Коефіцієнт сподіваних збитків
Коефіцієнт сподіваних збитків KZ враховує обсяг сподіваних збитків по відношенню до суми абсолютних значень сподіваних вигод та сподіваних збитків. Він обчислюється за формулою:
де Z — заплановане значення економічного показника; та — відповідно сподівані величини сприятливих та несприятливих відхилень (по відношенню до Z).
Формально та — це умовні математичні сподівання щодо відхилень, тобто
,
де — множина сприятливих значень економічного показника по відношенню до рівня Z, — множина його несприятливих значень. Очевидно, що
Наприклад, якщо Х має позитивний інгредієнт (Х = Х +), то
= {xiÎ X, для яких xi ³ Z},
= {xiÎ X, для яких xi < Z}.
Значення KZ Î [0,1], причому КZ = 0, якщо є відсутніми сподівані збитки і КZ = 1, якщо є відсутніми сподівані вигоди. Слід зауважити, що КZ має негативний інгредієнт ( ).
У дискретному випадку, тобто у випадку, коли X = {x1; x2; …; xn} і відомі ймовірності настання кожної події P = {p1; p2; …; pn}, величини та (умовні математичні сподівання) обчислюються за формулами:
де — індикатор несприятливого (по відношенню до Z) відхилення, — індикатор сприятливого (по відношенню до Z) відхилення.
Наприклад, коли Х = Х + (має позитивний інгредієнт), то
У неперервному випадку, тобто в ситуації, коли відома щільність ймовірності f(х) випадкової величини Х, маємо:
На практиці замість величин та можна використати їхні статистичні оцінки:
де t — кількість спостережень, — кількість несприятливих відхилень, — кількість сприятливих відхилень, Т1 + Т2 = Т.
Еластичність коефіцієнта сподіваних збитків щодо величини Z обчислюється за формулою:
Чим більшим (за абсолютною величиною) буде коефіцієнт еластичності, тим більшим буде й ступінь ризику.
Знання величини еластичності еZ дає змогу встановити, наскільки відсотків зміниться коефіцієнт ризику, коли дана планова величина економічного показника зміниться на 1%. Знаючи це співвідношення, можна виразити коефіцієнт ризику в одиницях вимірювання планової величини.
На практиці можна скористатись скінченно-різницевим аналогом формули для обчислення еластичності:
де величина DZ задається дослідником (наприклад, DZ = (Zmax –
– Zmin)/100), DKZ = K(Z + DZ) — K(Z).
Приклад 3.11. Акції виду А і В залежно від стану економіки можуть мати різні норми прибутку. Експерти вказують на 5 можливих станів економіки та дають оцінки ймовірності настання цих станів (дані наведено в табл.3.4).
Таблиця 3.4
| Стани економічного середовища | Ймовірність | Норма прибутку акції (%) | |
| Р | RА | RВ | |
| Значне піднесення | 0,1 | ||
| Незначне піднесення | 0,3 | ||
| Стагнація | 0,2 | ||
| Незначна рецесія | 0,3 | -2 | |
| Значна рецесія | 0,1 | -10 | -5 |
Акції вважаються збитковими, якщо їхня норма прибутку буде меншою 5%.
Виходячи з коефіцієнта сподіваних збитків, обчислити ризики цих акцій і порівняти їх між собою.
|
Таблиця 3.5
| Акція виду А | S | Акція виду В | S | |||||||||
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | ||
| Ri | – 2 | – 10 | – | – 5 | – | |||||||
| Z | – | – | ||||||||||
| ai- | – | – | ||||||||||
| bi+ | – | – | ||||||||||
| ai-pi | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,6 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,6 | ||||
| bi+pi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,4 | ||||||
| ai-piRi | 0,4 | – 0,6 | – 1 | – 1,2 | 0,4 | 0,3 | – 0,5 | 0,2 | ||||
| bi+ piRi | 1,5 | 2,5 |
Отже, для акцій виду А маємо:
Для акцій виду В:
Оскільки , то акції виду В є більш ризикованими з точки
зору коефіцієнта сподіваних збитків.-
3.5.2. Коефіцієнти варіації, семіваріації,
семівідхилення від зваженого
середньогеометричного
У випадку, коли оцінюється ризик як варіабельність щодо отримання доходів, то для оцінки ризику використовується коефіцієнт варіації, тобто відношення середньоквадратичного відхилення економічного показника ефективності Х з позитивним інгредієнтом до сподіваного значення цього показника (М+(Х+) = М(Х+)):
Коефіцієнту варіації можна надати таке економічне трактування: це величина ризику, що припадає на одиницю доходу. А тому можна зробити висновок, що CV(X+) = CV–(X+), тобто коефіцієнт варіації має негативний інгредієнт (чим менше значення CV(X+) для проекту, тим меншим відносним ризиком він обтяжений).
