Абсолютні та відносні величини, їх застосування у податковій статистиці

План:

1. Поняття абсолютних величин та їх види.

2. Відносні величини, їх види та способи обчислення.

1.У результаті статистичного спостереження, зведення й групування зібраного статистичного матеріалу одержують різнобічну інформацію про досліджувані явища або процеси.

Підсумкові дані щодо досліджуваної сукупності загалом, її окремих груп і підгруп являють собою узагальнені показники. Вони можуть бути абсолютними і відносними.

Ці показники, з одного боку, невід’ємні від методу зведення й групування, а з іншого - їх узагальнене значення є початком наступної стадії статистичного дослідження - статистичного аналізу, у якому абсолютні й відносні величини відіграють визначальну роль.

Абсолютні величини - статистичні показники, що виражають розміри, обсяги отриманих податкових надходжень до бюджетів усіх рівнів у властивих їм одиницях виміру. Абсолютні статистичні розміри - числа іменовані, тобто завжди можна визначити одиниці виміру, визначену розмірність.

Розрізняють два види абсолютних величин: індивідуальні й загальні (сумарні).

Індивідуальні абсолютні величини виражають розміри кількісних ознак окремих одиниць сукупності (розмір прибутку підприємства, розмір реалізованої продукції, доходи працівників), їх отримують безпосередньо у процесі статистичного спостереження за податковою діяльністю і реєструють у формулярах спостереження. Вони служать базою для розрахунку загальних абсолютних величин і утворення групувань за кількісними ознаками.

Загальні (сумарні) абсолютні величини виражають розміри, обсяги тієї або іншої ознаки всіх одиниць даної сукупності або окремих груп (число одиниць усієї сукупності або окремих її частин). Вони належать до узагальнених статистичних показників.

Загальні сумарні абсолютні величини одержують у процесі зведення та групування шляхом:

• підсумовування значень ознак окремих одиниць сукупності (загальна сума податкових платежів);

• підрахунку числа одиниць сукупності (кількість податкових платежів, зареєстрованих несплачених податків);

• спеціальних розрахунків.

Для вираження абсолютних величин податкова статистика використовує такі одиниці виміру: натуральні, вартісні, трудові, одиниці часу та ін.

Натуральні одинці виміру виражають розмір явища залежно від фізичних властивостей. Вони бувають прості, комбіновані, умовно-натуральні (тонно-км, м, м², кг, т, ц тощо).

Трудові одиниці виміру (людино-години, людино-дні) використовуються для визначення витрат праці на виконання певної роботи працівниками податкових органів.

Одинці часу застосовують при визначенні терміну погашення податкової заборгованості, строків, у які повинна вкластися особа, що сплачує податки.

Вартісні (грошові) одиниці виміру є мірою загального обсягу продукції, що складається з різних вартостей (валовий внутрішній продукт, обсяг сплачених та несплачених податкових платежів тощо).

Своєрідною одиницею виміру є одиниці сукупності явищ, речей, предметів, коли їх підраховують для визначення загальної кількості. Кожне явище, річ, випадок є одночасно і одиницею сукупності, і одиницею виміру.

Абсолютні величини мають велике наукове і практичне значення. За ними можна судити про повноту сплати податкових платежів всіма суб'єктами процесу оподаткування, несприйнятливу тенденцію до їх зменшення та ін.

Будь-які статистичні операції (розрахунок відносних, середніх індексів, побудова статистичних рядів) ґрунтуються на абсолютних величинах, і в цьому їх значущість. Тому абсолютні величини є базовими. Проте їхні аналітичні можливості обмежені. За абсолютними величинами, наприклад, важко зробити висновок про рівень непогашених податкових платежів в різних країнах, регіонах і практично неможливо відповісти на запитання, де громадяни більше ухиляються від сплати податків, а де менше, тому що країни, регіони відрізняються чисельністю платників податків, територією тощо. Аналогічно важко відповісти на запитання, в якому з податкових органів особи несвоєчасно сплачують податкові платежі.

Щоб дати відповіді на ці та інші запитання, необхідно зіставляти, порівнювати абсолютні розміри. У результаті такого порівняння отримують інший вид узагальнених показників - відносні величини.

2.Відносні величини - це статистичні показники, що виражають кількісні співвідношення між явищами або процесами оплати податкових платежів, тобто узагальнюючі показники, які є результатом ділення однієї величини на іншу.

Величина, з якою проводиться порівняння, називається основою, базою порівняння.

Відносні величини показують, у скільки разів порівнювана величина більша чи менша за базисну, або яку частку перша становить стосовно другої, а в деяких випадках — скільки одиниць певної величини припадає на одиницю базисної величини.

