Задача 3. Определение Парето-эффективного объема выпуска продукции

В определенной совершенно конкурентной отрасли работают две фирмы, производственные функции которых соответственно заданы уравнениями:

= 2 ; = , где , – объемы выпуска продукта соответственно первой и второй фирмами, и – объемы капитала, которые используются двумя фирмами соответственно, ед.

Общий объем физического капитала в отрасли – 150 ед.

Определите: Парето-оптимальный отраслевой объем выпуска продукции.

РЕШЕНИЕ:

При условии Парето-эффективного равновесия предельные нормы технологического замещения являются одинаковыми для всех производителей, а это означает равенство их предельных продуктов. Поэтому, приравняв предельные продукты двух фирм можно найти объемы выпуска данных фирм.

Совокупный объем наличного в отрасли капитала = 150 ед., а это значит, что

+ = 150 = 150 - ;

1) Найдем предельные продукты каждой фирмы как производные от их производственных функций:

= ( ) = ( = 2*0,5* = ;

( ) = ( = .

2) Приравняем предельные продукты двух фирм, при этом воспользуемся значением , приведенным во вступлении к решению задачи. Это позволит определить объем привлеченного капитала по следующей формуле:

= ;

( = ( ;

150 – = 0,5*

1,5 = 150;

= 100 ед.; = 150 – 100 = 50 ед.

3) Найдем Парето-эффективные объемы выпуска продукции для каждой фирмы. Для этого подставим найденные объемы используемого капитала в производственные функции этих фирм:

= 2 = 2* = 2* = 20 тыс. ед.

= = = = 10 тыс. ед.

4) Найдем совокупный отраслевой объем выпуска продукции:

= = 20 + 10 = 30 тыс. ед.

Ответ: Парето-эффективный объем выпуска продукции в отрасли будет равен 30 тыс.ед.

Задача 1

В хозяйстве, состоящем из двух отраслей, спрос и предложение представлены следующими функциями:

= 32 – 3P_A + 2P_B; = –10 + 2P_A – P_B;

= 43 – 2P_B + P_A; = – 5 + P_B – 0,5P_A.

Определите, возможно ли установление в этой системе общего экономическогоравновесия и при каких значениях цен оно достигается.

Решение

Приравняв функции спроса и предложения на ранках отдельных благ, определим частичное равновесие.

Уравнение линии цен частичного равновесия на рынке блага А имеет вид

32 – 3P_A + 2P_B = –10 + 2P_A – P_B;

P_A = 8,4 + 0,6P_B;

Уравнение линии цен частичного равновесия на рынке блага В имеет вид

43 – 2P_B + P_A = – 5 + P_B – 0,5P_A;

P_B = 16 + 0,5P_A.

Построение указанных линии цен частичного равновесия на рынках благ А и В представлено на рис. 31.

Рис. 31

Поскольку эти линии пересекаются при положительных значениях первых слагаемых в правой части, то равновесие устойчиво.

Определим цены общего равновесия, подставив одно уравнение в другое.

P_A = 8,4 + 0,6 (16 + 0,5P_A.);

0,7P_A = 18;

P_A = 25,71.

Тогда

P_B = 0,5× 25,71 = 28,855.

Задача 2

Готовность абитуриентов платить за учёбу в вузах выражается функцией:

P = 50 – 0,5N,

где Р – сумма платы, тыс. руб.; N – число абитуриентов, тыс. чел.

Выраженная в деньгах предельная общественная полезность высшего образования отображается функцией:

MU = 70 – 0,5N,

где MU – предельная общественная полезность.

Общие затраты вузов на подготовку специалистов заданы функцией:

TC = 10N + N².

Определите:

1) величину внешнего эффекта подготовки 1 тыс. специалистов с высшим образованием;

2) число студентов, соответствующих максимуму их суммарной полезности;

3) число студентов, соответствующих максимуму их общественной полезности;

4) величину платы за обучение одного студента и размер дотации Пигу на 1 тыс. специалистов, соответствующие максимуму общественной полезности высшего образования.

