Показники тісноти зв’язку.
Поряд із визначенням характеру зв’язку та ефектів впливу факторів x на результат y важливе значення має оцінка щільності зв’язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємозв’язаних ознак. Якщо вплив факторної ознаки x на результативну y значний, це виявиться в закономірній зміні значень y зі зміною значень x, тобто фактор x своїм впливом формує варіацію y. За відсутності зв’язку варіація y не залежить від варіації x.
Для оцінювання щільності зв’язку статистика використовує низку коефіцієнтів з такими спільними властивостями:
1) за відсутності будь-якого зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля; при функціональному зв’язку – до одиниці;
2) за наявності кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом,
який за абсолютною величиною тим більший, чим щільніший
зв’язок.
Серед мір щільності зв’язку найпоширенішим є коефіцієнт кореляції Персона. Позначається цей коефіцієнт символом r. Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово “лінійний”. Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції r ґрунтується на відхиленнях значень взаємозв’язаних ознак x і y від середніх.
Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначених сум:
Очевидно, що в разі функціонального зв’язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції ; при кореляційному зв’язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв’язок.
На практиці застосовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції:
Оцінка тісноти зв’язку проводиться за схемою:
Сила зв’язку | Величина лінійного коефіцієнта кореляції при наявності: | |
прямого зв’язку | оберненого зв’язку | |
Слабка Середня Тісна | 0,1-0,3 0,3-0,7 0,7-0,99 | (-0,1)-(-0,3) (-0,3)-(-0,7) (-0,7)-(-0,99) |
Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:
Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляціїR.
На таких самих засадах ґрунтується оцінювання щільності зв’язку за даними аналітичного групування. Мірою щільності зв’язку є кореляційне відношення:
,
де – між групова дисперсія, яка вимірює варіацію ознаки y під
впливом фактора x;
– загальна дисперсія.
Нелінійні залежності.
В практиці економічного аналізу найбільш часто використовують наступні нелінійні функції залежності: гіперболічну, параболічну другого порядку, напівлогарифмічну та деякі інші.
Якщо результативні ознака із збільшенням факторної ознаки зростає або спадає не безкінечно, а прямує до кінцевої мети, то для її аналізу застосовують рівняння гіперболи:
Для знаходження параметрів цього рівняння способом найменших квадратів використовується система нормальних рівнянь:
За способом найменших квадратів параметри гіперболи визначають за
формулами:
Парабола другого порядкузастосовується в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки відбувається нерівномірне зростання або спадання результативної ознаки. Рівняння параболи другого порядку визначається за формулою:
Параметри цього рівняння знаходять способом найменших квадратів шляхом складання і розв’язку системи нормальних рівнянь:
Вирівнювання за напівлогарифмічною кривою проводять в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки, середня результативна ознака спочатку до певних меж зростає досить швидко, але пізніше темпи її зростання поступово сповільнюються.
Напівлогарифмічна функція має вигляд:
Для знаходження параметрів напівлогарифмічної функції способом найменших квадратів, розв’язують систему двох рівнянь: