3 лет до 5 лет
От 5 чел до 7 лет
От 7 лет до 9 лет
Итого		х

Половина суммы частот в примере - 54/2=27. Внутри интервала определяем медиану. , где x_Ме, i_Ме, f_Мо- начало, ширина и частота медианного интервала, - сумма частот интервалов, которые находятся до медианного интервала. Подставив значения в формулу получаем медиану равную 5, т.е. половина сотрудников отработали больше 5 лет.