Особенности функционирования программного комплекса СИД

В случае указания нескольких параметров, они разделяются пробелом. Значения параметров указываются через символ ":" (например, "/i:Ltxt /х;1 /w").

При возникновении ошибки в указаниях параметров, а также при запуске с параметром "/?", система математической обработки выведет на экран справочную информацию.

Таким образом, управляющая система организует запуск системы математической обработки с необходимыми параметрами и, тем самым, обозначает свое присутствие, передает требуемую первоначальную информацию. Ключевая роль управления, контроля, мониторинга и взаимодействия при этом отводится так называемому процедурному файлу. Посредством чтения-записи служебной информации и данных, необходимых в определенные моменты функционирования комплекса, происходит "общение" управляющей системы и системы математической обработки. К служебной информации относятся управляющие сигналы, отображающие состояние СМО, запросы к приему дополнительной информации, индикация наличия промежуточных и результирующих данных, сведения об ошибках и принудительном прерывании процесса вычислений.

При этом на управляющую систему не накладывается никаких ограничений по внешнему виду, характеру используемых стандартов и протоколов работы, источнику исходных данных, за исключением соблюдения указанных правил запуска и взаимодействия, определенной структуры входных, выходных и промежуточных файлов, используемых для внутреннего взаимодействия.

Программный комплекс СИД оперирует тремя типами исходных данных.

Во-первых, это статистические данные интервального характера, содержащие ретроспективную информацию об объекте исследования. Сюда же относятся данные о размерности выборки, зависимых и независимых переменных.

Во-вторых, матрица смежности Н, формируемая на основе экспертных данных и представлений о деятельности объекта исследования. Матрица смежности Н представляет собой квадратную матрицу, размерность которой равна числу регрессоров, участвующих в обработке. Элементы матрицы указывают на направление влияния переменных друг на друга. Так, если с ростом значений переменной / значение у-ой переменной из содержательных соображений должно увеличиваться, элементу h.- матрицы присваивается значение "1", в противном случае - "-Г\ Если же это влияние неизвестно или отсутствует, h-} = 0. В третьих, данные о будущих значениях экзогенных переменных (прогнозные данные), которые также могут иметь интервальный характер.

В качестве выходной информации комплекс выдает данные об объекте исследования, общин протокол работы, прогнозную информацию в табличной и графической формах. Поясним, что к числу данных об исследуемом объекте относятся:

во-первых, матрица парных корреляций;

во-вторых, общая спецификация модели;

в-третьих, сама модель, представленная в виде системы линейных уравнений.

Общий протокол работы представляет собой текстовую справочную информацию о функционировании комплекса и содержит пояснения к выполняемым действиям. Как следствие, он включает данные обо всех этапах работы и, в частности, обо всех уравнениях, участвующих в конкурсе моделей. Прогнозная информация содержит вычисленные значения эндогенных переменных на глубину прогнозного периода и может быть отображена в табличном или графическом виде.

Этапы проектирования и разработки, относящиеся к непосредственной реализации составных частей комплекса, модулей и блоков, последующей отладке программных компонент комплекса и разработке информационно-справочной системы заключаются в программной реализации алгоритмической и системной составляющих функциональной структуры комплекса СИД.

Функциональные схемы работы комплекса, отображающие структурные и системные особенности, методика запуска, управления и взаимодействия, характер используемых данных, описанные в предыдущих параграфах, дают представление о системной составляющей функциональной структуры комплекса. Таким образом, дальнейшие действия должны быть ориентированы на построение алгоритмической составляющей функционального представления комплекса.

Данный алгоритм отражает действия комплекса, в составе которого находятся две системы; управляющая (УС) и математической обработки (СМО).

Раздел 3.

Задачник с методическими указаниями

Задача 1.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij. Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj
A1j
A2j
A3j

Задача 2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂^{2 (292)}

2x₁ + x₂ ≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂ ≤ 75 (293)

x₂ ≥ 0

Задача 3.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a
b
c
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Задача 4.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij. Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj
a1j
a2j
a3j

Смесь, минимальная по стоимости:

7x₁ + 5x₂ + 8x₃ ≥ 70

8x₁ + 2x₂ + 3x₃ ≥ 40

9x₁ + 6x₂ + 7x₃ ≥ 50

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0; x₃ ≥ 0

F = 9x₁ + 6x₂ + 7x₃ → min (294)

После транспонирования матрицы элементов a_ij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max , (295) при ограничениях:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ ≥ 7

y₁ ≥ 0; y₂ ≥ 0; y₃ ≥ 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ + y₄ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ + y₅ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ + y₆ ≥ 7

y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0;y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max (296)

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆

Первая симплексная таблица:

Базис	Сб.	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y4
y5
y6
			-70	-40	-50

Вторая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y4		23/8		43/8	23/8			-7/8
y5		13/8		1/8	13/8			-5/8
y1		7/8		3/8	7/8			1/8
		245/4		-55/4	45/4			35/4

Третья симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
Y2		23/43			23/43	8/43		-7/43
y5		67/43			67/43	-1/43		-26/43
y1		29/43			29/43	-3/43		8/43
		2950/43			800/43	110/43		280/43

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума S_max = 2950/43 достигнута при значениях: y₁ = 29/43; y₂ = 23/43; y₃ = 0.

