Математическое описание продуктообмена и управления 1 страница

Математика — наука абстрактная, помогающая понять, выразить и описать меру (через h — “ять”) всех вещей и процессов. Современная прикладная математика это — прежде всего численные методы, которые на практике при всём их многообразии сводятся к четырем действиям арифметики, выполняемым с конкретными (т.е. определёнными) числами в определённой последовательности. Иными словами с точки зрения прикладной математики все математические абстракции и символы — средства более или менее плотной упаковки четырёх действий арифметики.

Но, чтобы чисто математические методы обрели качество средства решения разного рода задач вне математики, необходимо математическим абстракциям каждого из них определённо сопоставить объективно измеримые на практике категории той отрасли деятельности общества, которая намеревается изпользовать чисто математический аппарат, поскольку арифметика неработоспособна в условиях численной неопределённости.

В ряде случаев не всё объективное удаётся выявить, а выявленное — измерить, и тогда, чтобы заполнить пустоты в избранной уже наперед математической модели и устранить численные неопределённости, прибегают к методу “экспертных оценок”. Суть его сводится к тому, что проводится изучение “общественного мнения” профессионалов (или тех, кого привыкли считать профессионалами в данной области) на основе некоего специально для каждого случая разработанного опросника. Из статистической обработки результатов опроса группы профессионалов — экспертов — извлекаются численные значения параметров, необходимые для работы алгоритма избранного численного метода прикладной математики.

Достаточно часто в условиях толпо-“элитаризма” метод экспертных оценок — не более чем средство подавления математическим аппаратом интеллекта несогласных и их психики в целом, имеющее целью придать профессиональному шарлатанству и аферизму облик строгой науки. Это обычно случается при явной неспособности понять произходящее в жизни, правильно поставить задачу и грамотно организовать её решение.

Метод экспертных оценок наиболее часто применяется в задачах, по их существу являющихся задачами определения иерархической упорядоченности вектора целей, и с ними связанных задачах определения “весовых коэффициентов” в разного рода численных критериях оптимального выбора только одного из множества возможных решений управленческой (равно проектной) задачи. Об этом и пойдёт речь далее.

Но поскольку нравственная предопределённость результатов деятельности разпространяется и на экспертов, то в обществе, в котором господствует извращённая нравственность, её порочность будет методом экспертных оценок в задачах определённой тематики неизбежно и неконтролируемо для общества воплощаться в ошибочность результатов приложений, вполне работоспособной и безошибочной “чистой” объективной математики как таковой.

Это тем более справедливо, если оказавшиеся среди множества ответов экспертов из ряда вон выходящие мнения либо вообще изключаются из разсмотрения, либо обрабатываются в составе всей остальной статистики, в которой они тонут. В действительности, тем более в кризисных обстоятельствах, когда большинство экспертов недееспособно[172], из ряда вон выходящие мнения как раз и могут выражать видение истинного положения вещей и направленности течения со‑бытий, и потому в нормальной системе управления по схеме предиктор-корректор им должно уделяться особое внимание. Причиной отказа от особого разсмотрения из ряда вон выходящих мнений экспертов может быть как невозможность изпользования их в уже принятой модели, так и несовместимость их с господствующим мировоззрением, всего лишь на основе которого уже принято определённое решение, нуждающееся только в своём “научном обосновании”.

Поэтому следует стремиться к тому, чтобы избегать метода экспертных оценок, и строить прикладные математические модели во всех отраслях деятельности на основе 1) объективно измеримых, числено определяемых параметров и 2) осознанно целесообразной иерархической упорядоченности их значимости, которую можно понять, объяснить и оспорить (в случае наличия иных моделей и воззрений на проблематику).

Если этого сделать не удаётся, то математическая модель утрачивает качество метрологической состоятельности, поскольку включает в себя объективно неизмеримые, т.е. числено не определимые объективно параметры и выражает неопределённый нравственно обусловленный субъективизм в построении, всегда объективно существующего, вектора целей.

К категории задач, где при помощи метода “экспертных оценок” умышленно или бездумно пытаются придать видимость объективности чьему-либо эгоизму, в своём большинстве принадлежат задачи управления и организации саморегуляции многоотраслевых производственно-потребительских систем (задачи “макроэкономики” — на слэнге “профессионалов”-экономистов) в общественно приемлемых режимах.