Коефіцієнт варіації використовується в тому разі, коли для двох альтернативних проектів А і В виявиться, що > та > ( < та < ), де =M(X+А); = s(X+А); = M(X+В); = s(X+В). Перевага надається тому проекту, для якого є меншим коефіцієнт варіації.
У випадку, коли > та > (чи < та < ) і при цьому , прийняте суб’єктом керування (менеджером, управлінською командою) рішення залежить від його ставлення до ризику (схильності чи несхильності). Якщо ж суб’єкт керування є нейтральним до ризику, то при наданні переваги тому чи іншому проекту слід скористатись коефіцієнтом семіваріації:
Очевидно, що CSV(X+) = CSV –(X+), тобто перевага надається тому проекту, для якого є меншою величина коефіцієнта семіваріації.
Як оцінку ступеня ризику, пов’язаного з середньогеометричним значенням випадкової величини, можна використовувати коефіцієнт семівідхилення від зваженого середньогеометричного, який обчислюється за формулою:
Приклад 3.12. Результати спостережень за нормами прибутків портфелів цінних паперів А і В подано в табл. 3.6.
Таблиця 3.6
| Період | Норма прибутку (%) | |
| RA | RB | |
| 3,6 | ||
| 7,2 | ||
| 1,2 |
Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів цінних паперів. Який з портфелів слід придбати інвестору, якщо він є нейтральним до ризику?
|
A : M+(RA) = 4, s –(RA) = 2;
B : M+(RB) = 4,8, s – (RB) = 2,4.
З урахуванням того, що М+(RA) < M+(RB), s –(RA) < s –(RB), а також того, що інвестор є нейтральним до ризику, для вибору оптимального портфеля (того, що є менш ризикованим) можна скористатись критерієм мінімального коефіцієнта варіації:
Оскільки CV–(RA) = CV–(RB) = 0,5, то відповідь щодо вибору оптимального портфеля, виходячи з коефіцієнта варіації, дати неможливо. А тому скористаємося критерієм мінімального коефіцієнта семіваріації:
Оскільки CSV–(RA) < CSV–(RB), то при виборі портфеля цінних паперів перевагу слід надати портфелю А.-
3.5.3. Правила визначення знака інгредієнта
При побудові відносних оцінок ризику застосовуються такі правила (особливості) визначення інгредієнта оцінки.
Якщо розглядається оцінка виду [–]/[+]*), то, враховуючи правила зміни інгредієнта, (1/[+] = [–]; 1/[–] = [+], тобто при діленні на певну характеристику її інгредієнт змінюється на протилежний), слід пам’ятати, що
[–] / [+] = [–] × 1/ [+] = [–] × [–] = [–].
Розглянемо цю ситуацію на прикладі коефіцієнта варіації:
.
Отже, добуток двох характеристик з негативними інгредієнтами утворює нову характеристику, що також має негативний інгредієнт.
При побудові оцінки виду [+] / [–], маємо:
[+] / [-] = [+] · 1/ [-] = [+] · [+] = [+],
тобто добуток двох характеристик з позитивними інгредієнтами породжує нову характеристику, що також має позитивний інгредієнт.
Наприклад,
.
Більш складною є ситуація [+] / [+]. Дослідимо її. З одного боку:
,
з іншого:
Оскільки характеристики ([+] · [–]) та 1/([+] · [–]) мають протилежні інгредієнти, то отримане протиріччя вказує на невизначеність інгредієнта результуючої оцінки. А тому безпосереднє використання оцінок такого виду може призвести до неправильного результату при прийнятті рішень. Вихід з такої ситуації можна знайти лише при накладанні певних додаткових умов на характеристики, що є базовими при утворенні відносної оцінки.
При побудові оцінок виду [–] / [–] отримуємо:
тобто щодо інгредієнта відносних оцінок такого виду знову маємо невизначеність, а тому їх використання може призвести до суперечливого результату.
3.5.4. Коефіцієнти асиметрії та варіації асиметрії
У випадку асиметричного розподілу певних показників ефективності (ЧПВ) аналіз лише середньоквадратичного відхилення як міри ризику може бути недостатнім. Особливо коли ці значення співпадають для кількох альтернативних об’єктів (проектів). У цьому випадку слід аналізувати як показник ризику таку числову характеристику випадкової величини, як коефіцієнт асиметрії. Його обчислюють за формулою:
As(X) = ,
де As(X) — коефіцієнт асиметрії. У випадку, коли в наявності є статистична інформація щодо показника ефективності Х, зібрана протягом T періодів, коефіцієнт асиметрії обчислюють за формулою:
As(X) = .