По теореме двойственности: F_min = S_max = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y₄ x₁ = 110/43 y₅ x₂ = 0 y₆ x₃ = 280/43

Ответ:В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C₁, 280/43 единиц продукта C₃, а продукт C₂ не включать.

Задача 5.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂^{2 (297)}

2x₁ + x₂ ≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂ ≤ 75

x₂ ≥ 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x₁ и x₂, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x₁² -18x₁ + x₂² – 4x₂

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

9² и 2² в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x₁ – 9)² + (x₂ – 2)^{2 (298)}

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X₁OX₂. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Z^”_x1x1 Z^”_x1x2 = -0.4 0

Z^”_x2x1 Z^”_x2x2 0 -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно, в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x₁² – 10x₁ + x₂ ≤ 75

x₁² – 10x₁ + 25 + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² ≤ 100 – x₂

Уравнение (x₁ – 5)² = 100 – x₂ выразим через переменные x₁^* и x₂^*:

x₁^* = x₁ – 5

x₂^* = 100 – x₂

Уравнение примет вид: x₁^*2 = x₂^*.

В системе координат X₁^*O^*X₂^* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.

Рисунок 165

На рисунке 165 область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 6

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a
b
c
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой П_j – состояния оборудования, А_i – альтернативы принятия решений:

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q₁ = 0.3; q₂ = 0.45; q₃ = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `a_i = ∑a_ij×q_j

`a<sub>1</sub> = -11.7 `a₂ = -14.15 `a₃ = -13.4

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-11.7
А2	-20	-12	-11	-14.15
А3	-18	-10	-14	-13.4
qj	0.3	0.45	0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б).имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `a_i = 1/3∑a_ij

`a<sub>1</sub> = -12.3 `a₂ = -14.3 `a₃ = -14

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-12.3
А2	-20	-12	-11	-14.3
А3	-18	-10	-14	-14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. d_i – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный d_i.

	П1	П2	П3	di
А1	-13	-9	-15	-15
А2	-20	-12	-11	-20
А3	-18	-10	-14	-18

max d_i = d₁ = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент β_j.

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14
βj	-13	-9	-11

Построим матрицу рисков, элементы которой: r_ij = β_j - a_ij

			max ri

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r₁ = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный d_i и максимальный β_j.

	П1	П2	П3	di	βj	χi
А1	-13	-9	-15	-15	-9	-13.2
А2	-20	-12	-11	-20	-11	-17.3
А3	-18	-10	-14	-18	-10	-15.6

χ_i = λ × d_i + (1 – λ) × β_j λ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца:max χ_i = χ₁ = -13.2– первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.

Задача 7.

Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А₁ и А₂. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании ЭВМ типов А₁ и А₂ в зависимости от харак­тера решаемых задач В₁ и В₂ (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ A₁ и А₂.

Итак, дана матрица игры (табл. 60), где A₁, А₂ - стратегии руководителя; В_1, В₂ - стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.

Таблица 60.

Игрок 2 Игрок 1	В1	В2	ai
А1	0,3	0,8	0,3
А2	0,7	0,4	0,4
bj	0,7	0,8

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный средний результат g, т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов A₁ и А₂.

2.2 Описание алгоритма решения

Запишем условия в принятых обозначениях:

а₁₁ = 0,3; а₁₂ = 0,8; а₂₁ = 0,7; а₂₂ = 0,4.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

a₁ = 0,3; a₂ = 0,4; a = 0,4; b₁=0,7; b₂ = 0,8; b = 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

(293)

(294)

Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра – А₂.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.

Определим g, p_l и р₂ графическим способом (рис. 166).

Рис. 166. Графическая интерпретация алгоритма решения

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А₁.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А₂.

4. Проводим прямую b₁₁b₁₂, соединяющую точки а₁₁, а₂₁.

5. Проводим прямую b₂₁b₂₂, соединяющую точки а₁₂, а₂₂.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b₁₁b₁₂ и b₂₁b₂₂. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р₂, а р₁ = l – р_2.

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

р₁ = 0,375; (2.3)

р₂ = 0,625; (295)

g =0,55. (2.5)

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А₁ должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А₂ - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

Задание 8.