Многоотраслевой концерн, народное хозяйство в целом — “макро­экономика” — многоотраслевая производственно-потреби­тельская система. Графически схема продуктообмена в такого рода многоотраслевых производственно-потребительских системах может быть представлена так, как это было показано ранее на рис. 2. Но хотя рисунок и даёт наглядное представление об общем характере продуктообмена, но сам по себе он ничего не говорит о его количественных параметрах и о конкретных возможностях решения задач управления народным хозяйством.

Формально математически продуктообмен во многоотраслевой производственно-потребительской системе описывается уравнениями межотраслевого баланса продуктообмена и ценовых соотношений. Такого рода макроэкономические системы — системы импульсно­го, дискретного действия в том смысле, что при разсмотрении системы её переход из одного состояния в другое фиксируется по факту передачи продукции из ве­дения производителя в ведение её заказчика, а предшествующий передаче продукции продолжительный характер процессов производства является «внутренним делом» соответствующих элементов системы. По этой причине управленчески значимое описание продуктооб­мена во многоотраслевых производственно потребительских системах характеризует некоторый интервал времени DT. В силу биосферной обусловленности сельского хозяйства и системы образования (кузница кадров, без которой производство обречено деградировать и остановиться) длительность интервала времени, т.е. производственного цикла, на котором может быть разсмотрен полный продуктообмен всех отраслей, составляет не менее года; а удобство пользования моделью в подавляющем большинстве случаев обуславливает целочисленную (1, 2, 3, …) кратность DТ году.

Межотраслевой баланс продуктообмена показывает разпределение валового вы­пуска продукции каждой отрасли между всеми отраслями в процессе их производственной деятельности; кроме этих продуктов, изразходованных в процессе производства, в него входит конечный продукт каждой отрасли. К конечному продукту относят: 1) «инвестиционные продук­ты» — новые средства производства, 2) закупки в обеспе­чение деятельности государства, 3) потребление населения.

Соответственно такой объективной структуре продуктообмена, весьма отличающейся от марксистско-ленинской схемы обмена между «елками и булками», в основе межотраслевого баланса лежит квадратная таблица (матрица). Каждая её строка описывает разпределение продукции, производимой соответствующей ей отраслью, между всеми отраслями (показанными на рис. 2 в блоке 18 РСП) в процессе их производственной деятельности; а каждый её столбец описывает потребление продукции всех отраслей отраслью, ему соответствующей.

Рядом с этой таблицей разполагаются ещё несколько столбцов: слева — столбец валового выпуска, справа столбцы, соответствующие ранее перечисленным основным составляющим конечного продукта.

Баланс может быть представлен как в натуральном, так и в финансовом учёте продукции. При финансовом учёте продукции кроме строк, описывающих разпределение продукции между отраслями и прочими потребителями, в баланс включаются и дополнительные строки. Компоненты этих дополнительных строк входят в столбцы, соответствующие отраслям, и для каждой из отраслей характеризуют разные аспекты управления макро- и микроэкономического уровня в их финансовом выражении.

Математически баланс продуктообмена при его натуральном (а также и при стоимостном учёте) может быть описан системой линейных уравнений, повторяющих упорядоченность упомянутой таблицы продуктообме­на отраслей по строкам и столбцам (в такой форме уравнения не включают в себя дополнительные строки, характеризующие управление):

ì Х₁ = а₁₁ Х₁ + а₁₂ Х₂ + … + а_1n X_n + F₁
ï Х₂ = а₂₁ Х₁ + а₂₂ Х₂ + … + а_2n X_n + F₂
í . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1 )
ï
î Х_n = а_n1 Х₁ + а_n2 Х₂ + … + а_nn X_n + F_n

Здесь Х₁, … , X_n — валовой выпуск отраслей с первой по n-ную. Правая часть каждого из уравнений характе­ри­зует разпределение продукции соответствующей отрасли между её потребителями:

1) всем набором отраслей в сфере производства — столбцы, содержащие Х₁ , … , X_n ;

2) продукцией конечного потребления — столбец F₁ , … , F_n.

В этой системе второй коэффициент первого урав­нения — а₁₂ — численно равен количеству продукта от­расли № 1, необходимого отрасли № 2 для производ­ства единицы учёта продукции отрасли № 2. Все осталь­ные коэффициенты а₁₁ ,а₁₂ , … , а_nnимеют тот же смысл и на­зываются коэффициентами прямых затрат. Каждый из них характеризует культуру производства отрасли-потребителя: сколько необходимо продукции отрасли-по­ставщика по технологии + сколько будет украдено + сколько будет утрачено по безхозяйст­вен­ности.