Якщо As(X) = 0, то графік функції щільності ймовірності для випадкової величини Х є симетричним відносно М(Х). Якщо розподіл ймовірностей є асиметричним, причому його «довга частина» («хвіст») розміщена праворуч від моди випадкової величини Мо(Х) (має правосторонній скіс, рис. 3.2), то зважена сума кубів додатних відхилень від М(Х) є більшою від суми кубів від’ємних відхилень. Тоді, з урахуванням того, що s(Х) > 0, отримуємо, що As(X) > 0. Аналогічно отримуємо, що As(X) < 0 у випадку, коли функція щільності має лівосторонній скіс (рис.3.3) і «хвіст» розподілу виступає ліворуч.
Якщо Х = Х+, то за решти рівних умов серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) меншим ризиком обтяжений той об’єкт ( ), для якого виконується умова:
тобто As(X+) = As+(X+). Це пояснюється тим, що несприятливі відхилення від сподіваного значення з відносно великою ймовірністю розташовані для обраного об’єкта ліворуч найближче до сподіваного значення (менше відхиляються від нього в несприятливий бік) порівняно з іншими, а сприятливі значення значно віддалені від сподіваної величини (ці значення — «хвіст» — розташовані праворуч).
Рис. 3.2. Функція щільності розподілу ймовірності
у випадках додатного (а) та від’ємного (б) коефіцієнтів асиметрії
У зв’язку з цим можна вважати, що критерій максимальної асиметрії є критерієм, який забезпечує мінімальний ризик по відношенню до несприятливих відхилень від сподіваного результату (для задач максимізації показників ефективності).
Як міру ризику можна використовувати також величину :
Очевидно, що оцінка має негативний інгредієнт , а тому перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого вона є мінімальною:
Для відносного вираження ризику з урахуванням As+(X+) можна використовувати коефіцієнт варіації асиметрії:
Очевидно, що CVAs(X+) = CVAs–(X+), тобто перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого CVAs–(X+) приймає найменше значення:
Використання коефіцієнта асиметрії можливе і тоді, коли показники ефективності об’єкта (проекту) містять негативний інгредієнт, тобто (сподівані збитки, затрати). У цьому випадку більш ефективним рішенням будуть відповідати менші значення коефіцієнта асиметрії, а тому серед m альтернативних рішень оптимальним буде те, для якого
(у цій ситуації As(X–) = As–(X–)).
Можна скористатись також критеріями:
! Зауваження 3.3. Під час прийняття рішень критерії, які базуються на оцінках As(X) та As(X), слід використовувати тоді, коли M(Xi) = M(Xj); i, j = 1, ..., m або ж M(Xi) » M(Xj). Оцінки CVAs(X) використовуються тоді, коли M(Xi) ¹ M(Xj), i, j = 1, ..., m.
|
|
Розв’язання. Для портфеля цінних паперів виду А маємо:
Для портфеля В:
Отже, виходячи з того, що As+(RA) > As+(RB), або (RA)<
< (RB), або CVAs–(RA) < CVAs–(RB)), приходимо до висновку, що менш ризикованим є портфель цінних паперів А і інвестиції слід робити в цей портфель.
Слід мати на увазі, що отриманий результат повністю узгоджується з рішенням, яке було отримане при розв’язанні прикладу 3.9.-
Приклад 3.14. Виходячи з умови прикладу 3.12 і використовуючи в якості міри ризику коефіцієнт варіації асиметрії, вибрати портфель цінних паперів, що обтяжений мінімальним ризиком.
Розв’язання. Для портфеля цінних паперів А маємо:
RA = ; M+(RA) = 4; s – (RA) = 2; As+(RA) = 1,8;
(RA) = 0,357; CVAs–(RA) = 0,089.
Для портфеля В:
RB = ; M+(RB) = 4,8; s – (RB) = 2,4; As+(RB) = – 1,8;
(RB) = 2,8; CVAs–(RB) = 0,583.
Оскільки M+(RA) < M+(RB), то в якості міри ризику доцільно використати коефіцієнт варіації асиметрії. Враховуючи, що
CVAs–(RA) = 0,089 < 0,583 = CVAs–(RB),
найменший ризик має портфель А.
Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 3.12.-
3.5.5. Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу
У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності об’єкта (проекту) показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні їхні середньоквадратичні відхилення (і навіть семіквадратичні відхилення), а також є рівними значення коефіцієнтів асиметрії, то для порівняння ризиковості цих проектів можна скористатись коефіцієнтом ексцесу. Його обчислюють за формулою:
де Ех(Х) — коефіцієнт ексцесу. Статистичну оцінку коефіцієнта ексцесу можна здійснити за формулою:
де Т — кількість періодів.