Крім того, вони мають велике значення в аналізі взаємозалежних показників. Абсолютна величина не завжди дає правильну характеристику, оцінку явища. Наприклад, розмір отриманих податкових платежів по різних регіонах України. На підставі цих даних не можна зробити висновок про те, де податкові платежі сплачують більш повно. Для того, щоб зробити такий висновок, необхідно розмір отриманих податкових платежів порівняти з числом їх платників, тільки потім зіставити коефіцієнти платників податків. Відносні величини абстрагують розходження абсолютних і дають змогу порівнювати такі явища, абсолютні величини яких безпосередньо непорівнянні.

Відносні величини виражаються у коефіцієнтах, відсотках, промилях, децимилях та в іменованих числах.

У податковій статистиці використовують такі види відносних величин: структури, координації, динаміки, інтенсивності, порівняння, виконання плану (договірних зобов'язань), планового завдання.

Розглянемо докладно кожен вид відносних величин.

1. Відносна величина структури характеризує склад сукупності. Обчислюється діленням кожної частини сукупності на всю сукупність і виражається у відсотках або коефіцієнтах.

Наприклад, є дані про надходження до Державного бюджету податкових платежів (значення умовні) (табл. 4.1).

Таблиця 4.1

Розмір надходжень податкових платежів до державного бюджету України у 2008 році

Показники податкових надходжень до державного бюджету	Розмір, тис.	% до підсумку
1	2	3
Усього надходжень до державного бюджету	561,7
У тому числі:
Податок на додану вартість	112,34

Продовження табл. 4.1

1	2	3
Акцизний збір	118,0
Податок на прибуток	101,1
Податок на доходи фізичних осіб	151,7
Інші	78,6

На основі наведених даних розрахуємо показники структури:

Характеристика структури сукупності податкових надходжень становить важливу частину статистичного аналізу. За її допомогою можна з'ясувати, які податки несвоєчасно сплачуються у країні, місті, районі; як розподіляються виявлені особи, що не сплачують податкові платежі, за віком, родинним станом, освітою тощо.

2. Відносна величина координації характеризує співвідношення частин досліджуваної сукупності, що показують, у скільки разів порівнювана частина явища більша або менша за частину, прийняту за базу порівняння; За допомогою відносних величин координації визначають, скільки сплачує податкових платежів юридична особа (одна) по різних галузях економіки. Обчислюється відносна величина координації діленням кожної частини сукупності на частину, прийняту за базу порівняння.

Наприклад, є такі дані про розмір сплати податкових платежів за окремими галузями економіки (табл. 4.2):

Таблиця 4.2

Розмір сплати податкових платежів за окремими галузями національної економіки в 2008 році

Галузь національної економіки	Розмір	Структура, % до підсумку	Коефіцієнт координації
Сільське господарство		19,9
Промисловість		13,7	0,7
Фінансова та банківська діяльність	10 000	66,4	3,3
Разом	15 070		-

Визначимо відносні показники координації. За базу порівняння візьмемо податкові платежі, які були сплачені в сфері фінансової та банківської діяльності:

10 000:3000 = 3,3

2070:3000 = 0,69.

Одержані результати свідчать про те, що в 2008 p. у сфері промисловості податкових платежів сплачено в 3,3 рази більше, ніж у сільському господарстві, у фінансовій та банківській сферах сплата податкових платежів складає 0,7 від числа в грі сільського господарства.

3. Відносна величина динаміки характеризує ступінь зміни явища в часі. Обчислюється діленням показників кожного наступного періоду на показники попереднього або початкового і виражається у відсотках, коефіцієнтах (разах).

Наприклад, є дані про надходження до бюджету податку на додану вартість за і роки (табл. 4.3):

Таблиця 4.3

Надходження до бюджету податку на додану вартість за 2005—2008 рp. (цифри умовні)

Роки
Абсолютний розмір
Темпи зростання, %
Ланцюгові		103,0	101,0	97,0
Базисні		103,0	104,0	100,9

Обчислимо ланцюгові темпи динаміки:

Визначимо базисні темпи динаміки:

Ланцюгові темпи динаміки відображають зміну показника за кожний період (рік) відносно попереднього періоду (року).

Базисні темпи динаміки показують накопичені зміни, тобто зміни за рік, два, три. Так, у 2008 р. абсолютна кількість злочинів порівняно з 2005 р. зросла на 282, або на 0,9% (100,9-100).

4. Відносні величини інтенсивності характеризують ступінь насиченості досліджуваним явищем певного середовища розвитку або проживання. Обчислюються діленням різнойменних величин і виражаються іменованими числами (коефіцієнти оподаткування підприємств, податкомісткість діяльності підприємств, податкова квота підприємства, охоплення пільговим оподаткуванням).

У податковій статистиці використовується багато показників відносної величини інтенсивності.

