Дослідження наявності мультиколінеарності

На основі алгоритму Феррара—Глобера

Розглянемо застосування алгоритму Феррара—Глобера для розв’язу-вання конкретної задачі.

Приклад 4.1. На середньомісячну заробітну плату впливає ряд факторів. Виділимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили. Щоб побудувати економетричну модель заробітної плати від наведених чинників на основі методу найменших квадратів, треба переконатись, що продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили як незалежні змінні — не мультиколінеарні.

Вихідні дані наведені в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Номер цеха	Продуктивність праці, млн.грн./ люд.	Фондомісткість, грн./грн.	Коефіцієнт плинності робочої сили, %
		0,59	10,5
		0,43	15,5
		0,70	13,5
		0,61	9,5
		0,51	2,5
		0,51	1,5
		0,65	17,5
		0,43	14,5
		0,51	14,5
		0,92	7,5

Розв’язання

Крок 1. Нормалізація змінних.

Позначимо вектори незалежних змінних — продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили — через відповідно Х₁,Х₂, Х₃. Елементи стандартизованих векторів розрахуємо за формулою:

де n — кількість спостережень, ;

m — число незалежних змінних, ;

— середня арифметична вектора ;

— дисперсія змінної .

В табл. 4.2 наведені всі розрахунки по стандартизації незалежних змінних X₁, X₂, X₃ згідно з наведеним співвідношенням.

Таблиця 4.2

3.3	0,004	–3,4	10,89	0,000015	11,56	0,2487	0,0091	–0,2518
0.3	–0,156	1,6	0,09	0,024336	2,56	0,0226	–0,2531	0,1185
1.3	0,114	–0,4	1,69	0,012996	0,16	0,0979	0,2580	–0,0296
2.3	0,024	–4,4	5,29	0,000576	19,36	0,1733	0,0543	-0,3258
3.7	–0,076	9,6	13,09	0,005776	92,16	–0,2788	–0,1720	0,7108
5.3	–0,076	–1,4	23,09	0,005776	1,96	0,3994	–0,1720	–0,1037
0.3	0,064	3,5	10,09	0,004095	12,95	0,0226	0,1448	0,2666
–4.7	–0,156	0,6	22,09	0,024336	0,36	–0,3542	–0,3531	0,0444
–8.7	–0,076	0,6	75,69	0,005776	0,36	–0,6556	–0,1720	0,0444
4.3	0,334	–6,4	14,49	0,111556	40,95	0,3240	0,7559	–0,4739
			17,1	0,19524	182,4

Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:

;

;

Тоді знаменник для стандартизації кожної незалежної змінної буде дорівнювати:

для X₁: ;

для X₂: ;

для X₃: .

Матриця стандартизованих змінних матиме вигляд:

.

Крок 2. Знаходження кореляційної матриці :

R = X ^{* '} X ^*,

де — матриця транспонована до матриці .

Ця матриця симетрична і має розмір 3 х 3. Для даної задачі:

.

Кожен елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Інші елементи матриці R трактуються так:

;

;

,

тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції незалежних змінних. На основі цих коефіцієнтів можна зробити висновок, що між змінними X₁, X₂, X₃існує зв’язок. Але чи можна стверджувати, що цей зв’язок є явищем мультиколінеарності і він негативно впливатиме на оцінку економетричної моделі?

Щоб відповісти на це запитання, треба продовжити розв’язання на основі алгоритму Феррара—Глобера і в результаті знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.

Крок 3. Знайдемо детермінант кореляційної матриці і критерій X²:

3а) ;

3б) .

При ступені свободи і рівні значущості a = 0,01 Х²_табл = 11,34. Приймаючи _{факт табл} , можна зробити висновок, що в масиві змінних не існує мультиколінеарність.

Крок 4. Знайдемо матрицю, обернену до матриці :

;

.

Крок 5. Використовуючи діагональні елементи матриці C, розрахуємо F-критерії:

;

;

.

При рівні значущості і ступенях свободи і критичне (табличне) значення критерію .