Чим більше значення коефіцієнта ексцесу, тим більш «гостровершинним» (функція f2(x) на рис.3.3) є графік функції щільності ймовірності для випадкової величини, що характеризує об’єкт (проект). Ця властивість коефіцієнта ексцесу вказує на більш високу «концентрацію» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення.
Зменшення значення Ех(Х) приводить до того, що графік функції щільності ймовірності випадкової величини Х стає менш «гостровершинним» (функція f1(x) на рис. 3.3), тобто більш «згладженим». Ця ситуація вказує на те, що розміри інтервалу, на який «найчастіше» потрапляють значення показника ефективності, збільшилися.
Рис. 3.3. Форма функції щільності залежно
від коефіцієнта ексцесу (Ex1(X) < Ex2(X))
Очевидно, що серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) найменш ризиковий той, для якого «концентрація» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення є вищою, тобто той (Хk0), для якого виконується:
,
тобто Ех(Х) = Ех+(Х).
Приклад 3.15. Норми прибутків портфеля цінних паперів А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.3.7.
Таблиця 3.7
| Період | Норма прибутку (%) | Період | Норма прибутку (%) | ||
| t | RA | RB | t | RA | RB |
| 6,9 | 3,71 | 2,81 | 5,06 | ||
| 4,7 | 4,90 | 2,70 | 5,92 | ||
| 5,85 | 1,73 | 2,35 | 7,67 | ||
| 6,88 | 2,67 | 2,73 | 4,94 | ||
| 4,5 | 3,88 | 3,87 | 2,81 |
|
Розв’язання. Для портфеля А:
M+(RА) = 4,329; s–(RA) = 1,7447; SSV –(RA) = 1,1386; As+(RA) = 0,3337;
Ex+(RA) = – 1,6225.
Для портфеля В:
M+(RB) = 4,327; s–(RB) = 1,7425; SSV –(RB) = 1,1744; As+(RB) = 0,3353;
Ex+(RB) = – 0,9367.
Оскільки для портфелів цінних паперів, що досліджуються, практично рівними є величини сподіваних норм прибутку, середньоквадратичні та семіквадратичні відхилення, коефіцієнти асиметрії, то лише виходячи з того, що Ex+(RB) = – 0,9367 > – 1,6225 = Ex+(RA) і що As+(RB) » As+(RА) > 0, можна надати перевагу портфелю цінних паперів В як такому, що має менший ризик несприятливих відхилень норми його прибутку від її сподіваного значення. -
За міру ризику можна використовувати також величину:
або ж коефіцієнт варіації ексцесу
Очевидно, що величини Ex(X) та CVEx(X) мають негативні інгредієнти. А тому серед m альтернативних об’єктів Хk, k = 1, ..., m, перевага надається тому (Хk0), для якого виконується умова:
,
або ж у випадку, коли здійснюється відносне оцінювання ризику, умова:
Приклад 3.16. Норми прибутків портфелів цінних паперів виду А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.3.8.
Таблиця 3.8
| Період | Норма прибутку (%) | Період | Норма прибутку (%) | ||
| t | RA | RB | t | RA | RB |
| 11,73 | 3,71 | 4,85 | 5,06 | ||
| 7,99 | 4,90 | 4,59 | 5,92 | ||
| 9,95 | 1,73 | 4,0 | 7,67 | ||
| 11,7 | 2,67 | 4,64 | 4,94 | ||
| 7,65 | 3,88 | 6,58 | 2,81 |
|
Розв’язання. Для портфеля А:
M+(RА) = 7,368; s–(RA) = 2,9660; SSV –(RA) = 1,9356; As+(RA) = 0,3337;
Ex+(RA) = – 1,6225.
Для портфеля В:
M+(RB) = 4,327; s–(RB) = 1,7425; SSV –(RB) = 1,1744; As+(RB) = 0,3353;
Ex+(RB) = – 0,9367.
Оскільки M+(RA) ¹ M+(RB), то для порівняння портфелів цінних паперів необхідно використати оцінки ризику у відносному вираженні. Маємо:
тобто
.
Обчислимо коефіцієнти семіваріації:
тобто знову
.
Обчислимо і порівняємо коефіцієнти варіації ексцесу:
Оскільки = 0,3559 < 0,4476= , то перевагу слід надати портфелю цінних паперів А.
Аналогічний результат буде і в разі використання коефіцієнта варіації асиметрії.-