У податковій статистиці найпоширеніші такі:

Коефіцієнт інтенсивності сплати податків:

Коефіцієнт випадків несплати податкових платежів в 2005 р. в Україні становив 11 випадків несплати податків на 1000 громадян держави. Зареєстровано в Україні 561,7 тис. випадків несплати податків. Середньорічна чисельність населення 50 100 тис. чол.

Коефіцієнт активності платників податків:

Для об'єктивної оцінки рівня окремих груп і видів злочинів розраховують коефіцієнт насильницьких, корисливих, економічних діянь або умисних убивств, крадіжок, зґвалтувань тощо.

Відносні величини інтенсивності дають змогу об'єктивніше оцінювати причини несплати податкових платежів та їх види і порівнювати їх у часі й просторі.

5. Відносна величина порівняння характеризує співвідношення однойменних показників, що стосуються різних об'єктів. Виражається в коефіцієнтах (разах) або відсотках.

Наприклад, порівняння рівня оподаткування в Києві, Львові, Одесі або податкова квота підприємства у розрахунку на 100 тис. чол. в окремих регіонах.

6. Відносна величина виконання плану (договірних зобов'язань) характеризує співвідношення фактичних і планових рівнів показника; виражається у відсотках.

Перехід до ринкової економіки істотно підірвав роль планових завдань у господарській діяльності. Проте без планування в різних сферах діяльності жодна країна не існує. Питання в тому, як і що планувати.

Плани роботи були і будуть одним із важливих аспектів упорядкованої управлінської діяльності в органах податкової адміністрації, податкової інспекції, податкової міліції та інших фінансових (економічних) установах.

Виконання планів потребує постійного аналізу, інакше вони втрачають свою організуючу функцію.

Техніка обчислення відносної величини виконання плану така:

Наприклад, обласна податкова інспекція міста планувала отримати від державного бюджету податкових платежів на суму 24 млн. грн., а фактичного отримала товарів на 30 млн. грн. Тоді:

План виконано на 125 %.

7. Відносна величина планового завдання показує, у скільки разів плановий рівень того чи іншого показника перевищує фактичний його рівень у базисному періоді.

Обчислюється діленням планового завдання звітного (поточного) періоду на фактичний рівень показника в минулому (базисному) періоді.

Наприклад, податкова адміністрація Луганської області торік отримала податкових платежів на суму 20 млн. грн., а в звітному планує отримати 24 млн. грн.

Відносна величина планового завдання дорівнюватиме:

Податкова адміністрація в Луганській області планує збільшити надходження податкових платежів в 1,2 рази, або на 20 % порівняно з минулим роком. Отже, з викладеного можна зробити такі висновки:

• абсолютні розміри необхідні для керування і планування громадського життя;

• абсолютні розміри необхідно доповнювати відносними розмірами, що значно збагатить і поглибить аналіз досліджуваних явищ.

Контрольні питання:

1. Роль абсолютних і відносних величин в статистичному аналізі податкової діяльності.

2. Яке призначення абсолютних і відносних величин, їх види одиниця вимірювання?

3. Дайте характеристику видів відносних величин та способу їх обчислення.

4. Які відносні величини динаміки використання планового завдання податкових органів і їх взаємодія?

5. Назвіть способи обчислення абсолютних величин.

6. Що таке відносні величини, структура, яке призначення і взаємодія з показниками динаміки?

7. Що таке відносні величини координації і яка їх взаємодія з показниками дінамики?

8. Що таке відносні величини порівняння і яка їх взаємодія з показниками динаміки.

Рекомендована література:

Основна [2,4,5,6,13,14,23,26]

Додаткова [67,73,80,89]

ТЕМА 5.

Середні величини, їх значення та умови використання

План:

1. Суть середніх величин, їх значення та умови використання.

2. Види середніх величин.

3. Середня арифметична величина.

4. Середня геометрична величина.

5. Мода і медіана.

6. Показники варіації.

1.Наступними узагальнюючими показниками теля абсолютних і відносних величин е середні величини і показники варіації.

Середньою величиною у податковій статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ з будь-якої варіаційної ознаки, що показує рівень ознаки, розрахований на одиницю сукупності. Разом із методом групувань середні величини у статистиці є одним з основних методів опрацювання й аналізу масових даних.

Значення середніх величин у тому, що вони:

• допомагають в аналізі, даючи змогу кількісно охарактеризувати найважливіші закономірності суспільного життя, що проявляються у зростанні середньої продуктивності праці, збільшення податкових надходжень до бюджетів усіх рівнів, середніх витрат сировини та матеріалів, електроенергії та ін.;

• широко застосовуються у практиці планування виробничо-господарської діяльності підприємств, фірм, банків та інших господарських одиниць та суб’єктів оподаткування. Планові завдання складаються на основі середніх норм виробітку, витрат сировини, матеріалів, електроенергії тощо;

• необхідні для вивчення взаємозв’язків між досліджуваними ознаками та факторами, що впливають на них.