Через те, що _факт < _табл,

_факт < _табл,

_факт < _табл,

то жодна із незалежних змінних не мультиколінеарна з двома іншими.

Щоб визначити наявність попарної мультиколінеарності, продовжимо розрахунок і перейдемо до кроку 6.

Kрок 6. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції, використавши елементи матриці :

;

;

.

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними за умови, що третя не впливає на цей зв’язок.

Порівнявши часткові коефіцієнти кореляції з парними, які наведені вище, можна помітити, що часткові коефіцієнти значно менше парних. Це ще раз підтверджує, що на основі парних коефіцієнтів кореляції не можна зробити висновки про наявність чи відсутність мультиколінеарності.

Крок 7. Визначимо t- критерії на основі часткових коефіцієнтів кореляції:

;

;

.

Табличне значення t- критерію при n – m = 7 ступенях свободи і рівні значущості a = 0,05 дорівнює 1,89. Всі числові значення t- критеріїв, знайдених для кожної пари змінних, менше за їх табличне значення. Звідси робимо висновок, що всі пари незалежних змінних не є мультиколінеарними.

Таким чином, незважаючи на те, що між незалежними змінними, що досліджуються, існує лінійна залежність, але вона не є явищем мультиколінеарності і не буде негативно впливати на кількісні параметри економетричної моделі.

Якщо F- критерій більше табличного значення, а це значить, що k-та змінна залежить від всіх інших в масиві, то необхідно вирішувати питання про її виключення з переліку змінних.

Якщо t_kj - критерій більше табличного, то ця пара змінних (k і j) тісно взаємопов’язані. Звідси, аналізуючи рівень обох видів критеріїв і t, можна зробити обгрунтований висновок про те, яку із змінних необхідно виключити із дослідження чи замінити іншою. Але заміна масиву незалежних змінних завжди повинна узгоджуватись із економічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.

4.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 4.1. Нехай на витрати обігу впливають: обсяг вантажообороту, запаси по вантажообороту та трудомісткість його одиниці. Щоб побудувати економетричну модель цієї залежності на основі методу 1МНК, необхідно бути впевненим, що між факторами вантажообороту, запасів та трудомісткості не існує мультиколінеарності. Треба дослідити наявність мультиколінеарності між цими факторами на основі даних, що наведені в табл. 4.3.1 — 4.3.30.

Вказівка. Дані кожної таблиці є одним із варіантів завдання 4.1.