Иными словами в математической модели (1) предполагается, что потребности всякой отрасли в продукции других отраслей прямо пропорциональны её валовому выпуску продукции. Совокупность же уравнений (1) связывает валовые мощности отраслей через пропорции отраслевого потребления продукции с полезным эффектом их деятельности — конечным продуктом, который представлен в общем-то двумя группами продукции:

· той продукцией, которая идёт на потребление, и ради получения которой общество занято хозяйственной деятельностью;

· и той продукцией, которая идёт на поддержание и дальнейшее развитие системы производства.

* * *
Уточняющее добавление 2004 г. [173]

Все достижения и отсутствие каких-либо достижений во всякой культуре выражают разнородные нравственно обусловленные потребности людей, а все потребности людей и общественных институтов разпадаются на два класса:

· биологически допустимые демографически обусловленные потребности — соответствуют здоровому образу жизни в преемственности поколений населения и биоценозов в регионах, где протекает жизнь и деятельность людей и обществ. Они обусловлены биологией вида Человек разумный, полово-возрас­т­ной структурой населения, культурой (включая и обусловленность культуры природно-географическими условиями) и направленностью её развития (к человечности либо назад в откровенное рабовладение или «консервации» исторически сложившегося человекообразия на основе придания ему каких-то новых форм, скрывающих нечеловечный характер цивилизации, но создающих видимость общественного прогресса);

· деградационно-паразитические потребности, — удовлетворение которых причиняет непосредственный или опосредованный ущерб тем, кто им привержен, окружающим, потомкам, а также разрушает биоценозы в регионах проживания и деятельности людей; приверженность которым (как психологический фактор, выражающийся, в частности, в зависти или неудовлетворённости к более преуспевшим в разнородном «сладо­страс­тии»), пусть даже и не удовлетворяемая, препятствует развитию людей, народов и человечества в целом в направлении к человечности. Они обусловлены первично — извращениями и ущербностью нравственности, вторично выражающимися в преемственности поколений в традициях культуры и в биологической наследственности.

* *
*

Баланс продуктообмена может быть составлен раздельно по демогра­фически обусловленному спектру потребностей и по деградационно-паразити­ческому спектру потребностей; может быть составлен и объединённый баланс.

Демографически обусловленный, биосферно допу­стимый спектр потребностей, обладает свойством предсказуемостина многие десятилетия вперёд на основе этнографии и тенденций изменения численности возрастных групп (т.е. он обусловлен культурой и динамикой демографической пирамиды общества).

Деградационно-паразитический спектр потреб­ностей включает в себя потребности, удовлетворение которых наносит ущерб тем, кто ему следует, их детям, внукам, ущемляет возможности развития окружающих, антагонизирует общество, в массовой статистике активизирует деградационные процессы в живущих и последующих поколениях, а ГЛАВНОЕ — разрушает биоценозы и биосферу Земли в целом.

Если каждое уравнение в системе (1) при натуральном учёте продукции в балансе ум­ножить почленно на цену продукта (спек­тра производ­ства отрасли в целом), производимого соответствующей уравнению отраслью, то система (1) при разсмотрении соответствующей строки характеризует източники доходов отрасли от продажи ею продукции; а столбец, соответствующий номеру отрасли, характеризует её разходы по оплате продукции, приобретаемой ею у поставщиков в обеспечение потребностей её собственного производ­ства.

Только после введения таким способом в баланс натурального продуктообмена финансовых количественных характеристик (цен), ниже системы уравнений можно выпи­сать ещё несколько строк функционально обусловленных разходов[174], производимых отраслью помимо оплаты продукции её поставщиков в процессе её собственного производства:

· Фонд заработной платы.

· Фонд развития и реконструкции производства.

· Благотворительность.

· Свободные, неразпределённые средства.

· Кредитный и страховой баланс (сальдо).

· Баланс налогов и дотаций (сальдо).

Эти записи помещаются ниже строк баланса продук­тообмена в столбцах соответствующих отраслей. Так межотраслевой баланс переводится в стоимостную форму учёта продукции.

В совокупности коэффициенты прямых затрат a_ij обра­зуют квадратную матрицу A. И уравнения межотраслево­го баланса продуктообмена могут быть записаны в матрично-векторной форме, одинаковой и для натурального, и для стоимостного учёта продукции:

(E -A)X = F ( 2 ) ,

где: E— диагональная матрица, все эле­менты которой — нули, кроме стоящих на главной диагонали e₁₁ , e₂₂ , … , e_nn; кроме того, E — единичная матрица, что означает: e₁₁= e₂₂= … = e_nn= 1; X и F — векторы-столбцы, спектры производства, вбираю­щие в себя Х₁ , … , X_nи F₁, … , F_n, соответственно.