У податковій статистиці середні величини використовуються для обчислення середньої кількості платників податкових платежів на одного працівника податкової інспекції, термінів проведення перевірок суб’єктів оподаткування та їх дотримання, середньої кількості осіб, які порушують існуюче податкове законодавство, середньої кількості накладених штрафних санкцій та ін. За допомогою середніх величин можна порівняти практику призначення фінансових санкцій у двох районах (областях), схожих за рівнем і структурою господарської діяльності. Середня величина як категорія податкової статистики - це, з одного боку, реальний показник, що відображає об’єктивно існуючі властивості суспільних явищ, на основі яких можуть бути обчислені середні показники; а з іншого — у них взаємознищуються індивідуальні розходження багатьох величин одного й того самого виду. Середня величина абстрагується від індивідуальних розходжень ознак, але зберігає їхні основні властивості, загальні умови. Філософський зміст середніх величин обґрунтував А. Кетле. Згідно з його вченням масові процеси і явища формуються під впливом двох груп причин:

• які визначають стан масового процесу, вони загальні для всіх одиниць сукупності;

• випадкових, тобто таких, що формують специфічні особливості окремих одиниць сукупності, а отже, і відхилення від типового рівня.

При обчисленні середніх величин для великого числа одиниць сукупності випадкові причини взаємознищуються, і середня, абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих одиниць, виражає загальні властивості, притаманні всім одиницям сукупності.

Середні величини дають правильну характеристику сукупності суспільних явищ, якщо дотримуються такі умови їх застосування:

1. Середні величина повинні обчислюватися тільки для якісно однорідних сукупностей стосовно досліджуваної ознаки. Якісна однорідність сукупності визначається попереднім економічним аналізом.

Наприклад, чи можна вважати середню заробітну плату правильною, наприклад, для такого випадку: три чоловіки за місяць заробили 200, 100 і 1200 грн.

Середня заробітна плата =

Математично обчислено правильно. Але середня величина у податковій статистиці - це не просто математична величина, а категорія об’єктивної дійсності. У нашому прикладі за рівнем заробітної плати ці люди належать до різних категорій працівників, і тому така середня неправильно відображає об’єктивну дійсність.

2. Метод середніх величин потрібно поєднувати з методом групувань. Неоднорідну сукупність необхідно розбити на однорідні групи. Замість загальної середньої величини треба обчислити середні для однорідних труп.

3. Середні для об'єктивнішого аналізу необхідно доповнювати індивідуальними значеннями ознак, тому що середня гасить будь-які індивідуальні відхилення. За благополучними середніми приховуються хиби на окремих ділянках роботи або якісь досягнення.

4. Середні величини мають обчислюватися не на основі поодиноких фактів, а масових суспільних явищ відповідно до закону великих чисел. Тоді взаємознищуються можливі випадкові відхилення і середня величина правильно характеризує типовий розмір ознаки.

Необхідно знайти правильний спосіб обчислення середньої величини. Статистика використовує багато видів середніх величин. Але правильну характеристику сукупності з варіюючої ознаки дає тільки один вид середньої величини.

2.У податковій статистиці застосовуються кілька видів середніх величин. Усі вони належать до класу степеневих середніх, загальна формула має такий вигляд:

(5.1)

де - середня величина;

Х — варіанта;

т — показник ступеня середньої;

п— число одиниць сукупності.

Якщо т = 1, то середня арифметична

(5.2)

Якщо т = 2, то середня квадратична

(5.3)

Якщо т - -і, то середня гармонійна

Якщо т = 0, то середня геометрична

де К₁К₂...К_n - ланцюгові коефіцієнти динаміки.

Крім ступеневих середніх величин у податковій статистиці застосовуються описові характеристики ряду розподілу ознаки - мода (Мо) і медіана (Ме).

Вибір способу розрахунку середньої (виду середньої) залежить від вихідних даних. Правильну характеристику сукупності з варіаційної ознаки у кожному окремому випадку дає тільки один цілком визначений вид середньої. Він зумовлений існуючими зв'язками між середньою та елементами, від яких вона залежить:

(5.6)

або

(5.7)

Це кількісне відношення, зумовлене природою показників, визначає спосіб обчислення середньої величини і є критерієм вибору виду середньої (способу обчислення).

У податковій статистиці широко застосовується середня арифметична величина (для оцінки навантаження працівників податкових служб, середній термін проведення перевірок, середній термін повернення податкового боргу та ін.).

Середня геометрична величина використовується для визначення середніх темпів динаміки економічно значущих явищ.