Таблиця 4.3.1		Таблиця 4.3.2
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудоміст-кість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	15,6	40,4	2,11			15,1	32,0	2,12
	13,5	38,9	2,78			16,1	32,4	1,98
	15,3	36,6	2,17			16,7	32,6	1,96
	14,9	41,4	2,15			15,5	38,7	2,15
	15,1	32,2	2,11			17,2	44,3	2,02
	16,1	31,4	1,97			16,9	39,3	2,05
	16,7	32,6	1,96			17,0	40,4	2,02
	15,4	38,7	2,12			16,2	41,5	2,13
	17,1	44,3	2,02			15,0	45,2	2,14
	16,8	39,3	2,13			18,0	50,2	1,90
Таблиця 4.3.3		Таблиця 4.3.4
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо­місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	16,9	39,2	2,02			17,2	51,8	2,48
	16,2	41,0	2,13			17,1	50,4	1,95
	15,5	41,3	2,14			16,5	48,0	1,92
	18,2	45,2	1,89			16,8	48,6	1,96
	17,3	50,2	2,48			14,5	49,8	2,68
	17,1	51,6	1,94			17,2	45,0	2,22
	16,4	48,0	1,93			17,1	40,4	2,23
	16,7	48,6	1,96			17,9	41,7	2,15
	14,2	49,8	2,57			16,2	38,8	2,41
	17,2	45,0	2,21			17,3	40,6	2,25
Таблиця 4.3.5		Таблиця 4.3.6
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	14,3	49,8	2,68			17,8	41,8	2,17
	17,2	45,2	2,21			16,3	38,7	2,40
	17,0	41,4	2,24			17,2	40,5	2,24
	17,8	41,7	2,15			16,8	34,6	2,13
	16,3	38,7	2,41			14,9	13,9	2,55
	17,3	40,6	2,25			19,6	31,5	1,90
	16,9	33,6	2,13			11,5	52,5	3,00
	14,8	13,9	2,56			17,2	37,0	2,22
	19,6	32,5	1,90			19,5	43,6	1,96
	11,4	52,5	3,00			12,5	48,3	2,82
Таблиця 4.3.7		Таблиця 4.3.8
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	16,9	33,7	2,13			19,5	43,6	1,95
	14,5	13,8	2,56			12,4	48,3	2,83
	19,5	31,5	1,91			17,2	44,7	2,29
	11,5	52,5	3,00			19,5	35,7	2,33
	17,1	37,0	2,23			12,6	49,2	2,31
	19,6	43,6	1,96			16,5	41,3	2,54
	12,5	48,3	2,82			16,1	43,8	2,11
	16,5	44,7	2,29			16,0	48,5	2,42
	16,0	35,7	2,33			16,2	42,3	2,38
	16,1	49,3	2,31			18,0	43,0	2,46
Таблиця 4.3.9		Таблиця 4.3.10
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	11,7	44,2	2,85			18,4	38,7	1,89
	18,3	42,4	1,81			15,6	36,5	2,25
	18,2	38,9	1,88			17,5	35,2	1,98
	15,6	36,4	2,25			13,8	45,5	2,48
	17,4	35,2	1,98			15,0	35,2	2,25
	13,8	45,5	2,48			18,7	41,6	1,85
	15,0	35,2	2,25			16,2	42,2	2,15
	18,6	41,6	1,85			15,7	40,4	2,25
	16,2	42,2	2,15			17,9	47,3	1,90
	15,7	40,4	2,25			15,4	47,1	2,20
			Таблиця 4.3.11					Таблиця 4.3.12
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	13,8	45,5	2,46			18,8	42,1	1,86
	15,0	35,2	2,25			16,4	42,3	2,15
	18,6	41,6	1,85			16,1	40,4	2,25
	16,2	42,3	2,15			17,8	47,4	1,90
	15,7	40,4	2,25			15,5	47,1	2,20
	17,9	47,4	1,90			16,3	43,2	2,10
	15,3	47,1	2,20			17,8	39,0	1,86
	16,3	43,2	2,09			16,8	38,2	2,00
	17,7	39,1	1,87			17,5	37,3	2,48
	16,8	38,2	2,00			16,7	36,7	2,02
Таблиця 4.3.13		Таблиця 4.3.14
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	13,8	48,0	2,45			16,8	40,4	1,88
	14,8	46,4	2,30			17,0	42,3	2,00
	16,9	42,3	2,00			14,8	40,1	2,21
	16,8	39,4	2,05			17,9	39,4	2,01
	14,8	42,3	2,23			16,9	39,1	2,31
	18,0	40,1	1,89			19,7	43,2	2,16
	17,5	39,4	2,00			14,0	44,5	1,74
	15,7	39,1	2,21			17,1	45,7	2,25
	15,3	43,2	2,01			18,2	37,8	1,87
	14,9	44,7	2,31			17,4	46,4	1,82
Таблиця 4.3.15		Таблиця 4.3.16
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	19,7	37,8	1,74			32,1	48,0	2,12
	14,0	46,4	2,25			31,0	42,1	2,20
	17,2	48,2	1,88			32,4	42,3	2,11
