Теорема про декомпозицію багатовимірних систем
Дві динамічні системи
= f1 (x) (1.9)
і
= f2 (x) (1.10)
(f1, f2: Rn → Rn) з нульовою стаціонарної точкою називаються локально топологічно еквівалентними, якщо знайдеться такий певний в деякому околі нуля фазового простору гомеоморфізм h, що
h [gt1 (x)] = gt2 [h (x)]
при всіх t і x, при яких обидві частини тотожності мають сенс; тут gt1 і gt2 – відповідні оператори зсуву. Таким чином, гомеоморфізм h переводить траєкторії першої системи в траєкторії другої, причому, узгоджено (див. рис. 1.7). Якщо h визначений на всьому фазовому просторі, то слово "локально" у визначенні локальної топологічної еквівалентності опускають.
Рис. 1.7. Переведення траєкторії системи (1.9) у траєкторії системи (1.10) за допомогою гомеоморфізму
Нехай А – лінійний оператор, А: Rn → Rn, що задає лінійне рівняння
= Ax.
Припустимо, що власні значення оператора А попарно різні, серед них є деяке число 
дійсних чисел і деяке число 
комплексно спряжених пар, причому 
, та, що парність кількості дійсних власних чисел дорівнює парності 
. Тоді справедлива
Теорема[2]: Простір Rn розпадається в пряму суму інваріантних відносно А одновимірних і інваріантних відносно А двовимірних підпросторів.
Тобто у випадку, коли всі власні значення оператора А: Rn → Rn прості, лінійне диференціальне рівняння = Ax розпадається в прямий добуток рівнянь з одновимірними і двовимірними фазовими просторами.
Лінійна система = Ax називається гіперболічною, якщо матриця A не має власних значень на уявній осі. Справедлива
Теорема. Дві гіперболічні системи = A1x і = A2x топологічно еквівалентні, якщо і тільки якщо кількість n–(A1) і n–(A2) власних значень з від’ємною дійсною частиною з урахуванням кратності (а отже, і кількість n+(A1) і n+(A2) власних значень з додатною дійсною частиною) матриць A1 і A2 збігається: n–(A1) = n–(A2), n+(A1) = n+(A2).
З теореми, наприклад, випливає, що двовимірні гіперболічні системи розбиваються на три топологічно не еквівалентні класи: а) стійкі вузли і фокуси, б) сідла; в) нестійкі вузли і фокуси.
Рис. 1.8. Топологічно еквівалентні і нееквівалентні системи
Перейдемо до питання про структуру околу стаціонарної точки нелінійної динамічної системи. Обмежимося випадком динамічної системи з диференційовною правою частиною
= f (x) (1.11)
(f ∈ C1 (Rn, Rn), f (0) = 0), причому будемо припускати, що лінеаризована в нульовій точці стаціонарна система
= Ax (1.12)
(A = f'(0)) – гіперболічна. У цьому випадку відповідь на питання про поведінку траєкторій в околиці нульової стаціонарної точки дає фундаментальна
Теорема Гробмана - Хартмана. Динамічна система (1.11) локально топологічно еквівалентна своєї лінійній частині (1.12).
Повний аналіз питання про стійкість розв’язку рівняння (1.12) можна виконати безпосередньо аналізуючи поведінку матричної експоненти 
.
Нехай 
- повний набір коренів характеристичного рівняння матриці А.
Якщо всі власні значення матриці А мають від’ємні дійсні частини, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) асимптотично стійкий.
Якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння матриці А має додатну дійсну частину, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) нестійкий.
Нехай серед коренів характеристичного рівняння матриці А є декілька коренів з нульовою дійсною частиною, в той час коли решта коренів мають від’ємні дійсні частини. Тоді:
а) якщо всім кореням з нульовою дійсною частиною відповідають прості елементарні дільники, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) стійкий, але не асимптотично;
б) якщо хоча б одному з коренів із нульовою дійсною частиною відповідає кратний елементарний дільник, то тривіальний розв’язок системи (1.12) нестійкий.
Доведення цих умов стійкості тривіального розв’язку системи (1.12) див. у [15].
Нехай А – лінійний оператор, А: Rn → Rn, що задає лінійне рівняння
= Ax.
Припустимо, що власні значення оператора А попарно різні, серед них є деяке число дійсних чисел і деяке число комплексно спряжених пар, причому , так, що парність кількості дійсних власних чисел дорівнює парності . Тоді справедлива
Теорема[2]: Простір Rn розпадається в пряму суму інваріантних відносно А одновимірних і інваріантних відносно А двовимірних підпросторів.
Тобто у випадку, коли всі власні значення оператора А: Rn → Rn прості, лінійне диференціальне рівняння = Ax розпадається в прямий добуток рівнянь з одновимірними і двовимірними фазовими просторами. І тому дослідження стійкості особливих точок довільної системи виду (1.11) зводиться до дослідження особливих точок одновимірних і (або) двовимірних динамічних систем.