Середня квадратична величина застосовується при вивчення зв'язків між досліджуваними явищами та їх причинами методом кореляційного аналізу та ін.

3.Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична. Вона обчислюється, коли є дані про окремі значення ознаки, що варіює, і про число всіх одиниць сукупності, щодо якої визначається середнє значення цієї ознаки.

Наприклад, річне навантаження 10 податкових інспекторів районної податкової інспекції склало: 20,40, 53, 70, 20, 75,40,40, 80, 30.

Обчислимо середнє річне навантаження на одного інспектора:

Розрахунок проведений за середньою арифметичною простою. Вона застосовується, коли дані не згруповані або частоти однакові.

Якщо частоти різні, то розрахунок середньої величини роблять за середньою арифметичною зваженою: (табл. 5.1):

(5.8)

де ƒ — частоти;

х — варіанти.

Таблиця 5.1

Групування податкових інспекцій в Луганській області за числом платників податкових платежів — фізичних осіб

Кількість платників податкових платежів, х	Кількість податкових матеріалів, ƒ	хƒ
Разом

Обчислимо середнє навантаження на одного податкового інспектора:

справ.

Середня називається арифметичною зваженою, тому що визначається з урахуванням питомої ваги окремих значень ознаки в загальній сукупності (xƒ).

Її обчислення зумовлене тим, що розмір середньої залежить від конкретних значень ознаки (варіант) і їх питомої ваги в досліджуваній сукупності. При розрахунку середньої арифметичної часто не обов'язково знати вагу кожного індивідуального значення (варіант). В офіційній податковій статистичній звітності є сумарні розміри. На основі цих узагальнених показників можна обчислити середню арифметичну величину.

Наприклад, у Луганську у 2008 р. було накладено фінансових санкцій на 9368 чол., зареєстровано 31 308 порушень податкового законодавства. На основі цих сумарних даних можна обчислити кількість порушень податкового законодавства, що припадають на одного притягнутого до фінансової відповідальності:

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної величини в інтервальному варіаційному ряду. Для цього розподілимо 10 податкових інспекторів за кількістю справ щодо недотримання податкового законодавства на три групи з однаковими інтервалом (табл. 5.2).

Таблиця 5.2

Групування податкових інспекторів за кількістю справ щодо недотримання податкового законодавства

Кількість платників податкових платежів	Кількість податкових інспекторів, ƒ	Середина інтервалу, ƒ	хƒ
20-40
40-60
60-80
Разом

Визначимо інтервал груп:

Обчислимо середнє навантаження на одного податкового інспектора. Для цього інтервальний ряд потрібно перетворити у дискретний, тобто визначити середину інтервалу як напівсуму мінімального та максимального значень ознаки у кожній групі. Потім обчислити добуток хƒ суму добутків поділити на суму частот:

Середня в інтервальному ряду є величиною наближеною. Це пояснюється тим, що замість середньої у кожній групі використовується середина інтервалу, а вона може відрізнятися від дійсного середнього розміру ознаки в даній групі, якщо варіанти в межах інтервалу розташовані нерівномірно.

Середня арифметична величина має математичні властивості, знання яких дає змогу значно спростити розрахунок середньої:

1) добуток середньої на суму частот дорівнює сумі добутків варіантів на частоти:

(5.9)

2) якщо кожну варіанту зменшити (збільшити) на якесь число, то і нова середня зменшиться (збільшиться) на це число;

3) якщо кожну варіанту поділити (помножити) на якесь число, то і нова середня, зменшиться (збільшиться) у стільки ж разів;

4) від зменшення або збільшення частот у кілька разів середня не змінюється;

5) сума відхилень варіант від середньої завжди дорівнює нулю:

(5.10)

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної способом моментів на такому прикладі (табл. 5.3).

Таблиця 5.3

Групування пред'явлених позовів до порушників податкового законодавства

Розмір грошових коштів, пред'явлений позовом до порушників податкового законодавства, тис. грн.	Кількість позовів, ƒ		Середина інтервалу, х	х - а, а=750
До 300				-600	-2	-22
300—600				-300	-1	-25
600—900
900—1900
1200—1500
Разом						-15

Послідовність розрахунку така:

1) інтервальний ряд перетворимо у дискретний, тобто обчислимо середину кожного інтервалу ( ); та ін.

2) зменшимо частоти в 10 разів (якщо є загальний дільник для частот, );

3) зменшимо варіанти на число а. Найбільшого ефекту досягнемо, коли а дорівнюватиме варіанті, що має найбільшу частоту (х-а);

4) зменшимо варіанти в і разів, де і — найбільший загальний дільник для зменшених варіант. У рівно інтервальному групуванні і дорівнює інтервалу

5) зменшені варіанти помножимо на частоти і знайдемо суму добутку

6) обчислимо середню вартість позову зі зменшених варіант, що називається моментом першого порядку (т₁) за формулою

Знаходимо середню з моменту першого порядку:

Отже, середній розмір пред'явленого позову становить 705 млн. грн.