	18,3	49,6	1,82			33,4	43,7	2,08
	17,4	46,4	1,90			31,2	42,8	2,21
	16,1	42,6	1,98			34,8	41,8	1,88
	18,8	49,4	1,77			35,4	30,8	1,91
	17,9	40,1	1,89			33,0	44,4	2,00
	17,6	39,4	2,00			34,8	51,2	1,90
	15,7	39,1	2,21			33,3	54,6	1,99
Таблиця 4.3.17		Таблиця 4.3.18
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	35,4	30,0	1,90			30,6	57,6	2,23
	33,0	44,4	2,00			32,1	58,3	2,14
	34,8	51,2	1,91			37,6	55,7	1,84
	33,3	54,6	1,99			35,8	55,7	2,01
	36,1	57,6	1,54			34,2	56,4	2,04
	38,3	53,2	1,74			34,4	60,4	2,02
	30,6	57,6	2,23			32,5	34,4	1,98
	32,1	58,3	2,14			33,4	33,9	1,95
	37,6	55,7	1,84			37,8	34,2	1,70
	34,8	55,7	2,01			35,8	38,0	2,10
Таблиця 4.3.19		Таблиця 4.3.20
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	34,2	30,3	1,75			40,2	66,5	1,95
	37,2	31,1	1,86			39,4	63,0	1,62
	38,2	28,5	1,82			43,7	65,5	2,24
	29,4	36,7	1,89			38,4	64,2	1,88
	37,2	38,7	2,01			38,8	61,6	1,68
	34,5	45,7	1,75			39,9	63,2	1,62
	35,0	41,5	1,60			30,1	75,5	2,15
	43,7	39,0	1,69			31,7	75,5	2,03
	31,9	42,7	1,78			37,2	71,0	1,95
	37,3	39,8	2,48			39,7	67,2	1,63
Таблиця 4.3.21		Таблиця 4.3.22
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	11,7	44,2	3,85			19,4	38,7	1,89
	18,3	42,4	2,81			16,6	36,5	2,25
	18,2	38,9	2,88			18,5	35,2	1,98
	15,6	36,4	3,25			14,8	45,5	2,48
	17,4	35,2	2,98			16,0	35,2	2,25
	13,8	45,5	3,48			19,7	41,6	1,85
	15,0	35,2	3,25			17,2	42,2	2,15
	18,6	41,6	2,85			16,7	40,4	2,25
	16,2	42,2	3,15			18,9	47,3	1,90
	15,7	40,4	2,25			16,4	47,1	2,20
			Таблиця 4.3.23					Таблиця 4.3.24
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	13,8	46,5	3,46			18,8	42,1	3,86
	15,0	36,2	3,25			16,4	42,3	4,15
	18,6	42,6	2,85			16,1	40,4	3,25
	16,2	43,3	3,15			17,8	47,4	3,90
	15,7	41,4	3,25			15,5	47,1	4,20
	17,9	48,4	2,90			16,3	43,2	4,10
	15,3	48,1	3,20			17,8	39,0	3,86
	16,3	44,2	3,09			16,8	38,2	4,00
	17,7	40,1	2,87			17,5	37,3	4,48
	16,8	39,2	2,00			16,7	36,7	3,02
Таблиця 4.3.25		Таблиця 4.3.26
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	14,8	48,0	2,45			16,8	41,4	1,88
	15,8	46,4	2,30			17,0	43,3	2,00
	17,9	42,3	2,00			14,8	41,1	2,21
	17,8	39,4	2,05			17,9	40,4	2,01
	15,8	42,3	2,23			16,9	40,1	2,31
	19,0	40,1	1,89			19,7	44,2	2,16
	18,5	39,4	2,00			14,0	45,5	1,74
	16,7	39,1	2,21			17,1	46,7	2,25
	16,3	43,2	2,01			18,2	38,8	1,87
	15,9	44,7	2,31			17,4	47,4	1,82
Таблиця 4.3.27		Таблиця 4.3.28
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	19,7	37,8	1,74			32,1	48,0	2,12
	14,0	46,4	2,25			31,0	42,1	2,20
	17,2	48,2	1,88			32,4	42,3	2,11
	18,3	49,6	1,82			33,4	43,7	2,08
	17,4	46,4	1,90			31,2	42,8	2,21
	16,1	42,6	1,98			34,8	41,8	1,88
	18,8	49,4	1,77			35,4	30,8	1,91
	17,9	40,1	1,89			33,0	44,4	2,00
	17,6	39,4	2,00			34,8	51,2	1,90
	15,7	39,1	2,21			33,3	54,6	1,99
Таблиця 4.3.29		Таблиця 4.3.30
№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість		№ п / п	Вантажо-оборот	Запаси	Трудо-місткість
	14,8	48,0	3,45			17,8	41,4	1,88
	15,8	46,4	3,30			18,0	43,3	2,00
	17,9	42,3	3,00			15,8	41,1	2,21
	17,8	39,4	3,05			18,9	40,4	2,01
	15,8	42,3	3,23			17,9	40,1	2,31
	19,0	40,1	2,89			20,7	44,2	2,16
	18,5	39,4	3,00			15,0	45,5	1,74
	16,7	39,1	3,21			18,1	46,7	2,25
	16,3	43,2	3,01			19,2	38,8	1,87
	15,9	44,7	3,31			18,4	47,4	1,82