Решение

1. Величина внешнего эффекта есть разность между общественной полезностью высшего образования и индивидуальной его полезностью для окончившего вуз. Согласно условиям задачи она составляет

(70 – 0,5N) – (50 – 0,5N) = 20.

2. Число студентов, соответствующих максимуму их суммарной полезности, можно найти из равенстваР = МС.

Поскольку МС есть частная производная ТС, тоМС = 10 + 2N.

Тогда

50 – 0,5N = 10 + 2N;

N = 16.

Таким образом, 16 тыс. студентовсоответствуют максимуму их суммарной полезности.

3. Число студентов, соответствующих максимуму их общественной полезности, можно найти из равенстваMU = МС.

Из равенства следует, что

70 – 0,5N = 10 + 2N;

N = 24.

Таким образом, 24 тыс. студентовсоответствуют максимуму их общественной полезности.

4. Сумма платы за обучение, обеспечивающая поступление 24 тыс. студентов, равна

50 – 0,5×24 = 38 ден. ед.

Предельные затраты вуза при таком наборе составляют

10 + 2×24 = 58ден. ед.

Следовательно, величина дотации Пигу будет составлять 20 ден. ед.

Типовые задачи

Задача 2

Функции полезности двух потребителей имеют вид:

U₁ = Q₁³ × Q₂; U₂ = Q₁ × Q₂³.

Продукты производятся по следующей технологии:

Q₁ = 2 ; Q₂ = 2 ,

где L₁, L₂ – количество труда на производство 1 и 2-го продуктов.

Общее количество труда ограничено: L₁ + L₂ = 8.

а) Определить функцию трансформации двух благ и построить ее график.

б) Определить общее равновесие, если каждый потребитель может продать по 4 ед. труда и каждый получает половину прибыли от реализации благ, так как держит половину пакета акций.

Решение

а) Из производственных функций определяем:

L₁ = ; L₂ = .

Тогда

8 = .

Следовательно: Q₂ = .

б) При данных ценах на блага и труд (P₁, P₂, w):

П₁ = 2P₁ – w × L₁;П₂ = 2P₂ – w × L₂.

Максимум прибыли будет достигнут при следующих условиях:

Откуда спрос на L₁ равен .

Откуда спрос на L₂ равен L₂ =

Тогда Q₁ = 2 ; Q₂ = .

Определим прибыль от производства соответственно Q₁ и Q₂:

Бюджетное ограничение каждого из потребителей:

P₁Q₁ + P₂Q₂ = 4w + П_i; где П_i = 0,5П(Q₁) + 0,5П(Q₂).

Функцию спроса первого потребителя находим из максимизации U₁ при бюджетном ограничении:

L = Q₁³ × Q₂ – λ(P₁Q₁ + P₂Q₂ – 4w – П₁) → max

(L – функция Лагранжа).

Из первого и второго уравнений следует:

Подставим в третье уравнение значение Q₁:

Тогда:

Аналогично находим для второго потребителя:

При этом

Условия равновесия на всех трех рынках:

L₁ + L₂ = 8.

По закону Вальраса достаточно выполнения двух условий равновесия:

Примем w = 1. Тогда:

P₁² + P₂² = 8;

8 = 3P₁² – P₂².

Тогда цена благ, выраженная в единицах труда:

P₁ = P₂ = 2; Q₁ = Q₂ = 4.

Первый потребитель потребляет: 3Q₁ + Q₂, второй: Q₁ + 3Q₂.

Задачи

3. Общество состоит из трех индивидуумов: I, II, III, каждый из которых производит один вид продукции соответственно: A, B, C. При любой ненулевой цене на блага первый решил продать 36 ед. блага A, второй – 20 ед. блага B, третий – 50 ед. блага C. Спрос каждого индивидуума на непроизводимые им блага прямо пропорционален его доходу (I) и обратно пропорционален цене блага.

Функции спроса имеют вид:

Определить пропорцию равновесных цен и равновесные объемы спроса каждого из индивидуумов.