Середня гармонічна у податковій статистиці не застосовується. Це обернена величина середньої арифметичної й обчислюється, якщо, є варіанти й добуток варіант на частоти, а частоти відсутні.

4.Для вивчення інтенсивності розвитку яких-небудь явищ у часі використовується середня геометрична величина.

Якщо розрахунок проводиться на базі рівнів ряду динаміки, то застосовується формула:

(5.11)

де X — середній темп росту;

у_п — останній рівень ряду динаміки;

У₀ — базисний рівень ряду динаміки (часто перший);

п, — число років (періодів).

Наприклад, у 1998 р. було зареєстровано 20 913 порушень податкового законодавства, а в 2007 р. — 31 308. Середньорічний темп росту зареєстрованих податкових порушень становив:

тобто з 1998 по 2007 р. порушень податкового законодавства щорічно збільшувалося на 4,6 %. Якщо відомі темпи динаміки за кожний рік, то розраховується середній темп зростання за весь період за формулою:

(5.12)

де К₁, К₂,...,К_п — ланцюгові темпи динаміки;

п — кількість ланцюгових темпів динаміки.

Наприклад, кількість зареєстрованих порушень податкового законодавства у місті Луганську збільшилася:

у 2001 р. на 13,1%, або в 1,131 раза;

у 2002 р. на 12%, або в 1,12 раза;

у2003 р. на 11,5%, або в 1,115 раза;

у 2004 р. на 11 %, або в 1,11 раза;

у 2005 р. на 12%, або в 1,12 раза;

у 2006 р. на 14,4%, або в 0,856 раза.

Середній річний темп динаміки зростання за ці роки становить:

Розрахунок робимо за допомогою таблиць середньорічних темпів зростання, розроблених А. Айрапетовим.

Якщо маємо темпи динаміки явища за певний відомий період, то розрахунок роблять за першою формулою.

Припустимо, з 1998 по 2006 р. злочинність у місті Луганську зросла в 1,5 раза. Отже, середньорічний темп зростання порушень податкового законодавства можна обчислити так:

5.Модою у податковій статистиці називають значення ознаки (варіанта), яка часто зустрічається в досліджуваній сукупності (Мо).

Звернемося до табл. 5.1, де наведений розподіл робітників податкових інспекцій за числом платників податкових платежів на кожного з них. Модою буде 40 платників податкових платежів, тому що троє податкових інспекторів працюють з такою кількістю цивільних справ.

У дискретному ряді розподілу модою буде варіанта; що має найбільшу частоту. В інтервальному ряду розподілу мода обчислюється за формулою:

(5.13)

де х₀ — мінімальна межа модального інтервалу;

і — розмір модального інтервалу;

— частота модального інтервалу;

—частота інтервалу, що передує модальному;

— частота інтервалу, що стоїть за модальним.

Обчислимо модальне число платників податків, що припадає на одного інспектора (див. табл. 5.2). Спочатку визначимо модальний інтервал. Модальним буде інтервал 20—40, бо має найбільшу частоту = 6.

Підставимо значення у формулу:

Отже, найпоширеніше навантаження працівників податкових інспекцій — 31 платник.

Для групування, представленого у табл. 4,3, мода дорівнюватиме:

Медіаною у податковій статистиці називається варіанта, що розташована в середині рангованого ряду і поділяє його навпіл (Me).

Щоб визначити медіану в дискретному ряді, потрібно суму частот ділити на 2 і до отриманого результату додати 0,5. Так визначають номер, під яким стоїть медіана в рангованому ряду. Обчислимо медіану для нашого прикладу (див. табл. 5.1)

Медіана буде розташована між 5 і 6 варіантами в рангованому ряду, якщо всім варіантам присвоїти порядкові номери. Щоб визначити, яка варіанта розташована між цими номерами, роблять накопичення частот (кумулятивні частоти): 2+1+3 = 6, отже, 40 справ і буде медіаною, або

№ п/п	1 2 3 4 5	6 7 8 9 10
Кількість платників	20 20 30 40 40	40 53 70 75 80
	Ме

Оскільки під номерами 5 і 6 стоять по 40 платників податкових платежів, то середина між ними теж дорівнює 40:

В інтервальному ряду медіана обчислюється за формулою:

(5.14)

де х₀— мінімальна межа медіанного інтервалу;

і — величина медіанного інтервалу;

S_Mе-1 — сума накопичених частот, що передує медіанному інтервалу;

—частота медіанного інтервалу.