Рекомендована література

1. Грубер И. Економетрія: Посібник для студентів економічних спеціальностей,т.2/ Пер..-К.:1998 -295с.

2. Лугінін О.Є., Білоусова С.В., Білоусов О.М. Економетрія: Навчальний посібник. –К.,2005.- 252с.

3. Лук”яненко Т.Г., Краснікова Л.І. Економетрія: Підричник. – К.: Т-во „Знання” КОО, 1998 -494с.

4. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навчальний посібник. — К.: КНЕУ, 1998. —236 с

Додаток А

Теоретичні питання до РГР

1. Економіко математичне моделювання. Його сутність. Історія розвитку

2. .Ендогенні та екзогенні фактори, їх вплив на побудову моделі.

2. Кореляційна залежність між економічними показниками.

3. Специфікація моделі.

4. Лінійні та нелінійні залежності. Методи лінеаризації.

5. Моделі виробничих функцій і область їх застосування.

6. Загальний метод побудови емпіричної виробничої функції.

7. Суть методу найменших квадратів.

8. Система нормальних рівнянь.

9. Поняття про коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі.

10. Поняття про кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів кореляції).

11. Побудова регресивної моделі на основі покрокової регресії.

12. Властивості оцінок параметрів моделі. Поняття про коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі.

13. Передумови застосування методу найменших квадратів.

14. Показники, за якими перевіряється адекватність математичної моделі.

15. Стандартна похибка рівняння.

16. Коефіцієнти кореляції і детермінації для моделі парної регресії.

17. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність.

18. F-критерій Фішера та інші критерії якості лінійної моделі.

19. Дисперсійний аналіз моделі. АNOVA-таблиця.

20. Довірчі інтервали параметрів регресії.

21. Точковий та інтервальний прогнози значень залежної змінної в моделі лінійної регресії.

22. Приклади багатофакторних економетричних моделей.

23. Метод найменших квадратів оцінювання параметрів багатофакторної регресійної моделі.

24. Коефіцієнти множинної кореляції та детермінації в багатофакторній регресійній моделі.

25. Означення мультиколінеарності, її теоретичні та практичні наслідки.

26. Основні ознаки мультиколінеарності.

27. Методи і критерії, які використовують для виявлення мультиколінеарності.

28. Метод Феррара – Глобера тестування наявності мультиколінеарності.

29. Способи усунення мультиколінеарності.

30. Ідея методу головних компонентів та його застосування.

31. Поняття про гомо- та гетероскедастичність. Їх вплив на оцінювання параметрів.

32. Способи тестування наявності гетероскедастичності.

33. Способи вилучення гетероскедастичності.

34. Метод Ейткена оцінювання параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастичними залишками.

35. Автокореляція в економетричних моделях.

36. Наслідки автокореляції залишків.

37. Методи перевірки наявності автокореляції.

38. Метод Ейткена оцінювання параметрів лінійної економетричної моделі за наявності автокореляції.

39. Метод перетворення вихідної інформації.

40. Наближені методи Кочрена-Оркатта та Дарбіна.

41. Поняття лагу і лагових змінних.

42. . Залежні та незалежні лагові змінні.

43. Методи оцінювання параметрів у моделях розподіленого лагу.