4. Предположим, два потребителя живут в одном городе. Один из продуктов они покупают по одинаковым ценам, а другой – по разным.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

5. Для двух потребителей товары X и Y служат совершенными заменителями в пропорции 1:1. Общее количество товара X – 10 ед., товара Y – 20 ед. Первоначальное распределение товаров таково, что первому потребителю принадлежат 8 ед. товара X и 3 ед. товара Y.

Является ли это распределение Парето-оптимальным?

6. Предположим, два предприятия расположены в одном городе. Один из ресурсов они приобретают по одинаковым ценам, а другой – по разным.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

7. В экономике, состоящей из двух отраслей: сельского хозяйства

и промышленности, в сельском хозяйстве господствует совершенная конкуренция, а промышленное производство монополизировано. Монопольную власть устранить невозможно.

Покажите последствия монополии для общего равновесия.

8. В хозяйстве, располагающем 24 единицами производственного фактора F продукция Q₁ производится по технологии Q₁ = 4 , а продукция Q₂ – по технологии Q₂ = 2F + 3.

Вывести кривую производственных возможностей.

9. Производство товаров A и B описывается производственной функцией: Q_А = 2KL, Q_В = 0,5KL. Общий объем используемого труда – 100 ед., капитала – 60 ед.

Построить кривую производственных возможностей.

10. Рассматривается возможность постройки автомобильного моста через реку. Предполагается, что ежемесячные затраты на содержание моста (включая амортизацию и нормальную прибыль на вложенный капитал) составят 300000 ден. ед. Если установить плату за проезд, то ее величина будет оказывать влияние на число желающих использовать мост. Предполагается, что функция спроса на использование моста имеет вид: Q = 20000 – 500P, где Q – число поездок через мост в течение месяца, P – плата за одну поездку через мост (в ден. ед.).

а) Определить, оправдано ли строительство моста с точки зрения экономической эффективности.

б) Будет ли осуществлять и финансировать данный проект какая-нибудь частная фирма?

11. Предположим, на всех товарных рынках имеет место совершенная конкуренция, отсутствуют внешние эффекты и затраты. Один из продуктов облагается налогом с оборота, производители

другого товара получают дотации из госбюджета.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

12. Общество состоит из двух индивидуумов: A, B. Функции индивидуального спроса на некоторое общественное благо имеют вид: Q_А = 100 – P, Q_В = 70 – P.

Предельные затраты на производство общественного блага постоянны (не зависят от объема производства) и равны 80 ден. ед. на каждую единицу.

а) Определить Парето-оптимальный объем производства общественного блага.

б) Если это общественное благо продавать потребителям по индивидуальным ценам, то какими они должны быть?

13. Общество состоит из трех индивидуумов: A, B и C. Функции индивидуального спроса на некоторое общественное благо имеют вид: Q_А = 80 – P, Q_В = 70 – P, Q_С = 30 – P.

Предельные затраты на производство общественного блага постоянны (не зависят от объема производства) и равны 120 ден. ед. на каждую единицу.

а) Определить Парето-оптимальный объем производства общественного блага.

б) Если это общественное благо продавать потребителям по индивидуальным ценам, то какими они должны быть?

в) Допустим, производство общественного блага финансирует правительство за счет налогов. Каждый индивидуум платит налог в размере 40 ден. ед. за каждую единицу общественного блага. На голосование поставлен вопрос об увеличении производства общественного блага сверх Парето-оптимального объема на 5 единиц. Какими будут итоги голосования?

г) Определить равновесный объем производства общественного блага в результате прямого голосования по принципу большинства.

14. Кривая производственных возможностей описывается уравнением вида X² + Y² = 200. Функция полезности общества: U(X, Y) = X + Y.

15.Готовность платить за обучение в вузе описывается функцией P = 60 – 0,4N, где P – размер оплаты (млн ден. ед.), а N – число готовых платить (млн чел.). Предельная внешняя выгода от образования, выраженная в деньгах, имеет вид: MSB = 80 – 0,4N. Общие затраты образовательного учреждения по подготовке специалистов: TC = 20N – N².