Спочатку визначаємо медіанний інтервал. Для цього суму частот ділимо навпіл і додаємо 0,5. Так знаходимо номер, під яким повинна міститися медіана. Щоб знайти інтервал, який стоїть під цим номером, робимо накопичення частот до потрібного номера.

Розглянемо обчислення медіани на прикладі (див. табл. 5,3)

Знаходимо номер медіанного інтервалу:

Накопичуємо частоти:

110+250=360+380=740.

Отже, медіанним буде інтервал 600—900. Підставимо дані у формулу й обчислимо медіану:

Отже, 500 позовів до податкової інспекції мають меншу вартість, ніж 710,5 тис. грн, а 500 — більшу. Це середина рангованого ряду.

На відміну від середніх, що є своєрідною статистичною абстракцією, мода і медіана — величини конкретні. На практиці іноді використовують моду замість середньої арифметичної або разом із нею.

6.Середні величини дають узагальнену характеристику варіюючої ознаки досліджуваної сукупності. Розрахувавши їх, необхідно, усвідомити, наскільки вони типові, надійні та наскільки однорідна сукупність за досліджуваною ознакою.

Статистичні сукупності можуть мати однакові значення середньої, але значно відрізнятися коливаннями індивідуальних даних. За характером і ступенем відхилення (варіації) ознаки можна зробити висновок щодо якісної однорідності статистичної сукупності та надійності самої середньої.

Наприклад, в одному випадку навантаження 10 податкових робітників міської податкової інспекції, що становило: 20, 40, 53, 70, 20, 75, 40, 40, 80, 30 платників, 47 платників, у іншому — 10, 20, 25, 35, 40, 45, 55, 60, 80, 100 платників, 47 платників.

Таким чином, середні величини рівні, а ряди істотно різняться між собою: перший ряд однорідніший, а отже, і середня надійніша, ніж у другому ряду.

Вивчення варіації ознаки дає можливість визначити, які чинники і якою мірою впливають на розмір досліджуваних ознак.

Вивчення варіації ознаки необхідно для наукової організації вибіркового спостереження, дисперсійного і кореляційного аналізу.

Для вивчення варіації ознаки використовують такі показники:

• розмах варіації (R);

• середнє лінійне відхилення (d);

• дисперсія і середнє квадратичне відхилення (σ₂, σ);

• коефіцієнт варіації(V).

Розмах варіації—це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки:

(5.15)

Для нашого прикладу:

R₁= 80 - 20 = 60 платників податків,

R₂ = 100 - 10 = 90 платників податків.

Розходження істотні: R₁ > R₂, в 1.5 раза.

Розмах варіації відображає відхилення тільки крайніх значень ознаки, які часто бувають нетиповими або мають випадковий характер. Тому цей показник використовують для попередньої оцінки варіації.

Набагато точнішою буде характеристика варіації, якщо показник враховуватиме відхилення кожної варіанти від середньої. Відхилень при цьому утвориться стільки, скільки самих варіант. Тому для узагальненої характеристики величини усіх відхилень необхідно обчислити їх середню величину. Розрахунок ускладнюється тим, що сума всіх відхилень варіант від середньої величини дорівнює нулю, тому середнє відхилення варіант від середньої величини не можна обчислити як середню арифметичну.

У зв'язку з цим знаходять середню з модулів або з квадратів відхилення, одержуючи при цьому відповідно середнє лінійне відхилення або дисперсію.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень (модулів) відхилень окремих значень варіаційного ознаки від його середнього значення.

Середнє лінійне відхилення обчислюється за такими формулами: (для не згрупованих даних):

(для згрупованих даних), коли частоти різні:

Для нашого прикладу:

платників податків

платників податків.

Середнє лінійне відхилення менше у першому випадку, а це підтверджує, що перша сукупність одно рідніша і середня надійніша, ніж у другій сукупності.

Розглянемо обчислення середнього лінійного відхилення, коли частоти різні (див. табл. 7.13). Ці розрахунки подані у табл. 5.4, 5.5.

Таблиця 5.4

Розподіл платників податків за податковими інспекторами, що їх обслуговують

I випадок

Кількість платників податків, х	Кількість податкових інспекторів, f
Разом

Отже, середнє лінійне відхилення дорівнює: платників податків.

Таблиця5.5

Розподіл платників податків за податковими інспекторами, що їх обслуговують

II випадок

Кількість платників податків, x	Кількість податкових інспекторів, f
Разом		-

Отже, середнє відхилення дорівнює: платник податків.

Середнє лінійне відхилення менше в першому випадку, що підтверджує той факт, що сукупність більш однорідна і в середньому більш надійна, ніж у другій сукупності. Через ігнорування знака цей показник варіації менш популярний, ніж дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія — це середня величина із квадратів відхилень варіант від середньої величини (s²), а корінь квадратний із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням.