Уравне­ние (2) позволяет ответить на вопрос: каким должен быть спектр валовых мощностей X при культу­ре производ­ства, описываемой матрицей A ,чтобы получить заданный спектр конечной продукции F.

Также возможны балансовые уравнения иного рода:

(E - A^T) P = r ( 3 ),

где матрица A^T получена в результате транспониро­вания, т.е. записи в столбец строки матрицы A с тем же номером: a₁₂^T= a₂₁и т.д.; P — вектор цен на продук­цию, учитываемую в балансе продуктообмена отраслей; а r — вектор-столбец, для каждой отрасли соответствующая компонента[175] которого — вся совокупность ранее пере­численных функционально обусловленных разходов (изключая закупки продукции у поставщиков, уже описанные левой частью уравнения), отнесенных к единице учёта (нату­рального либо финансового) валового выпуска отрасли. Компоненты векто­ра r традиционно называют «долями добавленной стоимости» в составе цены продукции (выде­ленное курсивом при употреблении термина обычно подразумевается).[176]

Само уравнение (3) называют уравнением равновесных цен. Оно описывает характе­ри­стики рентабельности производств во всём множестве от­раслей при спектре валового производства X, культу­ре производства, описываемой матрицей A , ценах P и кредитно-финансовой политике, описываемой составля­ющими вектора r.

Общественная приемлемость или желательность режима функционирования народного хозяйства, как целостности, от которой питаются, одеваются, обустраиваются люди во всех семьях, составляющие общество, может быть выражена как система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс продуктообмена в его натуральном учёте:

(E- A)X_K = F_K ³ F_{K min} ,

где F_{K min} — минимально допустимый спектр производства продукции конечного потребления. Здесь и далее для обозначения натурального учёта продукции употребляется мнемонический индекс «К» (от слова «каталог»), а для обозначения стоимостного учёта индекс «Р», напоминающий о прейскуранте, обозначаемом латинской буквой «Р».

Приведённое матричное неравенство описывает множество межотраслевых балансов, поскольку:

X_K = X_{K min} + DX_K , F_K = F_{K min} + DF_K ³ F_{K min}

— ва­риантные спектры возможного превышения минимально допустимых спектров X_{K min} , F_{K min} — однозначно не определены. Из этого множества допустимых вариантов баланса необходимо избрать только один межотраслевой баланс, т.е. пару значений X_K и F_K наилучших, оптимальных в некотором, однако определённом в конкретных жизненных обстоятельствах,смысле. Этот — избранный, в некотором определённом смысле оптимальный баланс, описывается уравнением:

(E- A)X_KП = F_{K П} ,

общий смысл которого ясен из предъидущего; мнемонический индекс «П» обозначает выбор параметров межотраслевого баланса в качестве плановых контрольных параметров макроэкономической системы.

При этом предполагается, что осуществляется ненапряжённое планирование, при котором плановые показатели, заведомо ниже предельно возможных (наивысших, достижимых при полной загрузке всех мощностей), что представляет собой условие обеспеченности ресурсами и мощностями варианта плана, избранного для выполнения. Такого рода плановая недогруженность производственных мощностей идёт в запас устойчивости плана[177] при его осуществлении. Иными словами, избранный план не “планка рекордной высоты”, через которую экономика в “социалис­тическом соревновании” должна “перепрыгнуть” на пределе своих возможностей; избранный план — это упорядоченный набор, заведомо достижимых контрольных показателей производственно-потребительской системы, ниже которых недопустимо уронить производство ни в одной из отраслей.

Математически принцип ненапряжённого планирования может быть выражен следующим образом:

F_{K предельно возможное} > F_KП ³ F_{K min}

Один из вариантов выбора смысла оптимальности состоит в том, что вариантный спектр производства F_K ³ F_{K min} должен достигаться при минимальных валовых производственных мощностях во всем множестве разсматриваемых отраслей X_K = (X_{K 1} , X_{K 2} , … , X_{K n})^T. Но отраслей много, вся их продукция не‑взаимо­заменяема и, чтобы найти минимум их потребных мощностей, необходимо избрать процедуру формального соизмерения объективно несоизмеримых разнокачественностей.