а) Определить величину внешнего эффекта (MEB) от обучения в вузе 1 и 2 тыс. чел.

б) Рассчитать число студентов, соответствующее максимуму полезности молодежи и максимуму общественной полезности.

в) Рассчитать величину платы за обучение и дотации за 1 и 2 тыс. студентов, соответствующие максимальной общественной полезности от обучения в вузе.

16.Функция затрат завода по производству удобрений имеет вид: TC₁ = 20 + 20Q₁ + 0,5Q₁². Удобрения можно продавать по цене P₁ = 30. Затраты птицефермы, использующей то же озеро, что и завод, имеют вид: TC₂ = 4 + 5Q₂ + 0,4Q₂² + Q₁². Они растут с увеличением выпуска удобрений. Птицеферма может продавать продукцию по цене P₂ = 85. Оба предприятия стремятся к максимизации прибыли.

а) Определить объем выпуска и прибыль каждого предприятия, если озеро – бесплатное общественное благо.

б) Птицеферма приобрела право взимать фиксированную плату с завода за каждую единицу выпуска. Какая плата будет установлена и каковы будут объемы выпуска и прибыль у фермы и завода?

в) Завод по производству удобрений приобрел право на загрязнение озера в необходимых для него размерах. Какую фиксированную плату птицеферма сможет предложить заводу за каждую единицу уменьшения выпуска? Каковы будут объемы выпуска и величина прибыли?

г) Что произойдет если завод и птицеферма объединятся в единый комбинат?

Определить оптимальный объем производства товаров X и Y.

17. Определить равновесные цены в экономике, которая состоит из двух отраслей с функциями спроса и предложения вида:

Q_A^D = 8 + 3P_B – 2P_A; Q_A^S = 10 – 2P_B + P_A;

Q_B^D = 14 + 2P_A – P_B; Q_B^S = 17 – P_A + 0,5P_B.

Какое будет соотношение между объемами спроса и предложения в каждой из отраслей, если Р_А = 1,5; Р_В = 1,2? Восстановится ли при такой системе цен совместное равновесие на обоих рынках?

Рекомендуемая литература по дисциплине

Основная литература

1. Артамонов В. С. Микроэкономика: учебное пособие. ― СПб. : Питер, 2009. ― 320 с.

2. Басовский Л. Е., Басовская Е. Н. Микроэкономика: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению 080100 "Экономика" : рек. УМО по образованию. ― М. : ИНФРА ―М, 2013. ― 223с.

3. Борисов Е. Ф., Петров А. А., Березкина Т. Е. Экономика: учебник для бакалавров. ― М.: Проспект, 2014. ― 272 с.

4. Гродский В.С. Экономическая теория: учеб.пособие для бакалавров. ― 5-е изд., стереотип. ― СПб. : Питер, 2013. ― 412 с.

5. Журавлева Г. П., Позднякова Н. А. , Поздняков Ю. А. Экономическая теория. Микроэкономика: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению 080100 "Экономика" и экономическим специальностям. ― М. : ИНФРА-М, 2013. ― 439 с.

6. Микроэкономика: учебник для бакалавров / под ред. А.С. Булатова. ― М. :Юрайт, 2014. ― 439 с.

7. Мэнкью Н. Грегори Принципы микроэкономики. ― 4-е изд. ― М. ; СПб. ; Нижний Новгород : Питер, 2012. ― 585 с.

8. Нуреев Р. М. Курс микроэкономики: учебник для студентов вузов, обучающихся по финансово-экономическим спец. ― 2 -е изд., изм. ― М. : Норма, 2009. ― 560 с.

9. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. ― 5-е изд. ― М. ; СПб. ; Нижний Новгород : Питер, 2012. ― 606 с.

10. Симкина Л. Г. Микроэкономика: учеб. пособие. ― 2-е изд., стереотип. ― М. :Кнорус, 2013. ― 360 с.

11. Селищев А. С. Микроэкономика. 2-е изд. ― СПб. : Питер, 2009. ― 448 с.