Дисперсія обчислюється за формулами: для не згрупованих даних:

(5.19)

для згрупованих даних, коли частоти різні:

(5.20)

Визначимо ці показники для нашого прикладу (табл. 5.6, 5.7). Розрахунок дисперсії і середнього квадратичного відхилення.

Таблиця 5.6

Для згрупованих даних

I випадок

Кількість платників податків, х	Кількість податкових інспекторів, f	х - х х = 47
		-27
		-17
		-7
Разом		—	—

Таблиця 5.7

Для не згрупованих даних

II випадок

Кількість платників податків, х	х – х х = 47
	-37
	-27
	-22
	-19
	-7
	— 2
Разом	—

Отже,

Тоді

платник податків;

платників податків.

Середнє квадратичне відхилення у першому випадку менше, ніж у другому.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є найпоширенішими й загальновідомими абсолютними показниками варіації досліджуваної ознаки.

Ці показники мають математичні властивості, які допомагають спростити розрахунок:

• дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значення ознаки (х² )1 квадратом їх середньої ( х² ):

(5.22)

Цей спосіб розрахунку ефективний у тому разі, якщо варіанти виражені невеликими числами і їх небагато;

• дисперсія не змінюється, якщо усі варіанти збільшити або зменшити на якесь постійне число а;

• якщо усі варіанти поділити (помножити) на будь-яке число (і), то дисперсія зменшиться (збільшиться) у і² разів, а середнє квадратичне відхилення - відповідно в і разів.

На цих властивостях дисперсії заснований спрощений спосіб обчислення середнього квадратичного відхилення. Розглянемо розрахунок на прикладі (табл. 5.8):

Таблиця 5.8

Розподіл порушень податкового законодавства за віком платників податків

Вік платників податків	Кількість порушень податкового законодавства, % до результату, f	Середина інтервалу, х	х — а о = 28
До 18			-15	-3	-9
19-23			-10	-2	-22
24-28			-5	-1
29-33
34-38
39-43
44-48
49-53
Разом

Порядок розрахунку такий:

1) інтервальний ряд перетворюємо у дискретний;

2) знаходимо відхилення х - а, де а дорівнює варіанті, що має найбільшу частоту, або варіанті, розташованій в середині ряду;

3) відхилення х - а зменшуємо в і разів, де і - найбільший загальний дільник. У рівноінтервальному ряду і дорівнює інтервалу;

4)

зменшені варіанти множимо на частоти і визначаємо суму добутку

Знаходимо момент першого порядку:

5)зменшені варіанти підносимо до квадрата;

6)піднесені до квадрата зменшені варіанти множимо на відповідні частоти, знаходимо суму добутків і обчислюємо момент другого порядку:

(5.24)

Середнє квадратичне відхилення визначається за формулою:

де m₂ - середній квадрат значення ознаки (х²);

m₁² - квадрат середнього значення ознаки (х²).

Поставивши значення, одержуємо:

років.

Вік порушників податкового законодавства відхиляється (варіює) від середнього віку (29 років) на ±8 років:

років.

Усі розглянуті показники варіації характеризують абсолютний розмір відхилення і виражаються в тих самих одиницях виміру, в яких виражені варіанти і середня. Для порівняльної характеристики варіації рядів із різними рівнями застосовується відносний показник варіації — коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації — це відношення середнього квадратичного відхилення до середньої величини, виражене у відсотках:

(5.25)

Він більш наочно характеризує варіацію ознаки і є певною мірою критерієм надійності середньої. Якщо коефіцієнт варіації більший 40 % (а в деяких випадках 33 %), то це означає, що середня не дуже надійна для даної сукупності і сукупність за цією ознакою неоднорідна.

Обчислимо коефіцієнт варіації для наших прикладів:

Надійність середньої і у першому, і в другому випадках невелика, але в першої трохи вища. Щодо сукупності розподілу порушників податкового законодавства за віком суб'єктів, то вона однорідна і середня надійна, типова, тому що коефіцієнт варіації менший 33 %:

Контрольні питання:

1. Що таке середня величина і які принципи застосування середніх величин?

2. Які класи та види (форми) середніх величин, що застосовуються в податковій статистиці?

3. Перерахуйте правила вибору формули середніх величин.

4. Які прийоми розрахунку середній арифметичної величини за даними ряда перерозподілу в податковій статистики?

5. Перерахуйте основні ознаки середній арифметичній величини.

6. Приведіть розрахунок середніх величин через показників структури.

7. У чому сутність середньої геометричної величини в податковій статистики?

8. Роль моди та медіани в податковій статистики.

9. Значення варіації в податковій статистики.

Рекомендована література:

Основна [2,3,4,5,6,7,27,35,39]

Додаткова [64,65,67,87,88,89]