Одна из таких процедур, применяемых для построения критериев оптимальности — скалярное произведение двух векторов в ортогональном базисе:

z = r^T X_K = (r₁ , r₂ , … , r_n)(X_{K 1} , X_{K 2} , … , X_{K n})^T =

= r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n} ,

в котором компоненты вектора r выступают как «весовые множители» при компонентах вектора X_K валовых мощностей отраслей, приводя их к некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолёты и телевизоры, производимые разными отраслями.

Ортогональность базиса — перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства X_K , F_K. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:

ì (E -A) X_K = F_K ³ F_{K min}
í X_K ³ 0 (ЛП-П)
î Найти Min( Z ), Z = r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n}

В терминах математики это — задача линейного программирования[178] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие X_K ³ 0 , хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл — неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде X_K < X_{K max} , F_K < F_{K max} , ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера изпользуемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f =S a_i x_i , где а_i — коэффициенты, а x_i — переменные, i = 1, … , N . В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)£ c , f(x)³ c , которые оба должны удовлетворяться в решении системы.

Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940‑х гг. и изпользуется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только изключены из типичного вузовского курса в СССР[179], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методоло­ги­чески только математики-абстракцио­нис­ты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трёхмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + b = 0 — задаёт плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость разсекает полное безконечное во все стороны пространство на два “полупрос­тран­ства”, подобно тому, как удар ножом разсекает картофелину пополам. Замена знака равенства ( = ) в уравнении плоскости на знак неравенства (< , > , £ , ³ ) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из разсмотрения второго. При этом строгое неравенство ( < , > ) изключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое ( £ , ³ ) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остаётся прилепленным к одной из половинок “картофе­лины”).

Много неравенств — это вырезание безконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n‑мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n ‑ 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n‑мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n‑мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причём выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом — трехмерный эквивалент такого n-мерного многогранника. Свойство выпуклости проявляется в том, что, если из любой точки на её поверхности картофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном направлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности — также линейная функция n переменных:

Z = r^TX_K = (r₁ , r₂ , … , r_n)(X_{K 1} , X_{K 2} , … , X_{K n})^T =

= r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n} .

То есть скалярное произведение векторов r^TX_K в ортогональном базисе — также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁ , r₂ , … , r_n . При этом вектор r=(r₁ , r₂ , … , r_n)^T ортогонален (т.е. перпендикулярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = r^T X_K . Удаленность гиперплоскости от начала системы координат обусловлена значением Z , являющемся свободным членом уравнения:

r^T X_K - Z = 0.

При численно не определённом значении свободного члена Z этого уравнения пространство заполнено “пакетом” параллельных гиперплоскостей, каждая из которых “касается” соседних с нею двух. В трехмерной аналогии это — “слоёный вафельный торт”, в котором исчезающе тонкие вафли и прослойки начинки между ними — плоскости, различимые по значению Z каждой из них.

В задаче линейного программирования координаты точек, т.е. конкретный набор значений X_{K 1} , X_{K 2} , … , X_{K n} , определяющий значение аргумента Z = r^T X_K критерия оптимальности Min(Z), могут выбираться только из области, вырезанной всем набором неравенств-ограничений из n-мерного пространства.

То есть в трехмерной аналогии, нам сначала необходимо ориентировать в пространстве “слоеный торт” так, чтобы пакет плоскостей имел ориентацию, определяемую значениями r₁ , r₂ , … , r_n . Ориентация “торта” в пространстве предполагает, что слои его могут быть разположены вовсе не параллельно по отношению к плоской поверхности стола, на которую помещен “торт”. Потом этот “торт” следует обрезать “ножом”, как того требуют неравенства-ограничения. И после этого, если на столе что-то останется[180], из обрезанного пространственно ориентированного “слоё­но­го торта”, следует вынуть одну из плоскостей (“вафель” или “прослоек”), в которой достигается наименьшее (или наибольшее: Min(Z)=Max(-Z)) из значений аргумента Z критерия оптимальности: Z = r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n} . Поскольку на поверхности стола должна быть известна точка, соответствующая началу координат (например один из углов столешницы), то, чтобы выделить искомое решение, придётся вынуть из “торта” плоскость, самую близкую к ней (или самую удаленную от неё), так как экстремальное значение Min(Z) или Max(Z) однонаправленно обусловлены удаленностью от начала координат. Разстоянием между точкой и плоскостью в трехмерном пространстве является перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.