12. Экономическая теория: учебник для бакалавров / под ред. Е. Н. Лобачевой. ― 3-е изд., перераб. и доп. ― М. : Юрайт, 2014. ― 516 с.

Дополнительная литература

1. Гальперин В. М., Игнатьев С. М., Моргунов В. И. Микроэкономика. В 2 ―х томах. – СПб.: Экономическая школа, 2006. – 352 с.

2. Камаев В. В., Ильчиков М. З., Борисовская Т. А. Экономическая теория: Краткий курс. – учебник – М.: КНОРУС, 2008. – 384 с.

3. Курс экономической теории / под.ред. М. Н. Чепурина, Е. А. Киселёвой. – учебник – Киров : АСА, 2007. – 847 с.

4. Макконнелл К. Р., Брю С. Л. Экономикс: Принципы, проблемы и политика / пер. с англ. – М. : ИНФРА-М, 2007. – 836 с.

5. Микроэкономика. Теория и российская практика / под ред. А. Г. Грязновой, А. Ю. Юданова – учеб.пособие – М. : КНОРУС. – 2007. – 624 с.

6. Микроэкономика: практический подход (ManagerialEconomics): учебник / кол. авт.; под.ред. А. Г. Грязновой, А. Ю. Юданова. – М. : КНОРУС, 2008. – 704 с.

7. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики: учебник. ― 2-е изд., изм. ― М. : Норма, 2008. ― 576 с.

8. Экономическая теория / под. ред. А. И. Добрынина, Л. С. Тарасевича. – учебник ― 3-е изд. – СПб. : Изд. СПбГУЭФ; Питер, 2008. – 544с.

9. Экономическая теория: учебник / под.ред. Е. Н. Лобачевой. – М. : Высшее образование, 2008. – 515 с.

10. Экономическая теория: учебник / под.общ. ред. В. И. Видяпина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлёвой, Л. С. Тарасевича. – М. : ИНФРА ―М, 2007. – 672 с.

Заключение

Цель практикума – научить студента решать типовые задачи по микроэкономике, вызвать интерес к углублению микроэкономических знаний и сформировать экономические мышление и культуру для использования их в принятии управленческих решений. Добросовестная работа на практических занятиях позволит студенту научиться применить полученные знания при решении экономических задач и ситуаций, возникающих у них сегодня и потенциальных в будущей профессии.

В заключении авторы хотят выразить надежду, что практикум будет полезен студентам, магистрантам, аспирантам и преподавателям, так как нацелен он на реальный образовательный процесс и на повышение его качества.

Приложение 1

Таблица 1

Список формул, используемых по курсу «Микроэкономика»

Наименование показателя	Формула
Равновесие на рынке
Коэффициент эластичности спроса по цене
Коэффициент эластичности спроса по доходу
Коэффициент перекрестной эластичности спроса
Коэффициент эластичности предложения по цене
Совокупная выручка
Общая полезность
Предельная полезность
Равновесие потребителя в кардиналисткой теории полезности (второй закон Госсена)
Предельная норма замещения благ
Уравнение бюджетного ограничения для потребителя
Угловой коэффициент бюджетной линии
Средний продукт
Предельный продукт
Уравнение равновесия товаропроизводителя
Предельная норма технического замещения ресурсов
Угловой коэффициент прямой изокосты
Прибыль
Общие (совокупные, валовые) издержки
Средние издержки

Продолжение таблицы 1

Предельные издержки
Средние постоянные издержки
Средние переменные издержки
Средний доход
Предельный доход
Индекс Лернера
Индекс Херфиндаля-Хиршмана
Текущая стоимость актива

Учебное издание

Сборник задач

по микроэкономике

Практикум

Авторы:

Троян Ирина Анатольевна,

кандидат экономических наук,

доцент кафедры экономической теории

Назаренко Галина Петровна,

старший преподаватель

кафедры экономической теории

Редактирование,

компьютерная верстка: Троян И.А.

Подписано к печати______ Объем __усл. п. л.

Формат 60х84/16 Тираж 100 экз.

Бумага тип О.П Заказ.