Iii. Задачи для подготовки к контрольным работам

В третьем семестре студенты выполняют две контрольные работы. Первая контрольная работа содержит задачи из раздела «Теория вероятностей». Для подготовки к ней рекомендуется решить следующие задачи.

Y X
0,2 0,15 0,1
0,3 0,2 0,05

1.Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задано таблицей:

Найти закон распределения случайной величины . Найти rxy . Выяснить, являются ли X и Y зависимыми случайными величинами.

Z -2 -1 1 2 4
P 0,1 0,15 0,25 0,2 0,3

Ответ: rxy = -0,165; X и Y – зависимы.

2.Совместное распределение дискретных случайных величин X1, X2, X3 задано следующими таблицами:

X1 X2 -1   X2 X3   X1 X3 -1
0,4 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,2

Составить корреляционную таблицу К. Найти M[Z] и D[Z], если Z = X1 + 2X2 – X3.

Ответ: , M[Z] = 1,6; D[Z] = 1,84.

3.Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D определяется неравенствами Найти 1) коэффициент a; 2) математические ожидания mx и my; 3) средние квадратические отклонения σx, σy; 4) коэффициент корреляции rxy.

Ответ: .

4.Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D – треугольник, ограниченный прямыми: Найти 1) коэффициент a; 2) математические ожидания mx и my; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции rxy.

Ответ:

5.Монета подбрасывается 100 раз. Найти вероятность того, что число выпавших гербов заключено в пределах от 40 до 60.

Ответ: 0,9544.

6.На отрезке [0; 1/4] случайным образом выбраны 162 числа, каждое из которых имеет равномерное распределение на этом отрезке. Найти вероятность того, что их сумма будет находиться в пределах от 22 до 26.

Ответ: 0,029.

7.Случайные величины X и Y распределены по одному и тому же:

а) показательному закону с параметром λ = 0,1;

б) равномерному закону в интервале (0,1).

Найти M[Z], где Z = X + Y.

Ответ: а) M[Z] = 20,

б) M[Z] = 1.

Вторая контрольная работа содержит задачи из раздела «Линейное программирование». Для подготовки к ней рекомендуется решить следующие задачи.

1. Решить задачу Л.П. графически. Записать двойственную задачу и найти ее решение, используя вторую теорему двойственности. Решить двойственную задачу симплекс-методом.

z=-x1+3x2 ® max

Ответ:

2. Решить задачу симплекс-методом.

Ответ:

3. Записать двойственную задачу и решить ее графически. Используя результат, полученный для двойственной задачи, сделать вывод относительно существования решения исходной задачи.

Ответ: задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений.

IV. Вопросы к экзамену

I . Теория вероятностей

1.Центральная предельная теорема и ее следствие.

2.Закон больших чисел.

3.Многомерные случайные величины. Способы задания закона распределения двумерных дискретных и непрерывных случайных величин.

4.Определение закона распределения составляющих величин.

5.Независимость случайных величин.

6.Числовые характеристики двумерных случайных величин. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью.

7.Функции от случайных величин. Определение закона распределения функции по закону распределения аргумента.

8.Статистическая зависимость между случайными величинами. Условные распределения.

9.Функция регрессии. Минимизирующее свойство функции регрессии. Средняя квадратическая регрессия в заданном классе функций.

10.Свойства числовых характеристик.

11.Начальные и центральные моменты случайной величины.

Наши рекомендации